線性代數(shù)試題7

1、試卷一一、填空題（每小題4分）（2）曲面與平面平行的切平面的方程是_.解：設(shè)為與平面平行的切平面的切點(diǎn)坐標(biāo)，則過的法向量為于是過的切平面方程為即由題意兩平面平行，故解得，故因此所求方程為（4）從的基到基的過渡矩陣為_解：.設(shè)為基到基的過渡矩陣則所以.二、選擇題（每小題4分）（4）設(shè)向量組I:可由向量組II:線性表示，則（A）當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). （B）當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān).（C）當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). （D）當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).解：（D）正確.從與的大小關(guān)系，無法確定向量組II的線性相關(guān)性，這可從以下例子看出.設(shè)表示階單位陣的第個(gè)列向量，例1. 取向量組I:；取向量組I

2、I:.向量組I可由向量組II線性表示，但向量組II: 線性無關(guān)，故（A）錯(cuò)誤. 例2.取向量組I: ；取向量組II:.向量組I可由向量組II線性表示，但向量組II: 線性無關(guān)，故（B）錯(cuò)誤.不過從與的大小關(guān)系可以確定向量組I的線性相關(guān)性.由例1知（C）錯(cuò)誤.設(shè)向量組I、II是維向量組.因?yàn)榭捎删€性表示，所以存在矩陣，使，當(dāng)時(shí)，考慮線性方程組因?yàn)?，故在非零解，使，其中不全為零，于是這說明線性相關(guān)，故（D）正確.本題的實(shí)質(zhì)問題是：線性無關(guān)的向量組，不能由個(gè)數(shù)不超過它的向量組線性表示，所以當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).（5）設(shè)有齊次線性方程組和，其中均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：若的解均是的解，則；若，則的解

3、均是的解；若與同解，則；若則，則與同解.以上命題中正確的是（A）. （B）. （C）. （D）.解：（B）正確.在過去歷年的選擇題中，正確的答案只是一個(gè)命題，本題標(biāo)志著由單選開始轉(zhuǎn)入多選。因此增加了選擇題的難度.為了做出正確選擇，需要逐一檢查四個(gè)命題的對(duì)與錯(cuò).由的解均是的解，說明，這里分別表示上述兩個(gè)線性齊方程組的解空間，故故正確.反之從，得，但這僅表示兩個(gè)系數(shù)矩陣秩的大小或兩個(gè)解空間維數(shù)的大小，與方程組與的解無直接關(guān)系. 如取.是的解，但它顯然不是的解故（2）錯(cuò)誤.由與同解知于是.故（3）正確.僅從當(dāng)然不能斷定與同解，因?yàn)橹认嗤耐途仃嚺c方程組同解相差甚遠(yuǎn).取顯然錯(cuò)誤.綜上所述、正確，故選

4、（B）.九、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣.解法1 經(jīng)計(jì)算可得從而故的特征值為9,9,3.當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為所以對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為所以對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為，其中是不為零的任意常數(shù).解法2 設(shè)的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即. 由于，所以.又因，故有.于是有因此，為的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為.由于，故的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為由，得因此，的三個(gè)特征值分別為9,9,3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為，其中是不全為零

5、的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為. 其中是不為零的任意常數(shù). 十、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為.證法1必要性：設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則線性方程組（*）有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是.由于但，故充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于，故秩. 于是，秩秩.因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點(diǎn).證法2 必要性：設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為的非零解，其中.于是.而但，故.充分性：考慮線性方程組（*）將方程組（*）的三個(gè)方程相加，并由可知，方程組（*）等價(jià)于方程組（*）因?yàn)楣史匠探M（*）有惟一解，所以方程組（*）有惟一

6、解，即三直線交于一點(diǎn).試卷二一、填空題（每小題4分）（5）設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置，若，則_.解： 3 .顯然的第2列，第3列分別是由乘第1列所得到，故所以（6）設(shè)三階方陣滿足，其中為三階單位矩陣，若則_.解：.由有故而是可逆陣，上式左乘得.取行列式因于是.二、選擇題（每小題4分）（6）同試卷一之二、（4）十一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對(duì)角矩陣，試確定常數(shù)的值；并求可逆矩陣使.解：矩陣的特征多項(xiàng)式為，故的特征值為.由于相似于對(duì)角矩陣，故對(duì)應(yīng)于應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此矩陣的秩應(yīng)為1. 從而由知.于是對(duì)應(yīng)于的兩個(gè)線性無關(guān)特征向量可取為當(dāng)時(shí)解方程組得對(duì)應(yīng)于的特征向量.令，則可逆，并有.

7、十二、同試卷（一）十.試卷（三）一、填空題（每小題4分）（4）設(shè)維向量為階單位矩陣，矩陣其中的逆矩陣為，則_.解：.因?yàn)榈哪婢仃嚍?，故即由此因?yàn)椴皇橇汴?，故解之因?yàn)椋崛?，所?二、選擇題（每小題4分）（4）設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩等于1，則必有（A）或（B）或.（C）且. （D）且.解：（C）正確因?yàn)椋什豢赡?，由知也不可逆，因此有故可能或事?shí)上，這是因?yàn)槿簦瑒t則的二階子式全為零，于是由伴隨矩陣，與矛盾可見，于是必有所以（C）正確，（A）、（B）、（D）皆錯(cuò)誤.（5）設(shè)均為維向量，下列結(jié)論不正確的是（A）若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān).（B）若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為

8、零的數(shù)，有.（C）線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為.（D）線性無關(guān)的必要條件是任意兩個(gè)向量線性無關(guān).解：（B）不正確.因?yàn)閷?duì)任意一組不全為零的數(shù)都不是零向量，它的等價(jià)說法是只有當(dāng)全為零時(shí)才有這就說明線性無關(guān)，因此（A）正確.對(duì)于（C），當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，它即為自己的極大無關(guān)組，此向量組的秩為. 反之，向量組的的秩為，說明此向量組中有個(gè)向量線性無關(guān)，因此線性無關(guān)，故（C）正確.至于（D），當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，把其中任意個(gè)向量去掉后，剩下的兩個(gè)向量一定線性無關(guān). 如若不然，再把去掉的個(gè)向量再加回來，就推出線性相關(guān)，矛盾，所以（D）也是正確的.（B）中，若線性相關(guān)，只需要一組不全為零的數(shù)，而不是任意一組

9、不全為零的數(shù)，使后者條件太強(qiáng)了.因此（B）不正確，故選之.注意此題選擇的是結(jié)論“不正確”，而非“正確”.九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組其中. 試討論和滿足何種關(guān)系時(shí)，（1）方程組僅有零解；（2）方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.解：方程組的系數(shù)行列式.（1）當(dāng)且時(shí)，秩，方程組僅有零解.（2）當(dāng)時(shí)，原方程組的同解方程組為.由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為.當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為由此得原方程組的同解方程組為.原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為.十、（本題滿分13分）設(shè)二次型其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為.（1）求值；（2）利用

10、正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.解法1（1）二次型的矩陣為.設(shè)的特征值為. 由題設(shè)，有.解得.（2）由矩陣的特征多項(xiàng)式，得的特征值.對(duì)于，解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系.由于已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得.令矩陣則為正交矩陣，在正交變換下，有且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為.解法2 （1）二次型的矩陣為的特征多項(xiàng)式為.設(shè)的特征值為，則. 由題設(shè)得，.解得（2）由（1），可得的特征值為.試卷（四）一、填空題（每小題4分）（4）均為三階矩陣，是三階單位矩陣已知?jiǎng)t_.解：由得（是自逆的對(duì)合陣）（5）同試卷五之一、（4）

11、.二、選擇題（每小題4分）（4）設(shè)矩陣已知矩陣相似于，則秩與秩之和等于（A）2. （B）3. （C）4. （D）5.解：（C）正確因?yàn)橄嗨朴冢耘c有相同的特征值.即的特征值為所以的特征值為因?yàn)?不是特征值，故是非奇異矩陣，由相似于，則存在非奇異矩陣，使于是這說明與相似，當(dāng)然它們的秩相等由的秩為1，得的秩為1，所以與秩之和為4.故選（C）.九、（本題滿分13分）設(shè)有向量組（I）：和向量組（II）：. 試問：當(dāng)為何值時(shí)，向量組（I）與（II）等價(jià)？當(dāng)為何值時(shí)，向量組（I）與（II）不等價(jià)？解：作初等行變換，有.（1）當(dāng)時(shí)，有行列式，秩，故線性方程組均有惟一解. 所以，可由向量組（I）線性表示.同樣，行列式，秩，故可由向量組（II）線性表示. 因此，向量組（I）與（II）等價(jià).（2）當(dāng)時(shí)，有.由于秩秩，線性方程組無解，故向量不能由線性表示. 向量組（I