數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-畢業(yè)論文-正交矩陣及其應(yīng)用

1、 本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 正交矩陣及其應(yīng)用 學(xué) 院： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 年 月摘 要如果n階實(shí)矩陣A滿足,那么稱A為正交矩陣正交矩陣是由內(nèi)積引出的本文例舉了正交矩陣在線性代數(shù)、化學(xué)和物理中的三個(gè)應(yīng)用在線性代數(shù)中,求標(biāo)準(zhǔn)正交基一般用Schimidt正交化方法本文論證了一種特殊的正交矩陣初等旋轉(zhuǎn)矩陣也可以求任一向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基,并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明此方法的應(yīng)用在化學(xué)上,原子軌道的雜化,實(shí)際是由一組相互正交的單位基向量,通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為另一組相互正交的單位基向量而線性代數(shù)中由一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣,因此可以利用正交矩陣的性質(zhì)求原

2、子軌道的雜化軌道式在物理上,任一剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正交矩陣,本文證明了曲線作剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)曲率和撓率是兩個(gè)不變量關(guān)鍵詞：正交矩陣;初等旋轉(zhuǎn)矩陣;標(biāo)準(zhǔn)正交基;原子軌道的雜化;曲率;撓率AbstractOrthogonal matrices and its applications If a -dimensional real matrix satisfies ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product. This paper enumerats the applications of o

3、rthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbita

4、l atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis

5、is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion. Keywords:Orthogona

6、l matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目 錄 TOC o 1-2 u 1.引 言 PAGEREF _Toc294468118 h 12.正交矩陣的基本知識(shí) PAGEREF _Toc294468119 h 3正交矩陣的定義與判定 PAGEREF _Toc294468121 h 32.2 正交矩陣的性質(zhì) PAGEREF _Toc294468123 h 33.正交矩陣的應(yīng)用 PAGEREF _Toc294

7、468124 h 53.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc294468125 h 5正交矩陣在化學(xué)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc294468145 h 11正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc294468146 h 14參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc294468147 h 18致 謝 PAGEREF _Toc294468148 h 19正交矩陣及其應(yīng)用姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 1.引 言因?yàn)樾辛惺揭笮袛?shù)等于列數(shù),排成的表總是正方形的,通過(guò)對(duì)它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論.矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表,可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等.矩陣和行列式是兩個(gè)完全不

8、同的概念,行列式代表著一個(gè)數(shù),而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法.利用矩陣這個(gè)工具,可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量;這樣對(duì)于一個(gè)多元線性方程組的解的情況,以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問(wèn)題,就都可以得到徹底的解決.矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ).而實(shí)際上,矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了.從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來(lái),為了很多目的,不管行列式的值是否與問(wèn)題有關(guān),方陣本身都可以研究和使用,矩陣的許多基本性質(zhì)

9、也是在行列式的發(fā)展中建立起來(lái)的.在邏輯上,矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念,然而在歷史上次序正好相反.凱萊先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái),同研究線性變換下的不變量相結(jié)合,首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)并發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章.1858年,他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文矩陣論的研究報(bào)告,系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論.文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念,指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性.另外,凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果.凱萊出生于一個(gè)古老而有才能的英國(guó)家庭,劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué),三年后他轉(zhuǎn)

10、從律師職業(yè),工作卓有成效,并利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué),發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文. 1855年,18221901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì),如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等.后來(lái),1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì).泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論. 在矩陣論的發(fā)展史上,18491917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的.他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題,引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念,以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論,并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì).1

11、854年,約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫(xiě)成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式.傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題,這主要是適用方程發(fā)展的需要而開(kāi)始的.矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì),矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展,現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門(mén)數(shù)學(xué)分支矩陣論.而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論.矩陣的應(yīng)用是多方面的,不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在化學(xué)、力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用.本文主要介紹正交矩陣與其應(yīng)用.我們把階實(shí)數(shù)矩陣滿足,稱為正交矩陣.盡管我們?cè)谶@里只考慮實(shí)數(shù)矩陣,

12、但這個(gè)定義可用于其元素來(lái)自任何域的矩陣.正交矩陣是由內(nèi)積自然引出的,要看出其與內(nèi)積的聯(lián)系,考慮在維實(shí)數(shù)內(nèi)積空間中的關(guān)于正交基寫(xiě)出的向量.的長(zhǎng)度的平方是.如果矩陣形式為的線性變換保持了向量長(zhǎng)度,所以有限維線性等距同構(gòu),比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合,都產(chǎn)生正交矩陣. 本文例舉了正交矩陣在線性代數(shù)、化學(xué)和物理中的三大應(yīng)用.其中,在線性代數(shù)中,求標(biāo)準(zhǔn)正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文論證了正交矩陣的其中一種矩陣.初等旋轉(zhuǎn)矩陣也可以求任一矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正交基,此法用實(shí)例與Schimidt正交化方法對(duì)比;在化學(xué)上,根據(jù)原子軌道的雜化理論,雜化的原子都有其軌道雜化式,對(duì)于形成對(duì)陣的原子軌道雜化,利用正

13、交矩陣的性質(zhì)可以求解該原子雜化軌道的雜化軌道式;在物理上,任一剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正交矩陣, 三維空間一條曲線經(jīng)過(guò)剛體運(yùn)動(dòng),其曲率和撓率是不變的,本文考察了曲線做剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的不變量曲率和撓率.2.正交矩陣的基本知識(shí)本節(jié)中在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下,都表示為正交矩陣,記矩陣的秩為,與為矩陣的第列與第列,表示矩陣的第行. 表示行列式的值即=.2.1正交矩陣的定義與判定定義2.1.13 階實(shí)數(shù)矩陣滿足（或,或）,則稱為正交矩陣.判定2.1.2 矩陣是正交矩陣;判定2.1.3 矩陣是正交矩陣 ;判定2.1.4 矩陣是正交矩陣;備注：判定一個(gè)是方陣是否為正交矩陣往往用定義,即（或,或）,也可以驗(yàn)證的行向量或列

14、向量是否是兩兩正交的單位向量.當(dāng)已知的正交矩陣求證其他的結(jié)論時(shí),要用正交矩陣的定義及有關(guān)性質(zhì)2.2 正交矩陣的性質(zhì)若是正交矩陣,則有以下性質(zhì)(3)：性質(zhì).5 ,則可逆,且其逆也為正交矩陣.證明 顯然. 所以也是正交矩陣.性質(zhì)2.2.6 ,也是正交矩陣, 即有:(1)當(dāng)時(shí), , 即;(2)當(dāng)時(shí), , 即.證明 若是正交矩陣, 由性質(zhì).5,為正交矩陣.因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí), , 即;當(dāng)時(shí). , 即.從而為正交矩陣.性質(zhì).7 是正交矩陣.證明 因?yàn)?所以.因此,也是正交矩陣性質(zhì).8 是正交矩陣的充分必要條件是.證明 必要性 若是正交矩陣,則另一方面,一方面,于是,;充分性 因?yàn)槭钦痪仃?若,顯然也是正

15、交矩陣.性質(zhì).9 若也是正交矩陣, 則,都為正交矩陣.證明 由可知,故為正交矩陣.同理推知,均為正交矩陣.正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點(diǎn), 還有例如它的特征值的模為1, 且屬于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩陣可以對(duì)角化, 即存在復(fù)可逆矩陣, 使,其中為的全部特征值, 即. 這些性質(zhì)證明略.3.正交矩陣的應(yīng)用3.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用在線性代數(shù)中我們通常用施密特方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基,現(xiàn)在可以用正交矩陣中的一種殊矩陣求標(biāo)準(zhǔn)正交基初等旋轉(zhuǎn)矩陣即Givens矩陣.定義3.11 設(shè)向量則稱階矩陣 為向量下的Givens矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣,也可記作.

16、下面給出Givens矩陣的三個(gè)性質(zhì)2,10性質(zhì).1 Givens矩陣是正交矩陣.證明 由,則,故是正交矩陣.性質(zhì).2 設(shè),則有.證明 由的定義知, ,且,即右乘向量,只改變向量第和第個(gè)元素,其他元素不變.性質(zhì)3.1.3 任意矩陣右乘,只改變的第列和列元素; 任意矩陣左乘,只改變的第行和行元素.證明 由性質(zhì).2和矩陣乘法易得結(jié)論.引理.42 任何階實(shí)非奇異矩陣 , 可通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣, 且其對(duì)角線元素除最后一個(gè)外都是正的.定理.510 設(shè)是階正交矩陣 若, 則可表示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積, 即; 若, 則可以表示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣, 即, 其中是初等旋

17、轉(zhuǎn)矩陣.（）.證明 由于是階正交矩陣,根據(jù)引理.4知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣,使（這里是階上三角陣）,而且的主對(duì)角線上的元素除最后一個(gè)外都是正的,于是 （3-11）注意到是正交矩陣,由（3-11）式得,即 （3-12） 設(shè)=,其中, ,則=.由上式得所以 , （3-13）即,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .記,注意到是初等旋轉(zhuǎn)矩陣,故定理1結(jié)論成立.引理.61 設(shè)其中是階正交矩陣, 是階上三角陣,是零矩陣.定理.710 設(shè),則可以通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣,把變?yōu)榈男问?其中是階上三角陣,是矩陣.證明 由引理.6知,其中是階正交矩陣,是階上三角陣.又根據(jù)定理1知：,則是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.(I)當(dāng)時(shí),;(II)當(dāng)時(shí), ,則.

18、顯然,是階上三角陣,當(dāng)時(shí),與除最后一行對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)相等、符號(hào)相反外,其余元素對(duì)應(yīng)相等.當(dāng)時(shí)時(shí),.綜上,知本定理的結(jié)論成立.設(shè),是歐氏空間的子空間的一組基,記是秩為的的矩陣.若滿足定理2的條件,則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣,使 （3-14）且 所以 （3-15）由（3-14）（3-15）兩式知,對(duì)、做同樣的旋轉(zhuǎn)變換,在把化為的同時(shí),就將化成了,而的前個(gè)列向量屬于子空間.綜上所述可得化歐氏空間的子空間的一組基為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法:（1）由已知基為列向量構(gòu)成矩陣;（2）對(duì)矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換,化為,同時(shí)就被化為正交矩陣,這里是階上三角陣;（3）取的前個(gè)列向量便可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.顯然,上述方法是求子空間的

19、一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法.下面,我們通過(guò)實(shí)例對(duì)比Schimidt正交化求標(biāo)準(zhǔn)正交基.例 求以向量,為基的向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解 方法一 用Schimidt正交化把它們正交化：,再把每個(gè)向量單位化,得,.即,就是由,得到的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.方法二 （利用連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣）設(shè)矩陣,對(duì)分塊矩陣依次左乘,=,=,=,得 =,則,取,.那么就是由,得到的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)比兩者的解法,用Schimidt正交化把它們正交化需要的是記公式,若向量的維數(shù)比較多的,計(jì)算比較麻煩,而用初等旋轉(zhuǎn)矩陣則可根據(jù)向量組成的矩陣的特點(diǎn)來(lái)求其標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.2正交矩陣在化學(xué)中的應(yīng)用原子軌道的雜化是在一個(gè)原子中不同原

20、子軌道的線性組合.在結(jié)構(gòu)化學(xué)原子軌道雜化理論中,原子中能級(jí)相近的幾個(gè)原子軌道可以相互混合,從而產(chǎn)生新的原子軌道.雜化過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,為新的雜化軌道,為參加雜化的舊軌道,為第個(gè)雜化軌道中的第個(gè)參加雜化軌道的組合系數(shù)4.在雜化過(guò)程中,軌道數(shù)是守恒的,并且雜化軌道理論有三條基本原則5：（1）雜化軌道的歸一性.雜化軌道滿足;（2）雜化軌道的正交性.;（3）單位軌道貢獻(xiàn).每個(gè)參加雜化的單位軌道,在所有的新雜化軌道中該軌道成分之和必須為一個(gè)單位,即=1.由雜化軌道原理,原子軌道的雜化,實(shí)際是由一組相互正交的單位基向量,通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化成為另一組相互正交的單位基向量.在線性代數(shù)中由一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組

21、標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣,那么原子軌道的雜化,就可以轉(zhuǎn)化為求出正交矩陣,作線性變換的過(guò)程.（A）雜化軌道.以甲烷分子的結(jié)構(gòu)為例,激發(fā)態(tài)碳原子的電子組態(tài)為,這樣在形成分子時(shí),激發(fā)態(tài)碳原子的一個(gè)2原子軌道和3個(gè)原子軌道進(jìn)行雜化形成4個(gè)等同的雜化軌道.設(shè)在激發(fā)態(tài)碳原子中四個(gè)能量相近的原子軌道,是一組相互正交的基向量,再通過(guò)線性變換將它們轉(zhuǎn)化成另一組相互正交的基向量,那么線性變換系數(shù)矩陣A必為正交矩陣,即 = .A為正交矩陣,分別是,在四個(gè)坐標(biāo)軸的分量.在等性雜化中,四個(gè)基向量,在四個(gè)坐標(biāo)軸上的分量是相等的,即由四個(gè)能量相近的原子軌道,進(jìn)行雜化時(shí)形成四個(gè)等同的雜化軌道,在四個(gè)雜化軌道上,原子軌道

22、和成份完全相同.根據(jù)這些理論,我們來(lái)求正交矩陣A.因?yàn)锳 是正交矩陣,由定義可得,即,所以,得=(取正值).又因?yàn)槭堑刃噪s化軌道.有 ,=1,所以 =（取正值）.即得到.又因 ,取符合條件的,.同理, ,即 ,得,取,.又,得,.所以, .可以寫(xiě)出四個(gè)雜化軌道的雜化軌道式為,.（B）雜化軌道一個(gè)和一個(gè)原子軌道雜化形成兩個(gè)雜化軌道.同樣,線性變換的系數(shù)矩陣是正交矩陣.根據(jù)等性雜化理論有,于是,（取正值）.又,故, ,即,.所以雜化軌道式為.3.3正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用任意剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正交矩陣, 三維空間一條曲線經(jīng)過(guò)剛體運(yùn)動(dòng), 其曲率和撓率是不變的, 稱它們?yōu)檫\(yùn)動(dòng)不變量. 首先我們來(lái)簡(jiǎn)單認(rèn)

23、識(shí)曲率和撓率.曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率,通過(guò)微分來(lái)定義,表明曲線偏離直線的程度.曲率越大,表示曲線的彎曲程度越大.（為角變量,為弧長(zhǎng)）趨向于0的時(shí)候,定義就是曲率.即.而撓率,它的絕對(duì)值度量了曲線上鄰近兩點(diǎn)的次法向量之間的夾角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率.平面曲線是撓率恒為零的曲線.空間曲線如不是落在一平面上,則稱為撓曲線,又由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況,通常說(shuō)它表示了曲線的扭曲程度.曲線在某點(diǎn)的撓率記為,=.下面, 我們來(lái)考察曲線作剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的不變量6,9.設(shè)曲線與曲線只差一個(gè)運(yùn)動(dòng), 從曲線到曲線的變換為 (3-21)其中,是三階正交矩陣, 是常數(shù).對(duì)(3-21)兩邊求

24、階導(dǎo)數(shù),得.從而有. (3-22)因?yàn)槭钦痪仃? 所以也有. (3-23)另一方面, 由一階, 二階, 三階導(dǎo)數(shù), 可作成矩陣.兩邊取行列式, 由,得.現(xiàn)在取可類似地討論.因?yàn)? (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右邊,得=+ . （3-26）因(3-24)與(3-25)右邊相等, 有(3-25)右邊與(3-26)式右邊相等,得,.由正交矩陣的性質(zhì)2.2.6知, 且由,將上面三式左右分別平方相加,=+=.寫(xiě)成矢量函數(shù), 即得.于是我們可推得,.這里的分別是曲線的曲率與撓率.參考文獻(xiàn):1 陳景良,2001：353-3602 ,1999：94.99,196-2153 王萼芳,石生明.高等代數(shù).第三版.北京：高等教育出版設(shè),2007：162-3924 周公度,段連運(yùn).機(jī)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ).第4版.北京大學(xué)出版社,2009：7