變分法簡介(簡單-明了-易懂)

1、 1變分法簡介作為數(shù)學的一個分支，變分法的誕生，是現(xiàn)實世界許多現(xiàn)象不斷探索的結(jié)果，人們可以追尋到這樣一個軌跡：約翰伯努利(JohannBernoulli,16671748)1696年向全歐洲數(shù)學家挑戰(zhàn)，提出一個難題：“設在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”這就是著名的“最速降線”問題(TheBrachistochroneProblem)。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)(曲線)，來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔(GuillaumeFrancoisAntoni

2、edelHospital1661T704)、雅可比伯努利(JacobBernoulli1654T705)、萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)和牛頓(IsaacNewton16421727)都得到了解答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化。后來歐拉(EulerLonhard,17071783)和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數(shù)學的一個新分支變分學。有趣的是，在1690年約翰伯努利的哥哥雅可比伯努利曾提出著名的懸鏈線問題(TheHangingCha

3、inProblem)向數(shù)學界征求答案，即，固定項鏈的兩端，在重力場中讓它自然垂下，問項鏈的曲線方程是什么。在大自然中，除了懸垂的項鏈外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設的電線，這些都是懸鏈線(catenary)。伽利略(Galileo,15641643)比貝努利更早注意到懸鏈線，他猜測懸鏈線是拋物線，從外表看的確象，但實際上不是?；莞?Huygens,16291695)在1646年(當時17歲),經(jīng)由物理的論證，得知伽利略的猜測不對，但那時，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比伯努利提出懸鏈線問題的第二年，萊布尼茲、惠更斯(以62歲)與約翰

4、伯努利各自得到了正確答案，所用方法是誕生不久的微積分，具體說是把問題轉(zhuǎn)化為求解一個二階常微分方程如，a1+(dy)2dx2dxy(0)，y0y(0)，0解此方程并適當選取參數(shù)，得12a(eax+eax)1)即為懸鏈線。懸鏈線問題本身和變分法并沒有關(guān)系，然而這和最速降線問題一樣都是貝努利兄弟間的相互爭強好勝、不斷爭吵的導火索，雖然雅可比貝努利在解決懸鏈線問題時略占下風，但他隨后所證明的“懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢能”，算是扳回了一局，倆兄弟扯平了！之所以提到懸鏈線問題，有兩方面考慮，其一，這是有關(guān)數(shù)學史上著名的貝努利家族內(nèi)的一個趣聞，而這

5、是一個在變分法乃至整個數(shù)學物理領(lǐng)域有著巨大貢獻的家族，其二，有關(guān)懸鏈線的得幾個結(jié)論，可以用變分法來證明！現(xiàn)實中很多現(xiàn)象可以表達為泛函極小問題，我們稱之為變分問題。求解方法通常有兩種：古典變分法和最優(yōu)控制論。我們這兒要介紹的基本屬于古典變分法的范疇。變分法的基本概念1.1.1泛函的概念設S為一函數(shù)集合，若對于每一個函數(shù)x(t)S有一個實數(shù)J與之對應，則稱J是定義在S上的泛函，記作J(x(t)。S稱為J的容許函數(shù)集。例如，在x0,xj上光滑曲線y(x)的長度可定義為2)xo0,x1，1JJx11+y，2dx考慮幾個具體曲線，取xI若y(x)x,貝yJ(y(x)J(x)J11+1dx2若y(x)為懸

6、鏈線，則ex+e-x01-(exe-x)2iex+e-ee-1J()J11+dxJ1dx2o4o22對應C1xo,xi中不同的函數(shù)y(x),有不同曲線長度值J,即J依賴于y(x)，是定義在函數(shù)集合Cix,x上的一個泛函，此時我們可以寫成o1JJ(y(x)我們稱如下形式的泛函為最簡泛函3)J(x(t)JrfF(t,x(t),x(t)dtto被積函數(shù)F包含自變量t，未知函數(shù)x(t)及導數(shù)x(t)。如，上述曲線長度泛函即為一最簡泛函。1.1.2泛函極值問題考慮上述曲線長度泛函，我們可以提出下面問題：在所有連接定點A(x,y)和3(x,y)的平面曲線中，試求長度最小的曲線。oo11即，求y(x)1(x

7、)y(x)Cix,x,y(x)y,y(x)y|使01001111+y，2dx取最小值。此即為泛函極值問題的一個例子。以極小值為例，一般的泛函極值問題可表述為，稱泛函J(x(t)在(t)S取得極小值，如果對于任意一個與(t)接近的x(t)S，都有J(x(t)J(xo(t)。所謂接近，可以用距離d(x(t)，xo(t)宀來度量，而距離可以定義為d(x(t),x(t)max|x(t)-x(t)|,|x(t)-x(t)|oootttof 泛函的極大值可以類似地定義。其中x(t)稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。01.1.3泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛

8、函的自變量，函數(shù)x(t)在x(t)的增量記為0,x(t)=x(t)一x(t)0也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作J=J(x(t)+,x(t)一J(x(t)00如果可以表為J=L(x(t),x(t)+r(x(t),x(t)00其中L為,x的線性項，而r是,兀的高階項，則稱L為泛函在當)的變分，記作,J(x(t)。用變動的x(t)代替x(t)，就有,J(x(t)。00泛函變分的一個重要形式是它可以表為對參數(shù)的導數(shù)a,J(x(t)=J(x(t)+a&(t)a|=o4)這是因為當變分存在時，增量J=J(x(t)+St)-J(x(t)=L(x(t),St)+r(x(t),5r)根據(jù)L和r的性質(zhì)有L

9、(x(t)，況)=oL(x(t),x)r(x(t),&)r(x(t),a&)八lim=lim,x=0totoQX所以J(x+a,x)一J(x)=limo=limL(X，&)+r(X，況)=L(x,x)=,J(x)tO1.2泛函極值的相關(guān)結(jié)論1.2.1泛函極值的變分表示利用變分的表達式(4)，可以得到有關(guān)泛函極值的重要結(jié)論。J(x+a,x)5a泛函極值的變分表示：若J(x(t)在當)達到極值(極大或極小)，則,J(x(t)二005)證明：對任意給定的，x，J(xo+，X)是變量的函數(shù)，該函數(shù)在二0處達到極值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知 J(x+a&)0,ao=o再由（4）式，便可得到（5）式。 #

10、 #變分法的基本引理：申（x）中,和，Vn(X)C1X1,X2，耳(X1)(X2)0，有 Jx2P(x)n(x)dx三0,則P(X)三0,xx,x。12證明略。1.2.2泛函極值的必要條件考慮最簡泛函（3），其中F具有二階連續(xù)偏導數(shù)，容許函數(shù)類S取為滿足端點條件為固定端點（6）的二階可微函數(shù)。6)7)x（t）=x，x（t）=x00，ff泛函極值的必要條件：設泛函（3）在x（t）GS取得極值，則x（t）滿足歐拉方程F-F=0dtx歐拉方程推導：首先計算（3）式的變分：a=0J=J(x(t)+ar(t)dta=0,atfF(t,x(t)+a(t,a=JfF(t,x,x)x+F(t,x,x)xdtt

11、xxt0對上式右端第二項做分部積分，并利用x(t)=x(t)=0，有0fJtfF(t,x,x)xdt=JtfF(t,x,x)xdt，t0 xt0dtx00所以J=JtfFFxdttxdtxt0利用泛函極值的變分表示，得tfFFxdt=0txdtx0因為x的任意性，及x(t)=x(t)=0，由基本引理，即得(7)。0f7）式也可寫成F-F-Fx-Fx=0 xtxxxxx通常這是關(guān)于x（t）的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點條件（6）確定。1.2.3幾種特殊形式最簡泛函的歐拉方程(i)F不依賴于x，即F=F(t,x)這時F三0,歐拉方程為F(t,x)二0,這個方程以隱函數(shù)形式給出x(t)，但它

12、一般不xx滿足邊界條件，因此，變分問題無解。(ii)F不依賴x，即F=F(t,X)歐拉方程為fF(t,X)=0dtx將上式積分一次，便得首次積分F(t,x)二c，由此可求出x=,(t,c)，積分后得到可能的x11極值曲線族1(iii)F只依賴于x，即F=F(x)這時F=0,F=0,F=0，歐拉方程為xtxxxxF二0 xx由此可設x二0或F=0，如果x二0，則得到含有兩個參數(shù)的直線族x=ct+c。另外xx12若F=0有一個或幾個實根時，則除了上面的直線族外，又得到含有一個參數(shù)c的直線族xxx=kt+c，它包含于上面含有兩個參數(shù)的直線族x=ct+c中，于是，在F=F(x)情12況下，極值曲線必然

13、是直線族。(iv)F只依賴于x和x，即F=F(x,x)這時有F=0，故歐拉方程為txF-xF-xF=0 xxxxx此方程具有首次積分為F-xF=cx1事實上，注意到F不依賴于t，于是有(FxF)=Fx+FxxFxF=x(FF)=0。dtxxxxdtxxdtx1.3幾個經(jīng)典的例子最速降線問題最速降線問題設A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連結(jié)A和B的平面曲線中，求一曲線，使質(zhì)點僅受重力作用，初速度為零時，沿此曲線從A滑行至B的時間最短。解將A點取為坐標原點，B點取為B(x1,y1)，如圖1。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點在曲 ds線y(x)上任一點處的速度石滿足(s為弧長)1ml2dt丿d

14、s2mgy將ds1+y2(x)dx代入上式得1+y2dtdx2gy于是質(zhì)點滑行時間應表為y(x)的泛函J(y(x)卜0端點條件為y(0)0,y(x)y11最速降線滿足歐拉方程,因為1+y2F(y,y)1yy不含自變量x,所以方程(8)可寫作F-Fy-Fy0yyyyy等價于4-(f-yf)0dxy作一次積分得y(1+y2)ci令yctg2,則方程化為ycsin2=Ci(1一cos0)1+y2i22又因.00舶csincosd0dx空)_ HYPERLINK l bookmark103y0Ctg2c2(1-cos0)d0積分之,得x(0一sin0)+c22 由邊界條件y(0)0,可知co，故得2x

15、二(0一sin0)cy=(1一cos0).這是擺線(園滾線)的參數(shù)方程，其中常數(shù)C可利用另一邊界條件y(X)y來確定。111最小旋轉(zhuǎn)面問題最小旋轉(zhuǎn)面問題對于xy平面上過定點A(x,y)和B(x,y)的每一條光滑曲線1122y(x)，繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線y(x)的泛函J(y(x)，易得J(y(x)=fx22Ky(x)1+y2(x)dxx1容許函數(shù)集可表示為Sly(x)GC1xi，x2，y(xi)y1，y(x2)y2解因Fy1+y不包含x,故有首次積分F一yFyy1+y2-yyyc1+y21 # #化簡得yc11+y2令ysht，代入上式，yc11+sh21c1cht # d

16、ycshtdt由于dxTcdtysht1積分之，得xCt+c12xc消去t，就得到y(tǒng)cch2。1c1這是懸鏈線方程，適當選擇條件(令該懸鏈線過(0,1/a)點，且該點處的切線是水平的)就可得到(1)。本例說明，對于平面上過兩個定點的所有光滑曲線，其中繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積最小的是懸鏈線！懸鏈線勢能最小1691年，雅可比伯努利證明：懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢能。下面我們用變分法證明之?？紤]通過A、B兩點的各種等長曲線。令曲線y=f(x)的長度為L,重心坐標為(x,y)， #L，ds，aady)2dxdx由重心公式有ady)2dxdx

17、y1+(dy)2dxL # 由于只需探討曲線重心的高低，所以只對縱坐標的公式進行分析，注意到問題的表述，說明L是常數(shù)，不難看出重心的縱坐標是y(x)的最簡泛函，記作J(y(x)，by(x)1+(y)2dxa此時對應的歐拉方程(8)可化為yy(y)21，0dy令p，解得y2，k(1+p2),k0，進而得dxk(x+c)。此即為懸鏈線，它使重心最低，勢能最?。〈笞匀恢械脑S多結(jié)構(gòu)是符合最小勢能的，人們稱之為最小勢能原理。1.4泛函極值問題的補充1.4.1泛函極值的幾個簡單推廣含多個函數(shù)的泛函使泛函J(y(x),z(x)，Jx2F(x,y,y,z,z)dxx1取極值且滿足固定邊界條件y(x)，y,y(

18、x)，y,z(x)，z,z(x)，z.11221122的極值曲線y，y(x),z，z(x)必滿足歐拉方程組dcFF，0ydxyVJFF，0zdxz含高階導數(shù)的泛函使泛函J(y(x)，Jx2F(x,y,y,y)dxx1取極值且滿足固定邊界條件y(x1)=y1,y(x2)=y2，y(x1)=y1,y(x2)=y2的極值曲線yy(x)必滿足微分方程dd2FF+F=0ydxydx2yiii)含多元函數(shù)的泛函設z(x,y)Gc2,(x,y)gD，使泛函J(z(x,y)=F(x,y,z,z,z)dxdyxyD取極值且在區(qū)域D的邊界線l上取已知值的極值函數(shù)z=z(x,y)必滿足方程F-F-F=0zxzxyz

19、y上式稱為奧式方程。1.4.2端點變動的情況(橫截條件)設容許曲線x(t)在t0固定，在另一端點ttf時不固定，是沿著給定的曲線x中上變動。于是端點條件表示為x(t)x00X(t)=中(t)這里t是變動的，不妨用參數(shù)形式表示為tt+odt尋找端點變動情況的泛函極值必要條件，可仿照前面端點固定情況進行推導，即有I+Fdt=tfffa=00=J=tf+adt.fF(t,x+ax,x+ar)dt加t0=itf(F-F)xdt+Ftxdtxx0再對(9)式做如下分析：(i)對每一個固定的t，x(t)都滿足歐拉方程，即(9)式右端的第一項積分為零;(ii)為考察(9)式的第二、第三項，建立dt與x之間的

20、關(guān)系，因為ft=tfx(t+adt)+ax(t+odt)=中(t+adt)對3求導并令a=0得X(t)dt+x|=|(t)dt/t=tff10)=,(t)x(t)dtfff把(10)代入(9)并利用dt的任意性，得11)11)式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見的特殊情況：(i)當x=,(t)是垂直橫軸的直線時，t固定，x(t)自由，并稱x(t)為自由端點。此時(9)式中dt=0及8x|的任意性，便得自由端點的橫截條件ft=tf12)(ii)當x=,(t)是平行橫軸的直線時，t自由，x(t)固定，并稱x(t)為平動端點。此時,=0，(11)式的橫截條件變

21、為FxFx=0t=tf*(13)注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。1.4.3有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問題，其典型形式是對動態(tài)系統(tǒng)x(t)=f(t,x(t),u(t)*(14)尋求最優(yōu)性能指標(目標函數(shù))J(u(t)=p(t,x(tfF(t,x(t),u(t)dtfftt0其中u(t)是控制策略，x(t)是軌線，t固定，t及x(t)自由，x(t)GRn，u(t)GRm(不0ff*(15)受限，充滿Rm空間)，f,申,F連續(xù)可微。F面推導取得目標函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略u*(t)和最優(yōu)軌線x*(t)的必要條件。采用拉格朗日乘子法，化

22、條件極值為無條件極值，即考慮J(x,u,九)=P(t,x(tfF(t,x,u)Xt(t)(f(t,x,u)x)dt1fftt0的無條件極值，首先定義(14)式和(15)式的哈密頓(Hamilton)函數(shù)為16)H(t,x,u,九)=F(t,x,u)九t(t)f(t,x,u)19)(17)將其代入(16)式，得到泛函J(x,u,九)=P(t,x(tfH(t,x,u,九)一九txdt1fftt020)(18)面先對其求變分8J,(t+dt,x(t)+&(t)1ffff+ftf+dtfH(t,x+&,u+a8w,X+a8X)-(X+8X)t(X+a8X)dtt=0tfx(tf)+ftf(8x)tH+

23、(8u)tH+(8X)tH-(8X)tX-Xt8XdttxuXt0(dt)t,+F(t,x,u,t)ftf+ftf(8x)tH+(8u)tH+(8X)tH-(8X)t；dt-Xt(t)8x*XuXfto(注意最后兩項是根據(jù)等號前最后一個積分項利用分部積分法得到。)同時注意到8X+8x(t)t,(注：第一項利用公式(14)化簡后)ttffx(tf)+ftf(6x)tXdtt08x(t),8xtff8J(dt)t,+H(t,x,u,X)1ft.r=8x(t)-X(t)dt，因而t=t.ffff+&(t)t(,-X)曰中fxt=i=8x(t)1,+(dt)t,+(dt)tH(t,x,u,X)-(dt)t(Xtx)+tf(6x)t(H+X)+X)t(H-X)+(6u)tHdt