初中數(shù)學(xué)《勾股定理的逆定理》教案

1、初中數(shù)學(xué)勾股定理的逆定理教案初中數(shù)學(xué)勾股定理的逆定理教案一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1。內(nèi)容應(yīng)用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題。2。內(nèi)容解析運(yùn)用勾股定理的逆定理可以從三角形邊的數(shù)量關(guān)系來識(shí)別三角形的形狀，它是用代數(shù)方法來研究幾何圖形，也是向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想方法的很好素材。綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理能幫助我們解決實(shí)際問題?；谝陨戏治?，可以確定本課的教學(xué)重點(diǎn)是靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1。目標(biāo)（1）靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。（2）進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。2。目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生通過合作、討論、動(dòng)手實(shí)踐等方式

2、，在應(yīng)用題中建立數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確畫出幾何圖形，再熟練運(yùn)用勾股定理逆定理判斷三角形狀及求邊長(zhǎng)、面積、角度等；目標(biāo)（2）能先用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。三、教學(xué)問題診斷分析對(duì)于大分學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用，有一定的困難，所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活中所遇到的問題出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生以勾股定理及逆定理的知識(shí)為載體建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。本課的教學(xué)難點(diǎn)是靈活運(yùn)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1。復(fù)反思，引出課題問題1 通過前面的研究，我們對(duì)勾股定理及其逆定理的知識(shí)有一定的了

3、解，請(qǐng)說出勾股定理及其逆定理的內(nèi)容。師生活動(dòng)：學(xué)生回答勾股定理的內(nèi)容“如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么；勾股定理的逆定理“如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。追問：你能用勾股定理及逆定理解決哪些問題？師生活動(dòng)：學(xué)生通過思考舉手回答，教師板書課題?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)勾股定理及其逆定理來引入本課時(shí)的研究任務(wù)應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)實(shí)際問題。2。 點(diǎn)擊范例，以練促思問題2 某港口位于東西方向的海岸線上。“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如

4、果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生讀題，理解題意，弄清楚已知條件和需解決的問題，教師通過梯次性問題的展示，適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生嘗試畫圖、估測(cè)、交流中分化難點(diǎn)完成解答。追問1：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真審題，弄清已知是什么？解決的問題是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生通過思考舉手回答，教師在黑板上列出：已知兩種船的航速，它們的航行時(shí)間以及相距的路程， “遠(yuǎn)航”號(hào)的航向東北方向；解決的問題是“海天”號(hào)的航向。追問2：你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試畫圖，教師在黑板上或多媒體中畫出示意圖。追問3：在所畫的圖中哪個(gè)角可以表示“海天”號(hào)的航向？圖中知道哪個(gè)角的度數(shù)？師生活動(dòng)：學(xué)生

5、小組討論交流回答問題“海天”號(hào)的航向只要能確定QPR的大小即可。組內(nèi)討論解答，小組代表展示解答過程，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)，多媒體展示規(guī)范解答過程。解：根據(jù)題意，因?yàn)?，即，所以由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知。因此，即“海天”號(hào)沿西北方向航行。課堂練1。 課本33頁練第3題。課堂練2。 在港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度前進(jìn)，1小時(shí)后甲船到達(dá)島，乙船到達(dá)島，且島與島相距17海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在規(guī)范化的解答過程及練中，提升對(duì)勾股定理逆定理的認(rèn)識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用的能力。3。 補(bǔ)充訓(xùn)練，鞏固新知問題3 實(shí)驗(yàn)中學(xué)有一

6、塊四邊形的空地若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金購買草皮？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考。若學(xué)生有想法，則由學(xué)生先說思路，然后教師追問：你是怎么想到的？對(duì)學(xué)生思路中的合理成分進(jìn)行總結(jié)；若學(xué)生沒有思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析：從所要求的結(jié)果出發(fā)是要知道四邊形的面積，而四邊形被它的一條對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，求出兩個(gè)三角形的面積和即可。啟發(fā)學(xué)生形成思路，最后由學(xué)生演板完成?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用輔助線解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。4。 反思小結(jié)，觀點(diǎn)提煉教師引導(dǎo)學(xué)生參照下面兩個(gè)方面，回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，進(jìn)行相互交流：（1）知識(shí)總結(jié)：勾股定理以及逆定理的實(shí)

7、際應(yīng)用；（2）方法歸納：數(shù)學(xué)建模的思想?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)方法，體會(huì)思想。5。布置作業(yè)教科書34頁題17。2第3題，第4題，第5題，第6題。五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1。小明在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上負(fù)責(zé)聯(lián)絡(luò)，他先從檢錄處走了75米到達(dá)起點(diǎn)，又從起點(diǎn)向東走了100米到達(dá)終點(diǎn)，最后從終點(diǎn)走了125米，回到檢錄處，則他開始走的方向是（假設(shè)小明走的每段都是直線） （ ）A。南北 B。東西 C。東北 D。西北【設(shè)計(jì)意圖】考查運(yùn)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際生活問題。2。甲、乙兩船同時(shí)從港出發(fā)，甲船沿北偏東的方向，以每小時(shí)9海里的速度向島駛?cè)?，乙船沿另一個(gè)方向，以每小時(shí)12海里的速度向島駛?cè)ィ?小時(shí)后

8、兩船同時(shí)到達(dá)了目的地。如果兩船航行的速度不變，且兩島相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏東多少度？【設(shè)計(jì)意圖】考查建立數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確畫出幾何圖形，運(yùn)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際生活問題。3。如圖是一塊四邊形的菜地，已知求這塊菜地的面積?！驹O(shè)計(jì)意圖】考查利用勾股定理及逆定理將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形，巧妙地求解。第一篇：14.2勾股定理的應(yīng)用教案14.2 勾股定理的應(yīng)用執(zhí)筆人：審核：八年級(jí)數(shù)學(xué)組 課型：新授 時(shí)間：1、知識(shí)與方法目標(biāo)：通過對(duì)一些典型題目的思考、練，能正確、熟練的進(jìn)行勾股定理有關(guān)計(jì) 算，深入對(duì)勾股定理的理解。2、過程與方法目標(biāo)：通過對(duì)一些題目的探討，以達(dá)到掌握知識(shí)的目的。3、情感

9、與態(tài)度目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)定理的美。課前復(fù)1、勾股定理的內(nèi)容是什么？問：是這樣的。在RtABC中，C90，有：AC2+BC2AB2，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系。今天我們來看看這個(gè)定理的應(yīng)用。 新課過程 分析：大家分組合作探究：解：在RtABC中，由題意有：AC2.236AC大于木板的寬薄木板能從門框通過。 學(xué)生進(jìn)行練：1、在RtABC中，ABc，BCa，ACb， B=90. 已知a=5，b=12，求c； 已知a=20，c=29，求b （請(qǐng)大家畫出圖來，注意不要簡(jiǎn)單機(jī)械的套a+bc，要根據(jù)本質(zhì)來看問題）2、如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6厘米和8厘米，那么這個(gè)三

10、角形的周長(zhǎng)是多少222厘米？解：當(dāng)6cm和8cm分別為兩直角邊時(shí)；斜邊10周長(zhǎng)為：6+8+1024cm 當(dāng)6cm為一直角邊，8cm是斜邊時(shí)，另一直角邊周長(zhǎng)為：6+8+2214+2解：由題意有：O90，在RtABO中AO又下滑了0.4米OC2.0米 在RtODC中 OD外移BD0.8米 答：梯足將外移0.8米。 例3 再來看一道古代名題：這是一道成書于公元前一世紀(jì)，距今約兩千多年前的，九章算術(shù)中記錄的一道古代趣題：=1.5（米）2.4（米）“現(xiàn)在有一個(gè)貯滿水的正方形池子，池子的中央長(zhǎng)著一株蘆葦，水池的邊長(zhǎng)為10尺，蘆葦露出水面1尺。若將蘆葦拉到岸邊，剛好能達(dá)到水池岸與水面的交接線的中點(diǎn)上。請(qǐng)求出

11、水深與蘆葦?shù)拈L(zhǎng)各有多少尺？解：由題意有：DE5尺，DFFE+1。 設(shè)EFx尺，則DF（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52（x+1）2 解之得：x12 答：水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺。例4 如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？解：由題意有：BC12米，AC16115米。 在RtABC中 AB13 答：小鳥至少要飛13米。三、作業(yè)：完成書P77頁1，P78頁2、3四、教學(xué)反思：第二篇：勾股定理的應(yīng)用1、 勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：（1

12、）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系。求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2、 如何判定一個(gè)三角形是直角三角形 （1） 先確定最大邊（如c） （2） 驗(yàn)證c與a+b則ABC不是直角三角形。3、 勾股數(shù) 滿足c=a+b的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù) 如（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、 三角形的三邊長(zhǎng)為abcba2)(22+=+,則這個(gè)三角形是()A. 等邊三角形B. 鈍角三角形C. 直角三角形D. 銳角三角形3. 已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和

13、4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或256. 將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù), 得到的三角形是() （A） 鈍角三角形（B） 銳角三角形（C） 直角三角形（D） 等腰三角形.7. 如圖小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是 ()（A） 25（B） 12.5（C） 9（D） 8.54、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱 形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取 值范圍是（）Ah17cmBh8cmC15cmh16cmD7cmh16cm3、如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m， 梯子

14、的頂端B到地面的距離為7m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A， 使梯子的底端A到墻根O的距離等于3m同時(shí)梯子的頂端B下降 至B，那么BB（）A小于1mB大于1mC等于1mD小于或等于1m11、如圖，甲船以16海里/時(shí)的速度離開港口，向東南航行， 乙船在同時(shí)同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個(gè)半小時(shí)后 分別到達(dá)B、A兩點(diǎn)，且知AB30海里，問乙船每小時(shí)航行多少 海里222222是否具有相等關(guān)系 （3） 若c2=a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形；若c2a2+b2第三篇：勾股定理應(yīng)用教案（最終版）18.1勾股定理（第二課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)：1、運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.2、運(yùn)用勾股定理解

15、釋生活中的實(shí)際問題.3、通過從實(shí)際中抽象出直角三角形這一幾何模型，初步掌握轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法.4、通過研究一系列富有探究性的問題，培養(yǎng)學(xué)生于他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì).二、重點(diǎn)：勾股定理的運(yùn)用.難點(diǎn)：勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.三、教學(xué)流程安排活動(dòng)一（導(dǎo)練自主探究）問題（1） 求出下列三角形中未知的邊. 在解決上述問題時(shí)，每個(gè)直角三角形需要知道幾個(gè)條件？直角三角形中那條邊最長(zhǎng)？（2） 在長(zhǎng)方形ABCD中，寬AB為1m，長(zhǎng)BC為2m，求AC長(zhǎng). 活動(dòng)二（導(dǎo)疑自主發(fā)現(xiàn)）問題（1） 在長(zhǎng)方形ABCD中，AB、BC、AC的關(guān)系？ （2） 一個(gè)門框的尺寸如圖1所示. 若有一塊長(zhǎng)3m，寬0.8m的薄

16、木板，怎樣從門框通過？ 若薄木板長(zhǎng)3m，款1.5m呢？若薄木板長(zhǎng)3m，款2.2m呢？為什么？（3） 如圖2，一個(gè)長(zhǎng)3m的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時(shí)AO的距離為2.5m.梯子的底端B據(jù)墻角O多少米？如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請(qǐng)同學(xué)們： 猜一猜，底端也將滑動(dòng)0.5m么？算一算，底端滑動(dòng)的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.圖1圖2 活動(dòng)三（導(dǎo)練自主創(chuàng)新）（1）如圖2，一個(gè)長(zhǎng)5m的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時(shí)梯子的底端距墻底的距離為3m.梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)1m么？用所學(xué)知識(shí)論證你的結(jié)論.（2）一棵樹原高18m，折斷后數(shù)的頂落在

17、離樹根底6m處，這棵樹斷裂處離地面高為多少？（3）如圖3，分別以RtABC三邊為邊向外做三個(gè)正方形，其面積分別為S1,S2,S3,容易得出S1,S2,S3之間的關(guān)系為_. 變式：教科書題18.1第11題，如圖4. 活動(dòng)四（1） 小節(jié)（2） 作業(yè)：教科書題18.1第2、3、4、5、12題.圖3圖4第四篇：14.1.2 勾股定理的驗(yàn)證及簡(jiǎn)單應(yīng)用(說課稿)八年級(jí)數(shù)學(xué)上14.1.2勾股定理的驗(yàn)證及簡(jiǎn)單應(yīng)用新甸一初中肜合雨114.1.2勾股定理的驗(yàn)證及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教材分析1、教材所處的地位與作用勾股定理是反映自然界規(guī)律的一條重要結(jié)論，它歷史悠久，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用，現(xiàn)實(shí)中有廣泛的應(yīng)用。勾股定理

18、的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證及應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值。它從邊的角度進(jìn)一步對(duì)直角三角形的特征進(jìn)行了刻畫。本節(jié)是學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的發(fā)現(xiàn)這一探索過程后的進(jìn)一步研究，它的主要內(nèi)容是對(duì)勾股定理的拼圖驗(yàn)證及簡(jiǎn)單應(yīng)用。教材一開始要求學(xué)生運(yùn)用四個(gè)全等的直角三角形進(jìn)行拼圖，來驗(yàn)證勾股定理的正確性，并不失時(shí)機(jī)地給學(xué)生介紹“弦圖”，通過它讓學(xué)生體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生利用勾股定理來解決一些實(shí)際問題。2、教學(xué)重、難點(diǎn)的確定教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理的應(yīng)用過程，使學(xué)生獲得一些研究問題與合作交流的方法經(jīng)驗(yàn)。 難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理。 【設(shè)計(jì)意圖】關(guān)注學(xué)生是否能與同伴進(jìn)行有效的合

19、作交流； 關(guān)注學(xué)生是否積極的進(jìn)行思考；關(guān)注學(xué)生能否探索出解決問題的方法。本節(jié)知識(shí)通過 “ 拼圖實(shí)踐探索驗(yàn)證分析結(jié)果運(yùn)用定理 ” 等活動(dòng)過程，使學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理，并從中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)運(yùn)用，學(xué)會(huì)交流，體會(huì)知識(shí)反映出來的豐富的文化內(nèi)涵，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵著的數(shù)學(xué)息。二、 教學(xué)目標(biāo)的確定教學(xué)目標(biāo)是一堂課的中心任務(wù)，它只有在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能充分實(shí)現(xiàn)。一堂課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)全面、適度、明確、具體，便于檢測(cè)。據(jù)此特定目標(biāo)為： 【知識(shí)目標(biāo)】（）經(jīng)歷用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的過程，進(jìn)一步理解掌握勾股定理； （）了解勾股定理的歷史，初步掌握勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 【能力目標(biāo)】經(jīng)歷觀察、歸納、

20、猜想和驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展合情合理的推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)形數(shù)結(jié)合的思想； 【情感目標(biāo)】（）通過對(duì)勾股定理歷史的了解和實(shí)例應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。2（）通過獲得成功的經(jīng)驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)研究的心。三、教學(xué)方法的選擇： 數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法必須由學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐中理解和發(fā)展；因此在教學(xué)中，以學(xué)生為本位，充分挖掘教材的空間，為學(xué)生搭建動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的平臺(tái)；注重讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的研究積極性，并通過這個(gè)過程，使學(xué)生體驗(yàn)研究成功的樂趣，在積極的思維中獲取知識(shí)，發(fā)展能力。四、教學(xué)程序的設(shè)計(jì)1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課情境

21、的創(chuàng)設(shè)能夠充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的研究愿望和參與動(dòng)機(jī)，是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)研究的前提。初步體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值，為下一步的拼圖作鋪墊。2、自主實(shí)踐，探索驗(yàn)證課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)?！币虼?，在研究中要求學(xué)生分研究小組，動(dòng)手實(shí)踐，積極思考，獲得技能與解決問題的方法。 關(guān)注學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,關(guān)注學(xué)生主動(dòng)探索與合作交流,關(guān)注學(xué)生積極思考,給學(xué)生思維表達(dá)的時(shí)間、空間，讓學(xué)生經(jīng)歷探索知識(shí)的過程，并在這個(gè)過程中得到發(fā)展. 兩種拼圖方案：33、應(yīng)用定理，解決問題數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，運(yùn)用于實(shí)踐；開放性處理教材，鼓勵(lì)學(xué)生充分地發(fā)表意見，表現(xiàn)自我，讓學(xué)生在教師營造的“創(chuàng)新土壤”中成為主人；給學(xué)生思

22、維以廣闊的空間，培養(yǎng)學(xué)生從多角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求解決問題的能力。4、鞏固、延伸、拓展課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們的學(xué)生學(xué)會(huì)“嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，并能有效地解決問題”同時(shí)又提出“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”練上我立足于鞏固，著眼于發(fā)展，同時(shí)兼顧差異，滿足少數(shù)同學(xué)渴望發(fā)展的要求5、欣賞體會(huì)，豐富自我向?qū)W生展示勾股定理的有關(guān)史料 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生更好地體會(huì)勾股定理的豐富內(nèi)涵與文化背景，陶冶情操，豐富自我，從中得到深層次的發(fā)展第五篇：勾股定理的證明及應(yīng)用勾股定理的證明及應(yīng)用【重點(diǎn)】：研究勾股定理的文化背景，欣賞歷史上經(jīng)典的勾股定理證明方法，體會(huì)其蘊(yùn)含的創(chuàng)新思維，初步運(yùn)用勾股定理分析處理具體問題

23、【難點(diǎn)】：通過圖示欣賞，還原推測(cè)圖示所含的證明方法【勾股文化研究】勾股定理是歐式平面幾何的一個(gè)核心結(jié)果，是三角學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，與“黃金分割”一起被開普勒稱為“幾何學(xué)兩個(gè)寶藏”。它在RT的三條邊之間建立了固定關(guān)系，使人們對(duì)原來幾何學(xué)的感性認(rèn)識(shí)精確化，其中體現(xiàn)出來的“數(shù)形統(tǒng)一”的思想方法，啟發(fā)了人類對(duì)數(shù)學(xué)的深入思考，促成了解析幾何與三角學(xué)的建立，使數(shù)學(xué)的兩大門類代數(shù)和幾何結(jié)合起來，許多大科學(xué)家都認(rèn)為勾股定理以及處理數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法深深地影響了現(xiàn)在許多學(xué)科的思考模式。千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因

24、為勾股定理既重要又簡(jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為畢達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。在西方國家，一般稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯（前500）定理，因?yàn)槿藗兿嗍钱呥_(dá)哥拉斯最早提出并證明了這一定理。并且據(jù)說，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時(shí)，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈。因而這一定理又有了“百牛定理的稱法。在法國和比利時(shí)這個(gè)定理被稱為“驢橋定理”。在中世紀(jì)的阿拉伯國家和印度，這一定理

25、還有一個(gè)綽號(hào)，叫“新娘圖”。至于綽號(hào)由來，現(xiàn)代人眾說紛紜，莫衷一是。在我國以前也稱這一定理為畢達(dá)哥拉斯定理。五十年代初，曾展開過關(guān)于這一定理命名的討論。有人主張叫“商高定理”。因這一結(jié)論的在我國最早是由西周初的商高提出的。在數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)(前1世紀(jì))一書中，記載有商高(前1120)與周公的對(duì)話，其中商高提出了“勾三股四弦五的說法。不過據(jù)推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關(guān)系的特例情況，普遍性的結(jié)論，由陳子(前716)提出。他說：“勾股各自乘，并而開方除之”這是普遍勾股定理在我國的最早記載。故有人主張應(yīng)稱為“陳子定理”。后來決定不用人名，而稱為“勾股定理”。單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項(xiàng)

26、平面幾何之最了。今天有人戲稱，勾股定理為宇宙大定理，因?yàn)楝F(xiàn)在看來，世界上各民族都在差不多接近的時(shí)間內(nèi)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理及其逆定理。目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多號(hào)，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據(jù)說我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種“語言”的。勾股定理在每一個(gè)時(shí)代都會(huì)被當(dāng)代的精英們給出新的內(nèi)涵外延，從柏拉圖尋求不定方程通解到費(fèi)馬大定理，到今天的分形勾股樹(如右上兩圖)，每每讀到這些智慧的創(chuàng)造都會(huì)讓人神往。【勾股定理的證明】觀察下列圖形，推測(cè)勾股定理的證明方法1、下圖是幾何原本（

27、公元前4世紀(jì)前后）中提供的一種證明方法，過A作AHBC于H延長(zhǎng)交FK于G可證明：證明思路很多，較簡(jiǎn)捷的是過F作FPAB于P易證FPBCBA進(jìn)而可知而2、下圖最早是由我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽（東漢末至三國東吳人）提出的一種證法該圖叫弦圖，由圖示可知3、下圖最早是由我國三國時(shí)魏國的數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）為注釋九章算術(shù)時(shí)提出的一種證法“青朱入出圖”， 由圖示邊長(zhǎng)為a、b的兩個(gè)正方形，如圖示裁割M補(bǔ)入 處，N補(bǔ)入處，Q補(bǔ)入處4、下圖最早是由古代印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅提出的一種證法圖示的裁割線索很清晰，你試試給出解釋【勾股定理的應(yīng)用】1、已知在ABC中，a，b，c分別是A、B，C的對(duì)邊，且a=3，b=4，且

28、b錯(cuò)解：由勾股定理可得分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影響，沒有認(rèn)真審題，錯(cuò)在沒有注意到題目中的三角形是否為直角三角形。 正解：，又， ，即4評(píng)述：運(yùn)用勾股定理解決問題時(shí)，必須是在直角三角形的條件下，不可不加分析就用勾股定理來進(jìn)行計(jì)算。2、已知：三角形兩邊的長(zhǎng)分別是5和12，如果這個(gè)三角形是直角三角形，則其第三邊長(zhǎng)為_ ， x=13 錯(cuò)解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，則由勾股定理可得：分析：由于此題中己知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但沒有明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，故需要分情況討論 正解：當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=13；當(dāng)x為直角邊時(shí)，故第三邊長(zhǎng)為13或。 評(píng)述：在運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定明確哪條是直角邊，

29、哪條是斜邊，以防止運(yùn)用不當(dāng)。3、利用勾股定理求線段長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 (1) 在RtABC中，C=90，若a=7，b=24，則c=_；若a=5，c=13，則b=_； 若b=15，c=25，則a=_ (2) 等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，則此直角三角形的腰長(zhǎng)為_ (3) 在直角三角形ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，則斜邊AB=_，斜邊AB上的高線長(zhǎng) 為_。(與面積的結(jié)合) (4) 在RtABC中，ACB=90，且c+a=9，c-a=4，則b=_。 (5) 如果一個(gè)直角三角形有一條直角邊長(zhǎng)為11，另兩條邊長(zhǎng)為自然數(shù)，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是_ 解析：（1） （2）2 （3）AB=10, （4）

30、（5）設(shè)斜邊長(zhǎng)為c，另一直角邊為a，則 c、a為自然數(shù) 周長(zhǎng)為132 4、勾股定理在幾何中的應(yīng)用。 己知：ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)。 解：過A作AEBC于E。 AB=AC， 在RtABE中，AB=20，BE=16， AE=12 故在RtADE中，設(shè)DE=x，則 ADAC于A， 解得 ，即， BD=BE-DE=16-9=7 評(píng)述：勾股定理是解決直線形中線段計(jì)算問題的常用方法，題目中含有直角三角形別忘記使用，題目中沒有給出直角三角形可以考慮作垂線構(gòu)建直角三角形。5、利用勾股定理解決實(shí)際問題 (1)平面上有A、B兩點(diǎn)處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C

31、處有食物，已知點(diǎn)C在A的東南方向，在B的西南方向。甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cmmin。結(jié)果甲螞蟻用了2 min，乙螞蟻2分40秒到達(dá)C處分享食物，試問兩只螞蟻原來所處地點(diǎn)相距多遠(yuǎn)? 解析：首先結(jié)合題設(shè)畫出圖形，C在A東南，則A在C西北；C在B西南，則B在C東北 可知ACB=90，依題設(shè)AC=60cm，BC=80cm AB=100cm (2)如圖A、B為兩個(gè)村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直?，F(xiàn)要從點(diǎn)E處開設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，現(xiàn)在共有兩種鋪設(shè)方案：方案一：EDAB；方案二：ECBA。經(jīng)測(cè)量得千米，BC=10千米，

32、BDC=45，ABD=15。已知：地下電纜的修建費(fèi)為2萬元千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬元千米。 求：1)河寬AD(結(jié)果保留根號(hào))； 2)公路CD的長(zhǎng)： 3)哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低?請(qǐng)說明理由。 解析：過B作BFAD交DA延長(zhǎng)線于F 在RtABF中可知BAF=60，AB BF=6， 在RtBFD中，知BDF=45 DF=BF=6 過B作BGCD于G，則BG=6，BC=10，有CG=8 DC=CG+DG=14 設(shè)CE=x，則方案一、二費(fèi)用分別為 由 當(dāng) 當(dāng)0CE 當(dāng)CE=6、畫出長(zhǎng)為的線段 ，可作圖 可解得，CE14時(shí)，方案一較省 時(shí)，方案二較省 時(shí)，方案一、二均可 解析：考慮到 線段AB為所求

33、考慮到，可作圖 線段CD為所求八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理教案 篇1教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：(1)掌握勾股定理;(2)學(xué)會(huì)利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算、證明與作圖;(3)了解有關(guān)勾股定理的歷史.2、能力目標(biāo)：(1)在定理的證明中培養(yǎng)學(xué)生的拼圖能力;(2)通過問題的解決，提高學(xué)生的運(yùn)算能力3、情感目標(biāo)：(1)通過自主研究的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受;(2)通過有關(guān)勾股定理的歷史講解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育.教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：通過有關(guān)勾股定理的歷史講解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育教學(xué)用具：直尺，微機(jī)教學(xué)方法：以學(xué)生為主體的討論探索法教學(xué)過程：1、新課背景知識(shí)復(fù)(1)三角形的三邊關(guān)系(2)問題：(投影顯示)直角

34、三角形的三邊關(guān)系，除了滿足一般關(guān)系外，還有另外的特殊關(guān)系嗎?2、定理的獲得讓學(xué)生用文字語言將上述問題表述出來.勾股定理：直角三角形兩直角邊 的平方和等于斜邊 的平方強(qiáng)調(diào)說明：(1)勾最短的邊、股較長(zhǎng)的直角邊、弦斜邊(2)學(xué)生根據(jù)上述研究，提出自己的問題(待定)研究完一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，給學(xué)生留有一定的時(shí)間和機(jī)會(huì)，提出問題，然后大家共同分析討論.3、定理的證明方法方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形.方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形以上證明方法都由學(xué)生先分組討論獲得，教師只做指導(dǎo).最后總結(jié)說明4、定理與逆定

35、理的應(yīng)用例1 已知：如圖，在ABC中，ACB= ，AB=5cm，BC=3cm，CDAB于D，求CD的長(zhǎng).解：ABC是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有 2=C又CD的長(zhǎng)是2.4cm例2如圖，ABC中，AB=AC，BAC= ，D是BC上任一點(diǎn)，求證：證法一：過點(diǎn)A作AEBC于E則在RtADE中，又AB=AC，BAC=AE=BE=CE即證法二：過點(diǎn)D作DEAB于E， DFAC于F則DEAC，DFAB又AB=AC，BAC=EB=ED，F(xiàn)D=FC=AE在RtEBD和RtFDC中在RtAED中，例3設(shè)求證：證明：構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng) 的矩形ABCD，如圖在RtABE中在RtBCF中在RtDEF中在BE

36、F中，BE+EFBF即例4國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某村六組有四個(gè)村莊A、B、C、D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.解：不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖1、圖2中的總線路長(zhǎng)分別為AD+AB+BC=3，AB+BC+CD=3圖3中，在RtDGF中同理圖3中的路線長(zhǎng)為圖4中，延長(zhǎng)EF交BC于H，則FHBC，BH=CH由FBH= 及勾股定理得：EA=ED=FB=FC=EF=1-2FH=1-此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF=32.8282.732圖4

37、的連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線.5、課堂小結(jié)：(1)勾股定理的內(nèi)容(2)勾股定理的作用已知直角三角形的兩邊求第三邊已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系6、布置作業(yè)：a、書面作業(yè)P130#1、2、3b、上交作業(yè)P132#1、37、板書設(shè)計(jì)：8、探究活動(dòng)臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東 方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，則稱為受

38、臺(tái)風(fēng)影響(1)該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說明理由(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少?(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理教案 篇2教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念2、過程與方法(1)經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力(2)在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過有趣的問題提高研究數(shù)學(xué)的興趣(2)在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的實(shí)用性教學(xué)重點(diǎn)：探索、發(fā)現(xiàn)事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問

39、題教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過程：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（3分鐘，學(xué)生觀察、猜想）情景：如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？第二環(huán)節(jié)：合作探究（15分鐘，學(xué)生分組合作探究）學(xué)生分為人活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究?jī)牲c(diǎn)連線最短問

40、題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法：建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)圖，計(jì)算學(xué)生匯總了四種方案：（） （） （3）（4）學(xué)生很容易算出：情形（）中AB的路線長(zhǎng)為：AA+d，情形（）中AB的路線長(zhǎng)為：AA+d2所以情形（）的路線比情形（）要短學(xué)生在情形（）和（）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA剪開圓柱得到矩形，前三種情形AB是折線，而情形（）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（）最短如圖：（）中AB的路線長(zhǎng)為：AA+d;（）中AB的路線長(zhǎng)為：AA+ABAB;（）中AB的路線長(zhǎng)為：AO+OBAB;（）中AB的路線長(zhǎng)為：AB.得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題在這個(gè)環(huán)節(jié)中，

41、可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察接下來后提問：怎樣計(jì)算AB？在RtAAB中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12c，底面半徑為3c，取3，則.第三環(huán)節(jié)：做一做（7分鐘，學(xué)生合作探究）教材23頁李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？（2）李叔叔量得AD長(zhǎng)是30厘米，AB長(zhǎng)是40厘米，BD長(zhǎng)是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？第四環(huán)節(jié)：鞏固練（10分鐘，學(xué)生獨(dú)立完成）1甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5/h的速度向正北行走上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？2如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離3有一個(gè)高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的分為0.5米，問這根鐵棒有多長(zhǎng)？第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)（3分鐘，師生