北師大版數(shù)學(xué)歸納法名師精編單元測(cè)試2

1、 名校名師舉薦 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123 n3n3 n4 2nN ,驗(yàn)證n1 時(shí),左邊應(yīng)取的項(xiàng)是 A1 B12 C123 D1234 答案 D 解析 等式左邊的數(shù)是從 1 加到 n3. 當(dāng) n1 時(shí), n34,故此時(shí)左邊的數(shù)為從 1 加到 4. 2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2 nn 21 對(duì)于 nn0 的自然數(shù) n 都成立” 時(shí),第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取 A2 B3 C5 D6 答案 C 解析 當(dāng) n 取 1、2、3、4 時(shí) 2 nn 21 不成立,當(dāng) n5 時(shí), 2 5325 2126,第一個(gè)能使 2 nn 21 的 n 值為 5,應(yīng)選 C. 3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 11

2、21 4 2 n1127 64 nN 成立,其初始值至少應(yīng)取A7 B8 C9 D10 答案B 11 11 22 n21 2 n1,代入驗(yàn)證可知n 的最小左邊 11 21 4 1 n1解析值是 8. 4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 n1n2 1 2n11 24nN 的過程中,由 n 遞推到 n 1 時(shí),以下說法正確選項(xiàng) 1 名校名師舉薦 1A增加了一項(xiàng) 2 k1B增加了兩項(xiàng) 2k1和 12 k1 11C增加了 B 中的兩項(xiàng),但又削減了一項(xiàng) k11D增加了 A 中的一項(xiàng),但又削減了一項(xiàng) k1答案 C 解析 當(dāng) n 時(shí),不等式左邊為 k11 k2 1 2k,當(dāng) n 1 時(shí),不等式左邊為 k21 k3 1

3、 2k2k112k2,應(yīng)選 C. 15用數(shù)學(xué)歸納法證明“n 3n1 3n2 3nN 能被 9 整除” ,要利用歸納假設(shè)證 n 1 時(shí)的情形,只需綻開答案 3 3解析 假設(shè)當(dāng) n 時(shí),原式能被 9整除,即 3 1 3 2 3能被 9 整除當(dāng)n 1 時(shí), 1 3 23 3 3為了能用上面的歸納假設(shè),只需將 3 3 綻開,讓其顯現(xiàn) 3 即可6已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 a11,Snn 2annN 依次運(yùn)算出 S1,S2,S3,S4后,可猜想 Sn 的表達(dá)式為答案 Sn2n n1解析 S11,S24 3,S33 26 4,S48 5,猜想 Sn 2n n1. 7已知正數(shù)數(shù)列 an nN

4、 中,前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 2Snan1 an,用數(shù)學(xué)歸納法證明： annn1. 證明 1當(dāng) n1 時(shí) a1S11 2 a1 1 a1,2a 11an0, a11,又 101,n1 時(shí),結(jié)論成立2假設(shè) n N 時(shí),結(jié)論成立,即a kk1. 2 名校名師舉薦 當(dāng) n 1 時(shí),a1S1S1 2 ak1 1 ak11 2 ak 1 akk1k11 2 ak1 1 ak11kk11 2 ak1 1 ak1ka 2 k12 ka 110,解得 a1k1kan0,n 1 時(shí),結(jié)論成立由12可知,對(duì) nN 都有 an nn1. 二、才能提升8 3, N 棱柱有 f 個(gè)對(duì)角面,就 1棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù) f

5、1為 Af 1 Bf 1 Cf Df 2 答案 A 解析 三棱柱有 0 個(gè)對(duì)角面,四棱柱有 2 個(gè)對(duì)角面 02031；五棱柱有 5 個(gè)對(duì)角面 2 3241；六棱柱有9 個(gè)對(duì)角面 54551； .猜想：如 棱柱有 f 個(gè)對(duì)角面,就 1棱柱有 f 1 個(gè)對(duì)角面9對(duì)于不等式 n 2nn1nN ,某 同學(xué)的證明過程如下：當(dāng) n1 時(shí),1 2111,不等式成立假設(shè) n nN 時(shí),不等式成立,即 k 2k 1,就 n 1 時(shí),k1 2 k1 k 23k21 2n2.假設(shè) 1n 時(shí),不等式成立就當(dāng) n 1 時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是答案 2 1 21 3 2 1 k 2k1 12k2 12 2 1 k3解析

6、觀看不等式中的分母變化知,21 21 3 2 1 k 2k1 1 2k2 1 21 21k3. 11求證：n11n2 1 3n5 6n2,nN 證明 1當(dāng) n2 時(shí),左邊1 31 41 51 65 6,不等式成立2假設(shè)當(dāng) n 2, N 時(shí)命題成立,即 k11k2 1 3k5 6. 就當(dāng) n 1 時(shí),1 k1 1k1 2 1 3k1 3k11 3k21 3 k11 k11 k2 1 3k1 3k11 3k21 3k3k15 61 3k11 3k23k3 1 k15 631 3k3k15 6,所以當(dāng) n 1 時(shí)不等式也成立由1和2可知,原不等式對(duì)一切n2,nN 均成立12已知數(shù)列 an 中,a12

7、 3,其前 n 項(xiàng)和 Sn滿意 anSn 1 Sn2n2,運(yùn)算S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解 當(dāng) n2 時(shí),anSnSn1Sn1 Sn2. 4 名校名師舉薦 1SnSn12n2就有： S1a12 3,S2S12 3 4,S3S22 4 5,S4S32 5 6,由此猜想： Snn1 n2n N 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng) n1 時(shí), S12 3a1,猜想成立2假設(shè) n N 猜想成立,即 S k1 k2成立,那么 n 1 時(shí), S 11 Sk21k1 k22k2 k3 k1 1 k1 2. 即 n 1 時(shí)猜想成立由12可知,對(duì)任意正整數(shù) 三、探究與創(chuàng)新n,猜想結(jié)

8、論均成立13已知遞增等差數(shù)列 an 滿意： a11,且 a1,a2,a4 成等比數(shù)列1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an；2如不等式 11 2a1 1 1 2a2 1 1 2an實(shí)數(shù) m 的最小值,并證明解 1設(shè)數(shù)列 an 公差為 dd0,5 m 對(duì)任意 nN ,試猜想出2an1 名校名師舉薦 由題意可知 a1a4a22,即 113d1d 2,解得 d1 或 d0舍去所以, an1n1 1n. 2不等式等價(jià)于1 23 45 6 2n12n1 m,當(dāng) n1 時(shí), m2；當(dāng) n2 時(shí), m3 5 8；而3 23 5 8,所以猜想, m 的最小值為 2 . 3下面證不等式1 23 45 6 2n1 2n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：3 2 對(duì)任意 nN 恒成立2n13證明 1當(dāng) n1 時(shí),1 2231 2,成立32假設(shè)當(dāng) n 時(shí),不等式,1 23 45 6 2k12k2k1 2成立,3當(dāng) n 1 時(shí),1 23 45 6 2k1 2k2k1 2k22k1 22