概率統(tǒng)計(jì)交大48學(xué)時(shí)feb20164.1r.v的數(shù)字特征

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 分布函數(shù)能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道 r.v.的某些特征. 判斷棉花質(zhì)量時(shí), 既看纖維的平均長(zhǎng)度 平均長(zhǎng)度越長(zhǎng),偏離程度越小, 質(zhì)量就越好; 又要看 纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小. 由上面例子看到，與 r.v. 有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義. r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望 r.v.取值平均偏離均值的情況

2、 方差 描述兩 r.v.間的某種關(guān)系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字來描寫4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望加 權(quán) 平 均初賽復(fù)賽決賽總成績(jī)算術(shù)平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75勝者甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例 學(xué)生甲乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽, 觀察其勝負(fù)4.1 為這 3 個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此設(shè) X 為離散 r.v. 其分布為若無窮級(jí)數(shù)其和為 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ), 即數(shù)學(xué)期望的定義定義絕對(duì)收斂,則稱設(shè)連續(xù) r.v

3、. X 的 d.f. 為若廣義積分絕對(duì)收斂, 則稱此積分為 X 的數(shù)學(xué)期望記作 E( X ), 即 數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加權(quán)平均 它是一個(gè)數(shù)不再是 r.v.定義例1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解特例 若Y B ( 1 , p ), 則 E(Y) 例1例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解例3 設(shè) X 參數(shù)為 p 的幾何分布，求E ( X ).解例2常見 r.v. 的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(, 2)注意 不是所有的 r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy

4、)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在! 設(shè)離散 r.v. X 的概率分布為 若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則 設(shè)連續(xù) r.v. 的 d.f. 為f (x)絕對(duì)收斂, 則若廣義積分 r.v.函數(shù) Y = g(X ) 的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布為Z = g(X ,Y ),絕對(duì)收斂 , 則若級(jí)數(shù) 設(shè)連續(xù) r.v. (X ,Y )的聯(lián)合 d.f. 為f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 絕對(duì)收斂, 則若廣義積分例3 設(shè) (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的數(shù)學(xué)期望.解例3解 (1) 設(shè)整機(jī)壽命為 N , 五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布

5、，若將它們 (1) 串聯(lián)； (2) 并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值. 例4例4即 N E( 5), (2) 設(shè)整機(jī)壽命為 可見, 并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.例5 設(shè)X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互獨(dú)立，求E (max(X ,Y ) . 解D1D2例5其中 稱為 概率積分一般地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則所以 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在數(shù) a 使 P(X a) = 1, 則

6、 E (X ) a ； 若存在數(shù) b 使 P(X b) = 1, 則 E (X ) b.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)期望性質(zhì)性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立反例見附錄 1注 設(shè) X 連續(xù)，d.f. 為 f (x), 分布函數(shù)為 F(x), 則故證 性質(zhì)5例6 將 4 個(gè)不同色的球隨機(jī)放入 4 個(gè)盒子 中, 每盒容納球數(shù)無限, 求空盒子數(shù)的 數(shù)學(xué)期望. 解一 設(shè) X 為空盒子數(shù), 則 X 的概率分布為X P0 1 2 3例6解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4Xi P 1 0例7 設(shè)二維 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 為

7、求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解 例7由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X ,Y 獨(dú)立數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率為0. 98, 因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn), 參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10 年內(nèi)因事故死亡公司賠償 a 元, 應(yīng)如何定 a , 才能使公司可期望獲益;若有1000人投保, 公司期望總獲益多少?設(shè)Xi 表示公司從第 i 個(gè)投保者身上所得的收益, i =11000 . 則Xi 0.98 0.02100 100應(yīng)用1由題設(shè) 公司每筆賠償小于5000元, 能使公司獲益.公司期望總收益為若

8、公司每筆賠償3000元, 能使公司期望總獲益40000元. 為普查某種疾病, n 個(gè)人需驗(yàn)血. 驗(yàn)血方案有如下兩種： 分別化驗(yàn)每個(gè)人的血, 共需化驗(yàn) n 次； 分組化驗(yàn), k 個(gè)人的血混在一起化驗(yàn), 若結(jié)果為陰性, 則只需化驗(yàn)一次; 若為陽性, 則對(duì) k 個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn), 找出有病者, 此時(shí) k 個(gè)人的血需化驗(yàn) k + 1 次. 設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為 p, 且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2應(yīng)用2解 只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡(jiǎn)單計(jì), 不妨設(shè) n 是 k 的倍數(shù)，共分成 n / k 組.設(shè)第 i 組需化驗(yàn)的次數(shù)為X i, 則Xi

9、P 1 k + 1 若則E (X ) n例如,當(dāng) 時(shí), 選擇方案(2) 較經(jīng)濟(jì). 市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為 X 噸 ，X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 ,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤(rùn)最大？ 解設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤(rùn)為 Y 顯然，2000 y 4000應(yīng)用3應(yīng)用3顯然，故 y=3500 時(shí), E(Y )最大, E (Y )= 8250萬元 設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤(rùn)T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?為何值時(shí), 銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？ 應(yīng)用4應(yīng)用4解即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤(rùn)最大.故時(shí), 銷售一個(gè)作業(yè) 習(xí)題四 5, 6, 9, 11, 12習(xí)題性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立反例 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi附錄1附錄1X Y P -1 0 1但反例2但幾個(gè)重要