函數(shù)項級數(shù)一致收斂性

1、函數(shù)項級數(shù)一致收斂性函數(shù)項級數(shù)一致收斂性17/17函數(shù)項級數(shù)一致收斂性函數(shù)項級數(shù)一致收斂性相關(guān)問題的談?wù)摵瘮?shù)項級數(shù)是微積分的主要內(nèi)容之一，是數(shù)學分析研究的要點用函數(shù)項級數(shù)(或函數(shù)列)來表示(或定義)一個函數(shù)，判斷其一致收斂性是要點從函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義及性質(zhì)出發(fā)，下邊主要談?wù)摵瘮?shù)項級數(shù)(或函數(shù)列)一致收斂性的鑒識及其應(yīng)用1函數(shù)項級數(shù)一致收斂的相關(guān)定義定義1.11(P31)設(shè)函數(shù)列Sn(x)是函數(shù)項級數(shù)un(x)的部分和函數(shù)列，若0,存在正n1整數(shù)N()，當nN()時，不等式nuk(x)S(x)=Sn(x)S(x)k1對I上全部x都成立，則稱un(x)在I上一致收斂于S(x)n1一致收斂的定

2、義還可以用下邊的方式來表達：定義1.12(P67)函數(shù)列Sn(x)(或un(x)在I上一致收斂于S(x)n1limsupR(x)=limsupS(x)Sn(x)0，此中Rn(x)=S(x)Sn(x)稱為函數(shù)項級數(shù)nxInnxIun(x)的余項n1定義1.2函數(shù)列Sn(x)在I上非一致收斂于S(x)00，N0，n0N，xI，使得Sn0(x0)()00Sx0定義1.3函數(shù)列Sn(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的任一閉區(qū)間上一致收斂時，稱Sn(x)在區(qū)間a,b內(nèi)閉一致收斂一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)3(P417430)定理2.1（逐項取極限）設(shè)級數(shù)un(x)在x0的某個空心鄰域U0(x0)=x:0|xx0|內(nèi)n1一

3、致收斂，limun(x)cn則cn收斂，且xx0n11limun(x)=limun(x)=cn（1）xx0n1n1xx0n1定理2.2（連續(xù)性）若un(x)在區(qū)間I上連續(xù)(n1,2,)，un(x)在I上一致收斂，則S(x)n1un(x)在I上連續(xù)n1定理2.2若un(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)(n1,2,)，un(x)在(a,b)內(nèi)閉一致收斂，則S(x)n1un(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)n1定理2.3（逐項求導）若級數(shù)un(x)區(qū)間I上滿足以下三條：n1（1）級數(shù)un(x)在I上收斂(或考據(jù)在I上最罕有一個收斂點)；n1（2）un(x)在I上有連續(xù)導數(shù)(n1,2,)；（3）un(x)在I上一致收斂(

4、或在I的任一內(nèi)閉區(qū)間上一致收斂)，則un(x)區(qū)間I上可微，n1n1且可逐項求導，即在I上有dun(x)=dun(x)（2）dxn1n1dx定理2.4（逐項求積分）若級數(shù)un(x)的各項連續(xù)，而且此級數(shù)在a,b上一致收斂，則有n1bbun(x)dxun(x)dx（3）an1n1a一般地，若當nb0，則上式為真時，Rn(x)dxa一致收斂性的判斷鑒識一致收斂的方法有多種，下邊將分別進行介紹和談?wù)?.1利用一致收斂的定義平常稱定義1.1為“N法”，定義1.2為“確界法”，從中還可以獲取一種更簡單的方法“放大法”：2若nN,n0，使得S(x)Sn(x)n,(xI)，且n時，n0，則n時，Sn(x)在

5、I上一致收斂于S(x)例1談?wù)摷墧?shù)un(x)x(x2x)n1(1)0 x1(2)0 x1，2nxn，則S(x)解令Snuk(x)k1（1）當0 x10時，S(x)2n0,若Sn(x)S(x)=xn120,1均有2(x3x2)limSn(x)n，只要n在以下區(qū)間的一致收斂性00 x1;1x1.ln1ln1，取N，則當nN時，ln2ln2Sn(x)S(x)=Sn(x)0所以un(x)在0,1上一致收斂于零n12（2）方法1取0，使01，不論n多大，只要取x10，就有2n2Sn(1)S(1)=10n2n22所以，un(x)在0,1上收斂而非一致收斂n1方法2Rn(x)Sn(x)S(x)xn0 x1;

6、1x1.故supRn(x)1所以，un(x)在0,1上非一致收斂0 x1n1注意在(1)中找N的方法與技巧，對Sn(x)()合適放大時，應(yīng)使N與x沒關(guān)，只與相關(guān)Sx例2設(shè)fn(x)n11f(xi)，n1,2,，此中f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明序列fn(x)在任i0nn3何有限閉區(qū)間a,b上一致收斂證記fn(x)的極限函數(shù)為F(x)，則x1n1xi1n11f(xii)F(x)limfn(x)inf(t)dtxf(t)dtxni0ni0nnn(0i1;i0,1,n1).因為f(x)在a,b1上連續(xù)，故在a,b1上一致連續(xù)，即0,0，使關(guān)于x,xa,b1，只要當xx時，就有f(x)f(x)取N11，則當

7、nN,axb時，有(xii)(xi)11且xia,b1，xiia,b1i0,1,n1.于nnnnNnnn是n1F(x)fn(x)i01f(xii)f(xi)nnnn1i01n.所以fnx在a,b上一致收斂于f(x)()例3試證：n(1)n在(,)內(nèi)一致收斂n1n2x2證易知x(,)，當n充分大時，n單調(diào)減且趨于0故該級數(shù)為萊布尼茨型2x2n級數(shù)則有Rn(x)n11)1)2x20(n(nn1所以級數(shù)n(1)n在(,)內(nèi)一致收斂n1n2x23.2柯西準則判斷一致收斂性5(P31)定理3.2（一致收斂的柯西準則）函數(shù)項級數(shù)un(x)(部分和函數(shù)列Sn(x)在I上一致收斂n1的充分必需條件為：0,總存

8、在正整數(shù)N=N()，使nN時，不等式un1(x)un2(x)unp(x)(Snp(x)Sn(x)4對任意的正整數(shù)p和I上任意的x都成立當p1時獲取函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必需條件推論函數(shù)項級數(shù)un(x)在數(shù)集I上一致收斂函數(shù)列un(x)在I上一致收斂于零，即n10,NN，當nN時，xI都有un(x)n例4設(shè)un(x)為a,b上的可導函數(shù)列，且在a,b上uk(x)C，C是不依賴與x和nk1的正數(shù)證明：若un(x)在a,b上收斂，則必為一致收斂n1證0，取m充分大，將a,bm均分，使得ba按序以x1,x2,xm表示各小m4C區(qū)間段的中點由已知得，un(xi)收斂0,NiNi,xi,nNi時，有n1np

9、uk(xi)，(pN)kn12令NmaxN1,N2,Nm，則xa,b（不如設(shè)x位于第于是npnpxnpnpuk(x)uk(xi)xi(uk(t)dtuk(xi)kn1kn1kn1kn12Cxxi2.22原命題得證npi個小區(qū)間段，i1,2,m），xnpuk(t)dtxikn1注意：在證明過程中對uk(x)進行變形時，有一個重要方法可利用阿貝爾變換kn13.3鑒識函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的常用方法鑒識函數(shù)項級數(shù)一致收斂性除依據(jù)定義和柯西準則外，還可以依據(jù)級數(shù)各項的特征來鑒識，常用以下鑒識法3.3.1Weierstrass鑒識法定理3.3.1(Weierstrass鑒識法)1(P32)設(shè)函數(shù)項級數(shù)un

10、(x)定義在數(shù)集I上，Mn為收斂n1n15的正項級數(shù)，若對全部xI，有un(x)Mn,n1,2,，則函數(shù)項級數(shù)un(x)在I上一致收斂n1此中Mn稱為un(x)的優(yōu)級數(shù)，所以該定理也稱為優(yōu)級數(shù)鑒識法求優(yōu)級數(shù)的方法有多種，主n1n1要有以下方法：（1）察見解；例5證明：cosnx在x時一致收斂n1n2提示：cosnx122可證nn（2）找出un(x)的最大值法；例6證明xn(1x)2在0,1上一致收斂n1提示：求出通項un(x)的最大值點（求導法），xn時n2（3）利用已知不等式法；例7談?wù)搉x在區(qū)間x上的一致收斂性n5x2n11525nx11解當xx2n2x，于是，又因收斂，故級數(shù)時，1n52

11、331nx2n2n12n2nxn11n5x2在(,)上一致收斂（4）利用某些已知公式進行變形，等等例8證明x2enx在(0,)內(nèi)一致收斂n1證利用泰勒公式，enx1nxn2x2(xR)從而22enxx2x22(x0)xn2x2n2x2n21nx22而級數(shù)2一致收斂，所以由優(yōu)級數(shù)鑒識法可知原級數(shù)在(0,)內(nèi)一致收斂n1n2Abel鑒識法和Dirichlet鑒識法6對級數(shù)un(x)，若unx=an(x)bn(x)n1定理(Abel鑒識法)1(P33)設(shè)（1）anx在區(qū)間I上一致收斂；12）關(guān)于每一個xI，bn(x)是單調(diào)的；（3）bn(x)在I上一致有界，即對全部xI和nN，存在正數(shù)M，使得bn(

12、x)M，則級數(shù)un(x)在I上一致收斂n11(P34)定理3.3.3(Dirichlet鑒識法)設(shè)nak(x)(n1,2,)在I上一致有界；（1）anx的部分和函數(shù)列Sn(x)n1k1（2）關(guān)于每一個xI，bn(x)是單調(diào)的；（3）在I上，bn(x)0，(n)，則級數(shù)un(x)在I上一致收斂(1)n例9在區(qū)間0 x談?wù)搉1n(nx)n1上的一致收斂性n(1)n(1)n解(1)1因為收斂，且與x沒關(guān)，故它對x而言是一n(nx)nxn1n1n致收斂的而1關(guān)于每一個x(0,)都是單調(diào)遞加且有界：11所以由Abel判1x1xnn別法可知原級數(shù)在(0,)上一致收斂n(n1)例10談?wù)?1)210上的一致

13、收斂性n2在區(qū)間xn13exnk(k1)1解(1)22，記bn(x)n2k13ex7因為11，故bn(x)單調(diào)降落又因為113n2ex3(n1)20(x10)，ex3n2ex3n2故bn(x)單調(diào)一致地趨于零所以，由Dirichlet鑒識法知，級數(shù)在10,10上一致收斂例11證明(1x)xnsinnx在(1,1)內(nèi)一致收斂n11x2n2證原級數(shù)=1(1x)xnsinnx此中1對任意x(1,1)關(guān)于n單調(diào)，且一致有n11xn1xn1xn21界：11xnn下邊觀察級數(shù)(1x)nxsinnxn11xn1nxsinkx1n1)xcos(k1)x因為sinkx2sincos(kk1xk122sinxk1

14、222sin22cos1xcos(nxx)11122)xx(x(,1),n1,2,122sinsinsin224n所以k11sinkx在(,1)內(nèi)一致有界(1x)xnxn1,x(1而1xn1xx2xn,1)關(guān)于n單減，又20 xnxn1(1,1)xn1nxn10 x1xx2n2所以(1x)xn在(1,1)上單減一致收斂于0由Dirichlet鑒識法可知，級數(shù)(1x)xnsinnx在1xn2n11xn(1,1)內(nèi)一致收斂21則由Abel鑒識法可知原級數(shù)在(,1)上一致收斂2Dini定理定理3.3.4(Dini定理)3(P407)設(shè)un(x)0，在a,b上連續(xù)，n1,2,又un(x)在a,bn18

15、上收斂于連續(xù)函數(shù)f(x)，則un(x)在a,b上一致收斂于f(x)n1證（反證法）若un(x)在a,b上非一致收斂，則00，使得NN,n0N,xa,b，有n1Rn0(x)0取N1，知n11，x1a,b使Rn1(x1)0，令Nn1知n2n1，x2a,b，使Rn2(x2)0，這樣下去，我們獲取n的子序列n1n2nk使得Rnk(xk)0(k1,2,)（1）利用致密性原理，在有界數(shù)列xk里，存在收斂子列xkjx0a,b(j)，因Rn(x)單減(關(guān)于n)，所以mN，當nkjm時，有Rm(xkj)Rnkj(xkj)0（因式（1）因為Rm(x)f(x)Sm(x)連續(xù)，所以j時，對Rm(xkj)0取極限，知R

16、m(x0)0，(mN)，與un(x)在a,b上收斂矛盾證畢n1注意：Dini定理在和函數(shù)便于求得的狀況下應(yīng)用比較方便例12證明函數(shù)列fn(x)x1,(n1,2,)在區(qū)間0,1上一致收斂en(1x)nn證當n時，(1x)nex，且(1x)n(n1,2,),ex都在0,1上連續(xù)，故由Dini定nn理可知函數(shù)列(1x)n在0,1上一致收斂于ex因為nxx)nex11en(11xxn(1nexn1xxx)en1een(1x)n(1ex)en(1x)nnnexx)n1(1en1在0,1上一致收斂于0(n)n9又1，1n(n1,2)在0,1上連續(xù)，xx1een1xn所以，在0,1上，當n時，原函數(shù)列一致收

17、斂于1ex13.4一致有界與等度連續(xù)定義fn(x)在I上一致有界，是指：M0,對全部xI，都有fn(x)M(n1,2,)成立例133(P410)設(shè)fn(x)在區(qū)間0,1上一致有界，試證存在一個子序列，在0,1的全部有理點收斂證我們知道0,1的全體有理點可以排成一個數(shù)列an因fn(x一致有界，故fn(a1)是有界數(shù)列由致密性原理知此中存在收斂的子序列為了)便于表達，記此收斂的子序列為f1,n(a1)，于是f1,n(x)fn(x)在xa1處收斂同理，因f1,n(a2)是有界數(shù)列，又必存在收斂子列f2,n(a2)即f2,n(x)f1,n(x)，f2,n(x)在xa1,a2處都收斂這樣不停地進行下去，

18、不停地在子序列里取子序列，使fk,n(x)在xa1,a2,ak處收斂，于是獲取一串子序列：f1,1(x),f1,2(x),f1,3(x),f2,1(x),f2,2(x),f2,3(x),f3,1(x),f3,2(x),f3,3(x),f1,n(x),f2,n(x),f3,n(x),fn,1(x),fn,2(x),fn,3(x),fn,n(x),最后能用上表對角線元素構(gòu)成一個子序列fn,n(x)，即f1,1(x),f2,2(x),f3,3(x),fn,n(x),易知此序列在點ai(i1,2,)上收斂事實上，a(i1,2,)，已知上邊的子序列中第i個子序i列在ai處收斂，而fi,i(x),fi1,

19、i1(x)是第i個子序列的子序列，故fn,n(x)在ai點上收斂由此知fn,n(x)在a1,a2,an,上收斂定義3.4.2設(shè)是區(qū)間I上定義的函數(shù)族，上的函數(shù)在I上等度連續(xù)，是指：0，0，當x1，x2I且x1x2時有f(x1)f(x2)(f)特別，I上定義的函數(shù)序列fn(x)，在I上等度連續(xù)，是指：0,0，當x1，x2I10且x1x2時有fn(x1)fn(x2)(nN)例14設(shè)函數(shù)序列fn(x)在區(qū)間a,b上等度連續(xù)的，且有fn(x)0,n1,2,試證：若在a,b上有fn(x)f(x)(n)，則在a,b上有fn(x)f(x)(n)證因fn等度連續(xù)，0,0，當x1，x2I且xx2時有fn(x1)

20、fn(x2)，12令n取極限可得f(x1)f(x2)此即表示f(x)在I上一致連續(xù)，從而f(x)連續(xù)由2Dini定理知，在a,b上，fn(x)f(x)(n)函數(shù)項級數(shù)非一致收斂的判斷這里也給出幾種巧證函數(shù)項級數(shù)非一致收斂的方法，這些方法為一些教科書所忽視，但對鑒識函數(shù)項級數(shù)非一致收斂卻十分實用4.1利用定義法鑒識（見例1用“N法”）4.2利用柯西準則法鑒識由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則，可以獲取以下命題命題unx在區(qū)間I上非一致收斂00,NN,nN,xI,pN,n1有npuk(x)0.kn1（證明略）特別，當n時，若通項un在區(qū)間I上非一致收斂于0，則函數(shù)項級數(shù)unx在區(qū)間I上非一致收斂依據(jù)函

21、數(shù)列一致收斂的看法，又有以下命題命題4.2.2若函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間I上逐點收斂，且在區(qū)間I中存在一點列xn，使n1limun(xn)0，則函數(shù)項級數(shù)un(x)區(qū)間I上非一致收斂（證明略）nn1例15證明級數(shù)sinnx在x0的鄰域內(nèi)非一致收斂n1n11np分析要證片段kn1sinkx（某個早先給定的正數(shù)）取pn，又在,上恒有0k422nsinxsin，則只要使kx,，就有442kn1sinkxsin2n11sink4kn1k24為此，取xxn，因為n1k2n，所以(n1)k2n4n，即4n44n4n2k,則n2nsinkxn2nN，有k4n42kn1kn1sin(k)4nk2nkn1si

22、n124sin0k244所以可取024（證明略）例16證明：1ex(1x)n在(0,)上非一致收斂n1nn證因為nN，當x時，易知1ex(1x)nnn所以對任意x(0,)，當n時，通項1ex(1x)n非一致收斂于0nn所以原級數(shù)在(0,)非一致收斂例17談?wù)摷墧?shù)2n1在(0,)上的一致收斂性n1sin3nx解明顯原級數(shù)在(0,)上逐點收斂，取xn2n(0,)，n1,2,，有3nun(xn)2nsin1n1(n)，故原級數(shù)在(0,)上非一致收斂24.3利用一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)鑒識8(P3637)一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：設(shè)各項連續(xù)的函數(shù)列Sn(x)在區(qū)間上一致收斂于S(x)，則對任何以x0(x0I)

23、為極限的數(shù)列xn，都有l(wèi)imSn(x)S(x0)n由上性質(zhì)可得以下命題：n命題若連續(xù)的函數(shù)項級數(shù)un(x)（記Sn(x)uk(x)）在區(qū)間I上逐點收斂于S(x)，n1k112且x0I,xnI:limxnx0有l(wèi)imSn(xn)S(x0)，則函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間I上非一nnn1致收斂于S(x)（證明略）18sinnx例談?wù)摵瘮?shù)項級數(shù)n1np(p0,1)在0,上的一致收斂性解由Dirichlet鑒識法易知該級數(shù)在區(qū)間0,上逐點收斂，設(shè)其和函數(shù)為S(x)，則S(0)0取xn10,(n1,2,)，則xn0(n)，而nkkknnsinnnsinnnsinn1nsinkuk(xn)k1kpknnk1

24、nk1k1k1nuk(xn)lim1所以limnk1nnnk1sink1sinxdx0S(0)故原級數(shù)在0,上非一致收斂n04.4利用和函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)及端點發(fā)散性鑒識命題若連續(xù)函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間I上逐點收斂于和函數(shù)S(x)，且x0I，S(x)n1在x0處不連續(xù)，則函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間I上非一致收斂于S(x)（證明略）n1命題4.4.29(P63)若函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間(a,b（或(a,)）上逐點收斂，但在左端點n1xa處發(fā)散，nN，un(x)在左端點xa（右）連續(xù)，則函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間(a,bn1（或(a,)）上非一致收斂證用反證法假設(shè)函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間(a

25、,b（或(a,)）上一致收斂即n10,NN,nN,x(a,b或(a,)，有un1(x)un2(x)unp(x)又因nN，un(x)在左端點xa（右）連續(xù)，令xa（或a），對上式兩端取極限，得un1(a)un2(a)unp(a)13則級數(shù)收斂，與已知矛盾，故函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間(a,b（或(a,)）上非一致收斂n1例19談?wù)摵瘮?shù)項級數(shù)nenx在區(qū)間為(0,)上的一致收斂性n1解易知函數(shù)項級數(shù)nenx在區(qū)間(0,)上逐點收斂，且每一項都在x0處連續(xù)，而函數(shù)n1項級數(shù)nenx在x0處發(fā)散，故該函數(shù)項級數(shù)在(0,)上非一致收斂n1該題還可利用其他方法鑒識，但對比較而言此方法更為簡單例20談?wù)?1

26、x)xn在區(qū)間0 x1上的一致收斂性n0nx)xknxkxn1于是解Sn(x)(1(1x)1k0k0S(x)limSn(x)10 x1;0 x1.n取1x10，使00，不論n多么大，只要取，就有2n121111Sn(n12)S(n12)2120所以，級數(shù)(1x)xn在0,1上收斂而非一致收斂n0綜合應(yīng)用x2例214(P368)證明級數(shù)(1)ne3n在任何有界區(qū)間a,b上一致收斂n1n2證xa,b，(1)nex23n為萊布尼茲型級數(shù)，故收斂（證明略），且余項n1n2故所以級數(shù)x2n1ec21eRn(x)33n0(n)(cmaxa,b)，n12n121limsupRn(x)0nxa,b(1)nex23n在a,b上一致收斂n