北師大版專練數(shù)學(xué)歸納法名師精編單元測試

1、 名校名師舉薦 知能專練（十二）數(shù)學(xué)歸納法一、挑選題1已知 fn1 22 23 2 2n 2,就 fk1與 fk的關(guān)系是 A fk1fk2k1 22k2 22B fk1fkk12C fk1fk2k22D fk1fk2k1解析： 選 A fk11 22 2 3 2 2k 22k1 22k1 2 fk 2k1 22k2 2,應(yīng)選 A. 2用數(shù)學(xué)歸納法證明 11 2 21 3 2 2 n1 1 222 n1n2nN 1 *時,第一步需要證明 1A 1221B 11 2 222 21 1C 11 2 21 3 2 22 21 1D 11 2 21 3 21 4 2 22 21 1解析： 選 C 第一步

2、驗證 n2 時是否成立,即證明 112 23 1222 2 1. 13某個與正整數(shù)有關(guān)的命題：假如當(dāng) nkkN *時命題成立, 就可以推出當(dāng) nk1時該命題也成立現(xiàn)已知 n5 時命題不成立,那么可以推得 A當(dāng) n4 時命題不成立B當(dāng) n6 時命題不成立C當(dāng) n4 時命題成立D當(dāng) n6 時命題成立解析：選 A 由于當(dāng) nkkN *時命題成立, 就可以推出當(dāng) nk1 時該命題也成立,所以假設(shè)當(dāng) n4 時命題成立,那么 n5 時命題也成立,這與已知沖突,所以當(dāng) n4 時命題不成立4證明 121 31 4 2n1n 2nN*,假設(shè) nk 時成立,當(dāng)n k1 時,左端增加的項數(shù)是 Bk1 項A 1 項C

3、 k 項D2k 項1 名校名師舉薦 解析： 選 D 當(dāng) nk 時,不等式左端為 11 21 31 4 2 k 1；當(dāng) n k1 時,不 1等式左端為 11 21 3 2 k11 k 2 k1 1,增加了1 k 2 k 11項,共 2 1 k112 k12 k 項5利用數(shù)學(xué)歸納法證明“n1n2 nn2 n 1 3 2n1,nN *” 時,從“nk” 變到“nk1” 時,左邊應(yīng)增乘的因式是 A 2k1 B22k1 2k1 2k 3C. k1 D. k1解析： 選 B 當(dāng) nkkN *時,左式為 k1k2 kk；當(dāng) nk1 時,左式為k 11 k12 k1 k1 k1 k k1 k1,就左邊應(yīng)增乘的

4、式子是2k1 2k 2 k122k12 k162022 杭州模擬 對于不等式n2nn1nN*,某同學(xué)的證明過程如下：1當(dāng) n1 時,1 2111,不等式成立2假設(shè) nkkN*時,不等式成立, 即k2kk1,就 nk1 時,k1k23k2n 21 對于 nn0 的正整數(shù) n 都成立” 時,第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取 _解析： 當(dāng) n1 時, 22,不成立當(dāng) n2 時, 45,不成立當(dāng) n3 時, 810,不成立當(dāng) n4 時, 1626,成立當(dāng) n6 時, 6437,成立由此知 n0 應(yīng)取 5. 答案： 5 三、解答題102022 安慶模擬 已知數(shù)列 an滿意 a1a2,anan12n2,n

5、 N*1求證：對任意nN*,an2；2判定數(shù)列 an的單調(diào)性,并說明你的理由解： 1證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明an2n N*當(dāng) n 1 時, a1a2,結(jié)論成立；假設(shè) nkk1時結(jié)論成立,即ak2,就 nk1 時, ak1ak2222,所以 n k1 時,結(jié)論成立故由及數(shù)學(xué)歸納法原理,知對一切的nN*,都有 an2 成立2an是單調(diào)遞減的數(shù)列由于 a 2 n1a 2 n an 2a 2 n an2an1,又 an2,所以 a 2 n1a 2n0,所以 an1an. 故an是單調(diào)遞減的數(shù)列11已知點(diǎn) Pnan,bn滿意 an1anbn1,bn1bnnn N*,且點(diǎn) P1 的坐標(biāo)為 1,14a11求過

6、點(diǎn) P1,P2的直線 l 的方程；2試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于nN*,點(diǎn) Pn 都在 1中的直線l 上解： 1由題意得a11,b1 1,3 名校名師舉薦 b211, a21114 1 3 31 3,x 1,13 1P23,1 3 .直線 l 的方程為y11 31即 2xy1. 2證明：當(dāng) n1 時, 2a1 b12 111 成立假設(shè) nkk1 且 kN*時, 2akbk 1 成立就 2ak1bk12akbk1bk 1bk 14a k2ak1bk12ak1,12ak12ak當(dāng) n k1 時, 2ak1 bk 11 也成立由知,對于全部的nN*,都有 2anbn1,即點(diǎn) Pn 在直線 l 上12已知

7、集合 X1,2,3,Yn1,2,3, , nnN *,設(shè) Sna,b|a 整除 b 或 b 整 除 a,aX,bYn,令 fn表示集合 Sn所含元素的個數(shù)1寫出 f6的值；2當(dāng) n6 時,寫出 fn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解： 1Y61,2,3,4,5,6 ,S6 中的元素 a,b滿意：如 a1,就 b1,2,3,4,5,6；如 a2,就 b1,2,4,6；如 a3,就 b1,3,6. 所以 f613. 2當(dāng) n6 時,fnn 2n 2 n 3,n6t,tN* n 2n 1n12 3,n6t1,n 2n 2 n2, n6t2,n 2n 1 2n 3, n6t3,n 2n 2 n1, n6t

8、4,n 2n 1n22 3,n6t5下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n 6 時, f6626 26 313,結(jié)論成立假設(shè) nkk6時結(jié)論成立,那么nk1 時, Sk1 在 Sk 的基礎(chǔ)上新增加的元素在 4 名校名師舉薦 1,k1,2,k1,3,k1中產(chǎn)生,分以下情形爭論：a如 k 16t,就 k6t15,此時有fk1fk3k 2k1 2k2 33 k12k1 2k1 3,結(jié)論成立；b如 k 16t1,就 k6t,此時有fk1fk1k 22k 31 k12k1 1k1 1,結(jié)論成立；2 3 c如 k16t2,就 k6t1,此時有fk1fk2k 2k1 2k1 32 k12k1k1 2,結(jié)論成立；2 3 d如 k 16t3,就 k6t2,此時有 fk1fk2k 2k 2k2 32 k12k1 1k1,結(jié)論成立；2 3 e如 k16t4