復(fù)化梯形積分公式

1、摘要求函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，在微積分學(xué)中已給出了許多計(jì)算方法， 但是，在實(shí)際問題計(jì)算中，往往僅給出函數(shù)在一些離散點(diǎn)的值，它的解析 表達(dá)式?jīng)]有明顯的給出，或者，雖然給出解析表達(dá)式，但卻很難求得其原 函數(shù)。這時(shí)我們可以通過數(shù)值方法求出函數(shù)積分的近似值。在用近似值代替真實(shí)值時(shí)，遇到的問題就是近似值的代數(shù)精度是否足 夠。當(dāng)代數(shù)精度不足夠時(shí)，很顯然提高插值函數(shù)的次數(shù)是一種方法，但是 考慮到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，當(dāng)次數(shù)過高時(shí)，會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，用增大n的 方法來提高數(shù)值積代數(shù)精度是不可取的。因此，提出類似于分段插值，為 了減少數(shù)值積分的誤差，可以把積分區(qū)間分成若十個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū) 間上采用低階數(shù)值積分公

2、式，然后把這些小區(qū)間上的數(shù)值積分結(jié)果加起來 作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的近似值，這個(gè)就是復(fù)化數(shù)值積分的思想。本實(shí)驗(yàn)針對在每個(gè)小區(qū)間上利用梯型積分公式，即階數(shù)為1，進(jìn)行實(shí) 驗(yàn)。關(guān)鍵詞：龍格現(xiàn)象復(fù)化數(shù)值積分代數(shù)精度1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^本次實(shí)驗(yàn)體會(huì)并學(xué)習(xí)復(fù)化梯形積分公式的優(yōu)點(diǎn)。尋找復(fù)化梯形積分公式的不足，嘗試著對其進(jìn)行改進(jìn)。通過對復(fù)化梯形積分公式進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，提高自己的編程能力。用實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式展現(xiàn)，提高自己在寫論文方面的能力。2、算法流程根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們知道積分區(qū)間可劃分，且不改變積分值，即如下所示:J f(x)dx = $J * f(x)dxat=i xi-i針對上式，在每一個(gè)小區(qū)間上利用梯型積分公式有

3、hJf(x)dx - 2 f(xt-1)+ f(xt)xi-1根據(jù)以上兩式可以得到心i=iJbf(x)dx 12f(a)+f(b) + 21 a并稱其為復(fù)化梯形積分公式。一般記Tn = 2f(a)+f(b) + 21f(xi)i=i稱作n+1點(diǎn)復(fù)化梯形積分公式3、算法實(shí)例用復(fù)化梯形積分公式計(jì)算積分(14I = | dxJ 1 + X20解：復(fù)化梯形積分公式就是將區(qū)間0,1n等分，h=1/n，具體計(jì)算時(shí)給n 取值并帶如公式就可以得到結(jié)果。具體程序如下：#include stdafx.h”#include #include using namespace std; const int num(10

4、00); void main()(double a=0;double b=0;double h=0;int n=0;int i=0;double Sn=0;double xnum = 0;double ynum = 0;cout請輸入積分上下限和等分?jǐn)?shù)endl;couta;coutb;coutn;h=(b-a)/n;for(i=0;in+1;i+)(xi=a+h*i;yi=4/(1+xi*xi);for(i=1;in;i+)(Sn=Sn+2*yi;Sn=h/2*(Sn+y0+yn);cout積分結(jié)果為：Sn=Snendl;運(yùn)行結(jié)果:S3 F:VV i nd wssyste m32c m d.ewe請輸入積分上下限和等分?jǐn)?shù) |請輸入積分下限金 請輸入積分上限b=1 請輸入等分?jǐn)?shù)n=1O0 積分結(jié)果為:Sn=3.14158 請按任意鍵繼續(xù).4、對結(jié)果進(jìn)行分析通過用編程實(shí)現(xiàn)對上例的求解，可以看出結(jié)果較為準(zhǔn)確，但是由于復(fù) 化梯形積分公式原理是用一次曲線去逼近真實(shí)值，所以本身存在誤差，而 且當(dāng)?shù)确謹(jǐn)?shù)較小時(shí)，誤差較大。再有