矩陣論理論課件

1、矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定義矩陣函數(shù)()的計(jì)算矩陣函數(shù)的一般定義及其計(jì)算矩陣方程及其求解2 / 414321說明先前，為了上課方便，本人制作了講義，并經(jīng)由同學(xué)復(fù)印。然而導(dǎo)致了大量的盜版，直接影響了將來本講義的。不得不考慮到, 因?yàn)橹谱鬟@樣一份文檔實(shí)在是花費(fèi)了大量的時(shí)間精力。制作本課件純粹為了上課方便，請(qǐng)不要隨意和上傳互聯(lián)網(wǎng)！2 / 41說明先前，為了上課方便，本人制作了講義，并經(jīng)由同學(xué)復(fù)印。然而導(dǎo)致了大量的盜版，直接影響了將來本講義的。不得不考慮到, 因?yàn)橹谱鬟@樣一份文檔實(shí)在是花費(fèi)了大量的時(shí)間精力。制作本課件純粹為了上課方便，請(qǐng)不要隨意和上傳互聯(lián)網(wǎng)！本幻燈片使用 beamer 宏包作

2、出. 關(guān)于 beamer 的考:(安裝、更新) 可參本文的圖形主要是用 pgf 宏包作出的, 另有個(gè)別的 Metat 圖形.本幻燈片的源文件學(xué)習(xí) beamer, pgf 參考之用. 使用請(qǐng)注明出處.Copyright c 2009. 保留所利.LIU XI-KUI2 / 41矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的一般定義及其計(jì)算矩陣方程及其求解3 / 414321在 ? 中, 方陣的冪級(jí)數(shù).了矩陣級(jí)數(shù). 現(xiàn)在來一類重要的矩陣級(jí)數(shù)定義 1.1設(shè) , 是復(fù)數(shù)列, 則稱 為方陣 的冪級(jí)數(shù).=0定理 1.1若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是 . 則=0(1) 若 () , 則 發(fā)散 (其中 () 是 階矩陣 的譜半徑).=

3、03 / 41證: (1) 因 () , 所以可以找到正數(shù), 使得 () + . 在收斂圓| 內(nèi)絕對(duì)收斂, 所以正項(xiàng)級(jí)因?yàn)?0數(shù)| | ( () + ) 收斂.=0由于 | | ( () + ) , 所以級(jí)數(shù) 收斂, 所=0以 絕對(duì)收斂.=0(2) 設(shè) 的特征值為 1, 2, , , 且 () = |1|. 則存在非奇異陣 ,使得 = , 其中 是 的約當(dāng)1. 由定理 2.3 知, 收斂=0的充分必要條件條件是 收斂. 若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是 , 則=0=0 發(fā)散, 因此 發(fā)散, 從而 發(fā)散.1=0=0=04 / 41推論 1.1若冪級(jí)數(shù) 在整個(gè)復(fù)平面上收斂, 則對(duì)任意方陣 , 絕對(duì)收斂.=0

4、=0推論 1.2若復(fù)變冪級(jí)數(shù)( 0) 的收斂半徑為, 則對(duì)于方陣 ,=0(1) 當(dāng)?shù)?特 征 值1, , 滿 足| 0|( = 1, , )時(shí),級(jí) , 則級(jí)數(shù)( 0) 發(fā)散.0=0證: = 0和的特征值的關(guān)系是 = 0.5 / 41推論 1.3 + + 2 + + + 絕對(duì)收斂的充分必要條件是 () 1, 且其和是( )1.證: 由于冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是 1, 因此 () 1, 則=0 + + 2 + + + 絕對(duì)收斂. 反之, 若 + + 2 + + + 絕對(duì)收斂, 則| | 絕對(duì)收斂, 故 | | 0, 因此 () 1.=1因?yàn)?( + + 2 + + + )( ) = , 故( )1 =

5、 + + 2 + + + .6 / 41定義 1.2設(shè) = ( ) . 如果| |, = 1, 2, , , 則稱 是行 = 1 = 對(duì)角占優(yōu)的. 如果| |, = 1, 2, , , 則稱 是列對(duì)角占優(yōu)的. = 1 = 10 2 3 44 8 1 15 2 15 75 1 09例如 =, 則 是行對(duì)角占優(yōu). 容易驗(yàn)證 可逆.7 / 41定理 1.2設(shè) = () . 如果 是行 (列) 對(duì)角占優(yōu)的, 則 可逆.證: 由于 0 121101110 00 10 001 0 00 1110 021222 2222 =+ 2 0 021 0 0 00 1211011111021222 記 =2222,

6、 = 2 00 021 則 可逆. 由于 是行對(duì)角占優(yōu), 因此 | 1, 故 + 可逆, 從而 可逆.8 / 41矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定義矩陣函數(shù)()的計(jì)算矩陣函數(shù)的一般定義及其計(jì)算矩陣方程及其求解9 / 414321定義 2.1設(shè) () 的冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是 , 則當(dāng)矩陣 的譜半徑 () =0時(shí), 把收斂的矩陣冪級(jí)數(shù) 的和稱為矩陣函數(shù), 記為 (), 即 () =0 .=011 2 1 3例如: =! = + + 2! + 3! + ;=0cos = 1 2 + 1 4 1 6 + ;2!4!6!1 ln ( + ) =(1) , () 1;=1(1) (+1)!( + )

7、= + , () 1;=11( )= .=09 / 41有兩種計(jì)算矩陣函數(shù)()的方法：1) 利用的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形; 2) 利用矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示.10 / 41有兩種計(jì)算矩陣函數(shù)()的方法：1) 利用的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形; 2) 利用矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示.一、利用的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 . 由定理 2.3 知, 若非奇異矩陣 , 使得設(shè) 的 Jordan = 1, 則 () = () 1.如果 = (1, 2, , ), 則有 = (, , , )12因此 () = = ( , , , ) =12=0=0=0=0( (1), (2), , ().10 1.0 .設(shè) =, 令 =, 則.

8、1. 10 = + .00 1. . . . 1. 002而 =, . . . . . . , = 0 , .10 / 41設(shè)函數(shù) () 在 處的 Taylor 展開式為+()( )( ) () =!=0則有+() ()( )( ) () =( ) =( ) =!=0=0 ()( ) () +!=1故( 1) ( )( ) () .1!(1)! ( ) . () = . ( )1! () 推論 2.1若的特征值為1, , ，則()的特征值為 (1), , ().11 / 41綜上所述,利用 Jordan求矩陣函數(shù)的如下計(jì)算步驟:1. 求 的 Jordan為 及相應(yīng)的相似變換陣 ;2. 求 ()

9、 = ( (1), (2), , (), 其中( 1) ( )( ) () 1!(1)! ( ) () = ( ).1! () (3) 計(jì)算 () = () 1.12 / 41例 2.14 2 10求 cos .設(shè) =4 3 73 1 7解 由于 | | = ( 2)3, ( 2) = 2, 因此 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)2 1 0型為: =0 2 1,0 0 2 2 01利用 = 可求得相應(yīng)的相似變換陣 為:1 1 2.1 0 1cos 2cos 2 sin 2 2而 cos =0cos 2 sin 2,00cos 213 / 41因此cos = (cos ) 11cos 22 01cos 2

10、 sin 2 2 012=1 1 200cos 20 sin 2cos 2cos 21 1 21 0 11 012 0 11 0 1cos 2 sin 22=1 1 200cos 20 sin 23 1 51 0 1cos 2 1 0 22 cos 2 + 6 sin 22 sin 22 cos 2 10 sin 2=0.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 214 / 41例 2.231 1已知 =2 02, 求 sin( ), 的 Jordan.1 1 34解 由于 | | =

11、( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的 Jordan2 0 0為 =0 2 1.0 0 2 21 0 00 02 2sin( ) =0 1 0, =0.0 0 1 2 40 0注意到存在非奇異陣 , 使得 () = () 1, 即 () 與 () 相似,故 sin( ), 的 Jordan分別是:21 0 0 20 020 1 0,01.0 0 1 2 0 015 / 41矩陣指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)是常用的矩陣函數(shù), 它們有些性質(zhì)與普通的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相同. 但由于矩陣乘法不滿數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)不同.換律, 從而有些性質(zhì)與一般的指定理 2.1對(duì)任意 ,(1) sin() = sin ;

12、cos() = cos ;(2) = cos + sin ;(3) cos2 + sin2 = ;(4) +2 = ; = ;(5) (6)sin() = cos() = cos() ; (7)cos() = sin() = sin().16 / 41定理 2.2設(shè) , . 若 = , 則有(1) + = + = ;(2) sin( + ) = sin cos + cos sin ;(3) cos( + ) = cos cos sin sin .推論 2.2sin(2) = 2 sin cos , cos(2) = cos2 sin2 .若 = , 則上述公式可能不成立. 如()()()()0

13、 01 00 10 00 00 11 00 0 =, =, = ;()()(11)1 01 11 10 1 + =, =, + =;11 + ()()1 11 22 11 1 = =; = + = .17 / 41定理 2.3對(duì)任意 , 則有(1) det() = ();(2) ()1 = .證: (1) 設(shè) 是 的約當(dāng)陣 , 使得 = 1, 1, 2, , 為 的特征值, 則存在非奇異因此 = 1, det() = det( ) = 1 +2 + = () ;(2) 由于 = = 0 = , 因此 ()1 = .18 / 41矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的一般定義及其計(jì)算矩陣方程及其求解19

14、/ 414321利用定義 2.1 定義的矩陣函數(shù), 其實(shí)質(zhì)就是先將數(shù)量函數(shù) () 展開成收斂的冪級(jí)數(shù), 然后以矩陣 代替 , 得到 (). 但是, 對(duì)于任意給定的函數(shù), ()要求能展開成收斂的冪級(jí)數(shù)條件太強(qiáng), 一般不易滿足. 從利用 Jordan求矩陣函數(shù)的方法可知, 矩陣函數(shù) () 只與函數(shù) () 以及它的一定階導(dǎo)數(shù)在 的特征值的取值有關(guān). 因此可以給出矩陣函數(shù)的一種較為廣泛的定義.定義 3.1設(shè) 的最小多項(xiàng)式為 () = ( 1)1 ( ) , 則稱集合(, )| = 1, 2, , 為 的譜. 記為 .19 / 41定義 3.2設(shè) 的最小多項(xiàng)式為 () = ( 1)1 ( ) , 稱 (

15、)()| = 1, 2, , ; = 0, 1, , 為函數(shù) () 在 上的譜值給定. 記為 ().定義 3.3對(duì)任意函數(shù) (), 若存在復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 (), 使得 () = ()則定義矩陣函數(shù) () 為 (), 即 () = ().20 / 41下面來介紹 () 的確定方法.設(shè) 的最小多項(xiàng)式為 () = ( 1)1 ( ) , 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 (), 使得 () = (),則有 () = ()1() + () 其中 () = 0 + 1 + + 11, = 1 + 2 + + ,因此 () = () = ().21 / 41另一方面, 利用 () = ()數(shù). 這樣一來, 可設(shè) 個(gè)方程, 因此

16、可唯一確定 個(gè)系() = () = 0 + 1 + + 11 , 由此,系數(shù)法:1. 求 的最小多項(xiàng)式為 () = ( 1)1 ( ) ;2. 設(shè) () = 0 + 1 + + 11, 利用 () = () 得到 個(gè)方程, 求解該方程組, 確定 () 系數(shù) 0, 1, , 1;3. () = ().求矩陣函數(shù)的待定22 / 41例 3.14 2 10設(shè) =4 3 7求 cos .3 1 7解 由于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 2, 因此 的最小多項(xiàng)式 () = ( 2)3.令 () = 0 + 1 + 22, 由 cos() = (),: + 2 + 4 = cos 20121

17、 + 42 = sin 22 = cos 22解得 0 = cos 2 + 2 sin 2, 1 = sin 2 + 2 cos 2, 2 = cos 2 . 因此2cos = ( cos 2 + 2 sin 2) + ( sin 2 + 2 cos 2) cos 2 222 cos 2 + 6 sin 22 sin 22 cos 2 10 sin 2=0.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 223 / 41例 3.231 1已知 =2 02, 求 sin( ).1 1 34解 由

18、于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的最小多項(xiàng)式 () = ( 2)2. 令() = 0 + 1, 由 () = (),: 0 + 21 = 1, 1 = 0.解得: 0 = 1, 1 = 0, 因此 sin( ) = .424 / 41由求矩陣函數(shù)的待定系數(shù)法可知: () = () = 0 + 1 + + 1 1 1()而 = () 其中 僅與 有關(guān), 而與函數(shù) 無關(guān). 因此=1 =1 1() (), 其中 僅與 有關(guān), 而與函數(shù) 無關(guān). () =1 =1這樣, 如果利用一些特殊的 將 求出, 就可求出要求的 ().25 / 41從而得到如下求矩陣函數(shù)的待定矩陣法的計(jì)

19、算步驟.(1) 求 的最小多項(xiàng)式為 () = ( 1)1 ( ) ; 1()2. 令 () = (), 取一些特殊的 求出 ;=1 =13. 求要計(jì)算的 ().26 / 41例 3.331 1已知 =2 02, 求 sin( ), .1 1 34解 由于 | | = ( 2)3, 而 (2 ) = 1, 因此 的最小多項(xiàng)式 () = ( 2)2.令: () = (2)1 + (2)2.取 () = 1, 則有 1 = ; 取 () = 2, 則有 2 = 2.因此 () = (2) + (2)( 2).特別地:sin( ) = ;421 1 = 2 + 2( 2) = 2( ) = 22 1

20、2.1 1 227 / 41例 3.44 2 10設(shè) =4 3 7求 cos .3 1 7解 因?yàn)?| | = ( 2)3, ( 2) = 2, 因此 的 的最小多項(xiàng)式 () = ( 2)2.可令: () = (2)1 + (2)2 + (2)3.取 () = 1, 則有 1 = ;取 () = 2, 則有 2 = 2取 () = ( 2)2, 則有 2 = 1 ( 2)2.2因此 () = (2) + (2)( 2) + (2) 1 ( 2)2.2從而cos = (cos 2) (sin 2)( 2) cos 2 ( 2)2 =22 cos 2 10 sin 22 cos 2 + 6 sin

21、 22 sin 20.5 cos 2 + 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 7 sin 2.0.5 cos 2 + 3 sin 2 sin 25 sin 228 / 41例 3.52 2 1已知 =1 3 1, 求 3.1 2 2 解 因?yàn)?| | = ( 1)2( 5), ( ) = 1, 因此 的最小多() = ( 1)( 5).項(xiàng)式29 / 41(1) Jordan法1 0 0由上可知 的 Jordan =0 1 0, 相應(yīng)的相似變換陣 為為0 0 5 12 10 1 1.1 01 1312 10012 13因此3 =0 1 10000 1 1.1 01 0 15 1

22、01 30 / 41(2) 待定系數(shù)法由于 的最小多項(xiàng)式 () = ( 1)( 5), 可令 () = 0 + 1, 由30 + 1 = 0 + 51 = 15解得: 0 = 1 (53 15), 1 = 1 (15 3).44因此 3 = 1 (53 15) + 1 (15 3)4431 / 41(3) 待定矩陣法:由于 的最小多項(xiàng)式 () = ( 1)( 5), 可令 () = (1)1 + (5)2.取 () = 1, 則有 2 = 1 ( );4取 () = 5, 則有 1 = 1 ( 5).4故 () = 1 (1)( 5) + 1 (5)( ) = 1 (5) (1) + 1 5

23、(1) (5)4444.特別地: 3 = 1 15 3 + 1 53 15.4432 / 41矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的一般定義及其計(jì)算矩陣方程及其求解33 / 414321本節(jié)中,介紹矩陣函數(shù)及矩陣微積分的一些應(yīng)用.先一階線性常系數(shù)微分方程組的初值問題的求解.在數(shù)學(xué)或工程技術(shù)中, 經(jīng)常要研究一階常系數(shù)線性微分方程組 ()1= 111() + 122() + + 1() + 1() ()2 = () + () + + () + ()21 122 22 2 () = () + () + + () + ()1 12 2 滿足初始條件 (0) = , = 1, 2, , 的解.如果記 = (),

24、= (1, 2, , ) ,() = (1(), 2(), , () , () = (1(), 2(), , () ,則上述問題可寫成()= ()() + ()(0) = .33 / 41由于 是常值矩陣, 因此 () = ()() + () = () () = ()將上式兩邊在 0, 上積分, 得到 () () = () ,000因此微分方程組的初值問題的解為 () = ( ) + ().0034 / 41例 4.12 0 0()= ()() + (1, 0, 1)(0) = (1, 1, 1)設(shè) =1 1 1, 求如下初值問題的解:.1 1 3 100解 因?yàn)?= 2 1 , 1 + 21

25、1 012所以0 () = 0 20 =,2 11( )() = + ()00 210011001 + 1 2= 2 1 1 1 0= 1 + 1 1 + 2 1 223 222 + 2.2 + 1 + 2 35 / 41例 4.2設(shè) , , () , 求如下矩陣微分方程的初值問題的()= () + () .解:(0) = 0 () = ( + ) ()解 將上方程拉直,:,(0)= 0利用一階常系數(shù)線性微分方程組的初值問題的求解公式, 上方程的解為()= (+ ) = ( ) = ( )000因此 () = 0( ) . 1 1因?yàn)?() = (! ( ) ) =! () = =0=0()= () + ()(0) = 0所以矩陣微分方程的初值問題的解為() = 0.36 / 41定義 4.1設(shè) 1, 2, , 是常數(shù), () 為已知函數(shù), 稱() + 1(1) + 2(2) + + 1 + = ()為 階常系數(shù)微分方程.由于常系數(shù)線性微分方程組的矩陣形式解已經(jīng)得到, 因此,可以利用如下方式將 階常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性微分方程組, 進(jìn)而求出它的解.令 () = (1)() , = 1, 2, , 1 = 2= 32則有 = 1 = + () 11 21 37 / 4100 010 001 0 00 1若記 = ,1 2 1() = (1(), 2(