不等式中恒成立問題的解題策略

1、PAGE PAGE 13不等式中恒成立問題的解題策略在高中數(shù)學(xué)的不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當(dāng)一個結(jié)論對于某一個字母的某一個取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題.對這類問題學(xué)生往往感到困難，所以幫助學(xué)生領(lǐng)會問題實(shí)質(zhì)，把握問題的思維特點(diǎn)，是解決這類問題的關(guān)鍵.實(shí)際上，“恒成立”問題的思維特點(diǎn)和解題的突破口就在一個“恒”字上，解決此類問題需要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點(diǎn).通過對高中數(shù)學(xué)中不等式的恒成立問題的總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)這類問題在解題

2、過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)；運(yùn)用反證法等.本文通過對具體問題的分析，來說明不等式中的“恒成立”問題的解法思路.一、一次函數(shù)型給定一次函數(shù)(0),若在內(nèi)恒有0，則根據(jù)一次函數(shù)的圖象（線段）可得上述結(jié)論等價于或也可合并成同理，若在內(nèi)恒有，則有nmoxynmoxy例1若不等式21對一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：令（）21，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù) 在區(qū)間-2，2內(nèi)函數(shù)值小于0恒成立的問題.考察區(qū)間端點(diǎn)，只要0且0即可，解得（，）.本題的不等式中出現(xiàn)了兩個變量：、,并且是給出了m的范圍,要求x的相應(yīng)范圍.若直接從關(guān)于的不等式正

3、面出發(fā)求解較難，而把看作自變量，看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間-2，2內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)函數(shù)值小于0恒成立,求參變量的范圍的問題,進(jìn)而化難為易,問題得以解決.二、二次函數(shù)型對于二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立.例2：若關(guān)于的不等式的解集是，求的范圍.解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，所以要討論是否是0.（1）當(dāng)時，原不等式可化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，.這是一個含參數(shù)的不等式恒成立的問題.不等式的解集是，實(shí)際上就是不等式在上恒成立.但注意要對不等式中的參數(shù)的不同取值要進(jìn)行分類討論.此解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的思

4、想方法，這些都是常用的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)，以引起學(xué)生的重視,讓其在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中,不斷加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解,提高數(shù)學(xué)思維的靈活性.三、變量分離型若在不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域或最值問題求解.理論依據(jù)：例3、當(dāng)為何值時，不等式恒成立？解： 又(+)2+3的最小值為4. 要使恒成立(-1)24. 解得 09. 當(dāng)09時，不等式恒成立.本題中的不等式兩邊都有，若直接求解,則不太容易，因此可以先對不等式進(jìn)行化簡變形，把含有的項(xiàng)全部放在不等號一邊，另一

5、邊看成關(guān)于cosx的二次函數(shù),從而得以解決. 特別要注意，用上述方法解不等式恒成立問題時，m必須是一個與自變量x無關(guān)的量，否則不能轉(zhuǎn)化！四、把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題例5 若不等式對于任意都成立，求的取值范圍. 解：作出函數(shù)的圖像，如右圖所示.由題意知 在(0, ，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方.所以. 作直線=，與和的圖像分別交于A、B兩點(diǎn)，為保證在區(qū)間（0，上的圖像在圖像的上方，不難從圖中得到其條件是點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方.當(dāng)=時，, 又 得1學(xué)生看到這個題目可能一開始束手無策，因?yàn)榇祟}中的不等式左邊是對數(shù)式，右邊是三角式，很難用初等數(shù)學(xué)的知識去解這個不等式，但如果想到數(shù)形結(jié)合的方法，

6、把左右兩邊分別看成兩個函數(shù).把左邊看成對數(shù)函數(shù)，右邊看成三角函數(shù)，這個不等式對任意（0，都成立，就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像在區(qū)間（0，上都在函數(shù)圖像的上方，這就從一個代數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化到了一個函數(shù)圖象的問題，然后從圖像中尋找條件，就能解決問題.五、采用逆向思維，考慮使用反證法.例6、設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)都有，且存在實(shí)數(shù)，使.求證：對任意實(shí)數(shù)，恒成立.分析：這是一個抽象函數(shù)的證明題，由，只要令，就能得到，接下來要證明對任意實(shí)數(shù)，都不等于.這是一個恒成立問題.從正面直接證明比較困難，所以可以考慮反證法，即如果找到一個使，能推出矛盾就行了.事實(shí)上，若存在使，則對任意實(shí)數(shù)，有，顯然這與題設(shè)“

7、存在實(shí)數(shù)，使”矛盾.恒成立問題有時候從正面很難入手，這時如果考慮問題的反面，會對解題帶來一定的幫助，所謂“正難則反”就是這個道理.總之，不等式中的恒成立問題的解法思路主要就是轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題等價轉(zhuǎn)化為簡單的、容易解決的問題.而要讓學(xué)生做到正確的、靈活的轉(zhuǎn)化，就要求我們在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過 程中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結(jié)構(gòu)和方法體系，在此過程中不斷提高數(shù)學(xué)解題能力,增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點(diǎn)，而不等式更是高考的重點(diǎn)，有人說“不等式恒成立問題”是高考的興奮點(diǎn)，這不無道理.但此類問題解法靈活、綜合性強(qiáng)，部分學(xué)生常感到無從下手

8、，茫然不知所措，那么到底如何解決這類問題呢?實(shí)際上只要緊緊“抓”住這類問題求解中的幾個“抓手”，求不等式恒成立問題就會迎刃而解.本文試對這類問題作一些歸納和總結(jié)，以飧讀者. 1.抓“解集” 對于恒成立問題，不等式的解集雖是一把雙刃劍，它常會導(dǎo)致把不等式的解集與恒成立混為一談的錯誤，但如能搞清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，就能把“解集”作為“恒成立”求解的突破口. 例1 關(guān)于x的不等式x+(m+1)x+m0在0，9)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解析：原不等式等價于(x+1)(x+m)0, x0,即x-m, x0.當(dāng)m0時，不等式解集為空集；當(dāng)m0時，原不等式解集為0,m2)，當(dāng)且僅當(dāng)0，9)0,m2

9、)且m0時，原結(jié)論成立，即m29且m0，故m-3. 2.抓“主元” 在錯綜復(fù)雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地在數(shù)學(xué)問題中，多變元的干擾，常會使學(xué)生思維的頭緒，陷入眾多繁復(fù)的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然. 例2 (2006四川卷(文)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，對滿足-1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 解析：它表面上是一個給出參數(shù)a的范圍，解不等式g(x)0的問題，事實(shí)并非如此.現(xiàn)把以x為變量的函數(shù)g(

10、x)=3x2-ax+3a-5，改為以a為變量的函數(shù)，即以變量a為主元，令(a)=(3-x)a+3x2-5(-1a1)，則對-1a1，恒有g(shù)(x)0，即(a)0，從而轉(zhuǎn)化為對-1a1,(a)0恒成立問題，又由(a)是a的一次函數(shù)，問題就容易解決了，只需(1)0, (-1)0,即 3x2-x-20, 3x2+x-80,解方程組得-233.抓“” 二次不等式是不等式問題中一種最常見的題型，解決這類問題有很多方法，但萬變不離其宗，其最根本的方法，還是利用“二次式中的判別式”. 例3 若不等式-x2+2mx-2m-10,x0，1恒成立，求m的范圍. 解析：不等式要求在x0，1時恒成立，所以0僅是一個充分

11、條件.按判別式討論，設(shè)f(x)=-x2+2mx-2m-1. (1)0時，可解得1-2(2)()0 f(0)0 m0或()0 f(1)1解得-12-12. 4.抓“分離” 由“函數(shù)極值”思想可得，f(x)a恒成立af(x)min;f(x)a恒成立af(x)max.由此，此類問題可化歸為求函數(shù)最值或值域的 問題，利用這種方法，關(guān)鍵是將參數(shù)與未知數(shù)進(jìn)行分離，因此叫分離參數(shù)法. 例4 在ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|1, m3，即m(1，3. 例5 (2000年日本大學(xué)入學(xué)試題)已知兩個函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+

12、4x，其中k為實(shí)數(shù). (1)若對任意的x-3，3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范圍； (2)若對任意的x1、x2-3，3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范圍. 解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,問題轉(zhuǎn)化為F(x)0在x-3，3上恒成立，為此只需F(x)在-3，3上的最小值F(x)min0即可.F(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F(x)=0得x=2或x=-1.F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,F(x)min=k-45,由k-450，解得k45. (2)由題意可知，當(dāng)x-3，3時，都

13、有f(x)maxg(x)min.由F(x)=16x+16=0得x=-1.f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,f(x)max=120-k,又由g(x)=6x2+10 x+4=0,得x=-1或x=-23,g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,g(x)min=-21，則120-k-21，解得k141. 5.抓“圖形” “數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，在不等式恒成立問題中，如若一時難以找出突破口，?？陕?lián)想到問題中涉及的函數(shù)圖像，以形助數(shù)，也許會有意想不到的收獲. 例6 已知a0且a1，f(x)

14、=x2-ax，當(dāng)x(-1，1)時，有f(x)12，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析：本題其實(shí)也是一個恒成立問題，即函數(shù)f(x)12在區(qū)間x(-1，1)中恒成立.由f(x)=x2-ax0的解集為A，B=x|1解析：這是一個在不等式成立的前提下，求參數(shù)的范圍問題.題目的要求與大部分見到的題并不相同，這類題目在試題中出現(xiàn)最多的是不等式恒成立的問題，而本題卻是一個不等式能成立的問題，因?yàn)轭}目的條件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)0在區(qū)間(1，3)有解就可以，這等價于f(x)max0,在x(1，3)成立. (1)當(dāng)a0時，因?yàn)閒(x)的圖像的對稱軸1a0a0時，f(x)max=f(

15、3)=7a-60a67.于是，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-2)(67,+). 如果題目的條件不是AB，而是BA，則就化為f(x)0在區(qū)間(1，3)恒成立的問題了.不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧 在不等式中，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，同時數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，同時也是高考命題中的一個熱點(diǎn)。其方法大致有：用一元二次方程根的判別式，參數(shù)大于最大值或小于最小值，變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解。本文通過實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。一、

16、用一元二次方程根的判別式有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。例1 對于xR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：不妨設(shè)，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對于xR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。此題需要對m的取值進(jìn)行討論，設(shè)。當(dāng)m=0時，30，顯然成立。當(dāng)m0時，則0。當(dāng)m0時，顯然不等式不恒成立。由知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對于有關(guān)二次不等式（或0）的問題，可設(shè)函數(shù)，由a的符號確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，由判別式進(jìn)行解決。例2 已知函數(shù)，在時恒有，求實(shí)數(shù)k的取

17、值范圍。解：令，則對一切恒成立，而是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足0，即，解得2k0，可知a+x1，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒成立。設(shè)，在x1，2上為減函數(shù)，可得，知。綜上知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a從不等式中分離出來是解決問題的關(guān)鍵。例5 是否存在常數(shù)c使得不等式，對任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論。解：首先，欲使恒成立（x、y0），進(jìn)行換元令。上述不等式變?yōu)?，即恒成立。尋求的最小值，由a0，b0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式變?yōu)椋?。尋求的最大值，易得。綜上知存在使上述不等式恒成立關(guān)鍵點(diǎn)撥：本題是兩邊夾的問題，利用基本不等式，右邊尋找最小值，左邊

18、尋找最大值，可得c=三、變更主元在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。例6 若不等式，對滿足所有的x都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。例7 已知是定義在1，1上的奇函數(shù)且，若a、b1，1，a+b0，有。（1）判斷函數(shù)在1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)。（2）解不等式。（3）若對所有、a1，1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）設(shè)，則，可知，所以在1，1上是增函數(shù)。（2）由在1，1上是增函數(shù)知解得，故不等式的解集（3）因?yàn)樵?/p>

19、1，1上是增函數(shù)，所以，即1是的最大值。依題意有，對a1，1恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號。對于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到自變量的大小上來。對于（3），轉(zhuǎn)換視角變更主元，把看作關(guān)于a的一次函數(shù)，即在a1，1上大于等于0，利用是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m的不等式組，從而求得m的范圍。淺談恒成立問題長沙縣三中 李鐵近幾年來，恒成立問題成為了高三復(fù)習(xí)迎考訓(xùn)練與高考的一個熱點(diǎn)，它涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、圓錐曲線的性質(zhì)、

20、圖象,滲透著分類討論、化歸于轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想與方法，能充分的考查了學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。本文試圖探索幾種重要的恒成立問題的解答技巧與策略。構(gòu)造函數(shù)、區(qū)間最值求解例1、設(shè)其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時，恒有意義，則可轉(zhuǎn)化為恒成立，即參數(shù)分離后，恒成立，接下來可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立。令，又則對恒成立，又在上為減函數(shù)，。例2、設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為

21、二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對于任意恒成立對于任意恒成立對于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當(dāng)xR時，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立設(shè)則方法二）題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式，從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：不等式

22、a+cos2x5-4sinx可化為a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,則t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2數(shù)形結(jié)合 、特值探求設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a(bǔ)移到等號的左邊，則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題。解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0時，即-2a1時，對一切x-1,+

23、)，F(xiàn)(x) 0恒成立；）當(dāng)=4（a-1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。例5、當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設(shè)T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2), 1,并且必須也只需故loga21,a1,10,若將等號兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20 x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20 x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時，直線過點(diǎn)（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。正難則反、逆向思維例