高中數(shù)學必修二 6.4.1平面幾何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的應用舉例

1、6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例一二一、向量在平面幾何中的應用1.思考(1)平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖,為了表示兩條對角線所在向量 ,如何選擇基底?怎樣表示?一二(3)觀察思考(2)中兩式的特點,你能發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關系嗎?即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.一二2.填空(1)由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.(2)用向量方法解決平

2、面幾何問題的“三步曲”,即建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;把運算結果“翻譯”成幾何關系.(3)平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍.這一結論,可以用向量表示為:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).一二3.做一做(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則ABC的形狀是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形(2)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以線段AB,AC為

3、鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別是,.一二一二二、向量在物理中的應用1.填空(1)物理學中的許多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.(2)物理學中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法.(3)利用向量方法解決物理問題的基本步驟:問題轉化,即把物理問題轉化為數(shù)學問題;建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學模型;求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等;回答問題,即把所得的數(shù)學結論回歸到物理問題.一二2.做一做(1)已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個力F4,則F4等于()A.(-1,-2)B.(1

4、,-2)C.(-1,2)D.(1,2)(2)速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1與v2的夾角為60,則v1與v2的合速度的大小是()A.2 m/sB.10 m/s一二答案:(1)D(2)D解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)=-(-1,-2)=(1,2).(2)|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1v2+|v2|2=100+21012cos 60+144=364,探究一探究二思維辨析隨堂演練向量在平面幾何中的應用角度1平行或共線問題探究一探究二思維辨析隨堂演練反思感悟 證明A,B

5、,C三點共線的步驟(1)證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線.(2)說明兩向量有公共點.(3)下結論,即A,B,C三點共線.探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練1如圖,已知AD,BE,CF是ABC的三條高,且交于點O,DGBE于G,DHCF于H.求證:HGEF.探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練角度2垂直問題例2如圖,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,四邊形PECF是矩形,用向量證明:PAEF.探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分

6、別是AB,BC的中點,求證:AFDE.探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練角度3長度問題例3如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.分析本題是求線段長度的問題,它可以轉化為求向量的模來解決.探究一探究二思維辨析隨堂演練反思感悟 在解決求長度的問題時,可利用向量的數(shù)量積及模的知識,解題過程中用到的整體代入使問題得到簡捷、明了的解決.探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練3已知ABC,BAC=60,AB=2,AC=3,則BC的長為()答案:B 探究一探究二思維辨析隨堂演練角度4夾角問題例4已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E為D

7、C上靠近D的三等分點,求EAC的大小.分析可建立直角坐標系,通過坐標運算運用夾角公式求解.探究一探究二思維辨析隨堂演練反思感悟 利用平面向量解決幾何中的夾角問題時,本質(zhì)是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角,借助夾角公式進行求解,這類問題也有兩種方向,一是利用基底法,二是利用坐標運算.在求解過程中,務必注意向量的方向.探究一探究二思維辨析隨堂演練延伸探究 本例中,條件不變,試問:在BC上是否存在點M,使得EAM=45?若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.探究一探究二思維辨析隨堂演練向量在物理中的應用角度1用向量解決力學問題例5如圖所示,在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩

8、子與鉛垂方向的夾角為,繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|,|F2|隨角的變化而變化的情況;(2)當|F1|2|G|時,求角的取值范圍.探究一探究二思維辨析隨堂演練反思感悟 運用向量解決力的合成與分解時,實質(zhì)就是向量的線性運算,因此可借助向量運算的平行四邊形法則或三角形法則進行求解.探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練4一個物體受到平面上的三個力F1,F2,F3的作用處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,則F1與F3夾角的余弦值是 .探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練角度2用向量解決速度問題例6在風速為 km/h的西風中,飛機以1

9、50 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風時飛機的航速和航向.分析解本題首先根據(jù)題意作圖,再把物理問題轉化為向量的有關運算求解.探究一探究二思維辨析隨堂演練解:設=風速,va=有風時飛機的航行速度,vb=無風時飛機的航行速度,va=vb+.如圖所示.反思感悟 運用向量解決物理中的速度問題時,一般涉及速度的合成與分解,因此應充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉化為數(shù)學中的向量問題,正確地作出圖形解決問題.探究一探究二思維辨析隨堂演練變式訓練5一船以8 km/h的速度向東航行,船上的人測得風自北方來;若船速加倍,則測得風自東北方向來,求風速的大小及方向.解:分別取正東、正北方向上的單位

10、向量i,j為基底,設風速為xi+yj.依題意第一次船速為8i,第二次船速為16i.探究一探究二思維辨析隨堂演練渡河問題中忽略水流速度而致錯典例 一條河寬為8 000 m,一船從岸邊的點A出發(fā)航行垂直到達河正對岸的B處,船在靜水中的速度為20 km/h,水速為12 km/h,則船到達B處所需時間為分鐘.解:因為v實際=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,故該船到達B處所需的時間為30分鐘.易錯警示 本題容易誤將船在靜水中的速度當作船的實際速度導致錯誤,事實上,船行駛的實際速度是船在靜水中的速度與水速的合成,因此應借助平行四邊形法則或三角形法則求出其實際速度,再解決相關問題.探究一探究二思維辨析隨堂演練答案:D 探究一探究二思維辨析隨堂演練答案:(-3,1)或(-1,-3) 探究一探究二思維辨析隨堂演練探究一探究二思維辨析隨堂演練解析:如圖,以A為坐標原點,AD,AB所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,探究一