感悟“數(shù)形結(jié)合”-從“方法”到“思想”的飛躍

1、感悟“數(shù)形結(jié)合從“方法到“思想的飛躍數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)和形關(guān)系非常親密。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合符合兒童的認(rèn)知規(guī)律我深深地體會(huì)到在數(shù)學(xué)教學(xué)中浸透“數(shù)形結(jié)合的思想將帶給學(xué)生無(wú)窮的力量?！皵?shù)形結(jié)合思想就是使抽象思維和形象思維互相作用實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的互相轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合的方法具有雙向性：借助“形的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)即以“形為手段，“數(shù)為目的；或借助于“數(shù)準(zhǔn)確和標(biāo)準(zhǔn)地說(shuō)明“形的屬性。此時(shí)，“數(shù)是手段在新課程理念下。教學(xué)中我注重“數(shù)形結(jié)合思想的浸透使學(xué)生的才能得到了很大的提升，也改變著我的教育教學(xué)觀一、以“

2、形為起點(diǎn)充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合“形具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的優(yōu)勢(shì)只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描繪、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形的特性才能更好地表達(dá)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力。以“形為起點(diǎn)，充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合在北師大版第九冊(cè)教材?點(diǎn)陣中的規(guī)律?教學(xué)時(shí)我不斷地問(wèn)自己“利用點(diǎn)陣來(lái)研究數(shù)的規(guī)律其更為深化的價(jià)值在哪?在深化分析研究教材的根底上，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)旨在讓學(xué)生體會(huì)到我們借助點(diǎn)陣可以研究數(shù)的規(guī)律而這些規(guī)律假如僅僅研究數(shù)將是很困難的以“形為起點(diǎn)，使學(xué)生探究出更多的“數(shù)的規(guī)律教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我充分讓學(xué)生利用自己手中的點(diǎn)陣圖認(rèn)真觀察，提出活動(dòng)要求：(1)獨(dú)立考慮從不同角度

3、觀察正方形點(diǎn)陣。你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣中有哪些不同的排列規(guī)律，并在圖中表示出來(lái)(2)組內(nèi)交流。說(shuō)一說(shuō)你發(fā)現(xiàn)的排列規(guī)律試著用算式表示出來(lái)。學(xué)生在圖形的幫助下理解圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)1，4，9，16，25這些有規(guī)律的數(shù)是完全平方數(shù)進(jìn)而利用圖形動(dòng)手畫一畫可以發(fā)現(xiàn)更重要的規(guī)律1從一角向外擴(kuò)展來(lái)看：1=1，4=1+3，9=t+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9+1l每一個(gè)正方形數(shù)都可以寫成幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，奇數(shù)的個(gè)數(shù)與點(diǎn)陣中的行數(shù)和列數(shù)一樣。進(jìn)而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了重要的奇數(shù)列前n項(xiàng)和公式：1+3+5+7+9+(2n1)-n2斜著看：1=l4=1+2+19=1+2+3+2+116=l+2+3+4+3+2+12

4、5=l+2+3+4+5+4+3+2+l每一個(gè)正方形數(shù)都可以寫成從1開場(chǎng)連續(xù)加到點(diǎn)陣中的行數(shù)再遞減加到1的連加算式進(jìn)而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了求和的重要公式：1+2+3+4+(n-I)+n+(n一1)+4+3+2+1=n2看似一節(jié)看圖找規(guī)律的數(shù)學(xué)課正是因?yàn)橛辛藞D形激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，鍛煉了學(xué)生的思維在短短的一節(jié)課中學(xué)生們總結(jié)出了一條又一條的重要公式以“形為起點(diǎn)，學(xué)生們嘗到了“數(shù)形結(jié)合帶給他們的快樂。二、以“形助“數(shù)在直觀中理解數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)歷出發(fā)，親歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型為理解數(shù)學(xué)概念奠定基矗老師通過(guò)

5、以“形，助“數(shù)突出圖的形象思維，促進(jìn)學(xué)生形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)，化難為易讓學(xué)生用多種感覺器官充分感知，在形成表象的根底上進(jìn)展想象、聯(lián)想，到達(dá)最終理解數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)思想的目的。案例1在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義和根本性質(zhì)后我設(shè)計(jì)了如下的活動(dòng)。利用方格紙(中學(xué)中的坐標(biāo)系)幫助學(xué)生再次認(rèn)識(shí)“方格紙中的分?jǐn)?shù)。小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有到了學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)才出現(xiàn)了坐標(biāo)系的影子。但方格紙卻是學(xué)生數(shù)學(xué)課上常用的學(xué)具把方格紙上畫出互相垂直的兩條數(shù)軸，這就是數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)造的平面直角坐標(biāo)系了。由于分?jǐn)?shù)是由分子、分母這兩個(gè)位置上的自然數(shù)構(gòu)成的所以可以用平面上的點(diǎn)表示它。把分?jǐn)?shù)如圖4所示：用橫軸點(diǎn)表

6、示分母，縱軸上的點(diǎn)表示分2/3可以用過(guò)橫軸上“3點(diǎn)的縱線與過(guò)縱軸“2這一點(diǎn)線的交點(diǎn)A來(lái)表示，可以用的B點(diǎn)來(lái)表示。5/7、4/9、7/10該樣表示呢?學(xué)生很快就把分?jǐn)?shù)表示在圖中。這樣表示分?jǐn)?shù)我們能發(fā)現(xiàn)什么呢?假如將0點(diǎn)(也稱坐示原點(diǎn))與這些點(diǎn)分別連接起來(lái)，再用一把直尺放在橫軸上按逆時(shí)針方向?qū)⒅背呃@原點(diǎn)0漸漸旋轉(zhuǎn)，掃到的第一個(gè)分?jǐn)?shù)是1/6，第二個(gè)是4/9，然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)很費(fèi)事的通分可以比擬這六個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，如今我們用直尺逆時(shí)針掃過(guò)分?jǐn)?shù)的順序也是比擬分?jǐn)?shù)大小的又一個(gè)新方法，分?jǐn)?shù)從小到大排列為1/64/92/37/105/73/4。只把分?jǐn)?shù)畫在方格紙上，找到在方

7、格紙中的位置就可以比擬分?jǐn)?shù)的大小了。利用這種方法，學(xué)生把2/3、4/6、6/9畫在方格紙上學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些、分?jǐn)?shù)恰好位于同一條直線上，分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)也就被“畫在了方格紙上。將某一個(gè)詳細(xì)的平面圖形平均分、涂陰影來(lái)表示分?jǐn)?shù)。是從分?jǐn)?shù)的意義角度，而這里實(shí)際上是將直線與分?jǐn)?shù)建立了聯(lián)絡(luò)(也就是用直線斜率表示分?jǐn)?shù))。學(xué)生從這個(gè)角度去認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，不僅能初步感受到分?jǐn)?shù)的大小是由分子、分母兩個(gè)數(shù)共同決定的而且可以對(duì)坐標(biāo)系有一個(gè)初步的理解對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常有益的。學(xué)生在我精心設(shè)計(jì)的課堂上再次體會(huì)了數(shù)與形的完美結(jié)合，學(xué)生把分?jǐn)?shù)畫到方格紙(坐標(biāo)系的時(shí)候我想他們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解又有了獨(dú)特的想法。案例2前不久我聽了一節(jié)“兩位

8、數(shù)乘兩位數(shù)，的評(píng)優(yōu)課。這位老師是把枯燥的計(jì)算教學(xué)課與圖形“點(diǎn)子圖聯(lián)絡(luò)在一起，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合發(fā)散了學(xué)生的思維。例題是：同學(xué)們站隊(duì)用“點(diǎn)來(lái)表示隊(duì)列中的學(xué)生，14x12或12x14得多少7下面是學(xué)生利用手中的點(diǎn)子圖想出解決這道計(jì)算題的策略(圖5)。這個(gè)案例教學(xué)伊始，老師直接創(chuàng)設(shè)點(diǎn)子圖的數(shù)學(xué)活動(dòng)通過(guò)這些活動(dòng)激活學(xué)生的形象思維，透過(guò)數(shù)學(xué)潛在的“形與“數(shù)的關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維相結(jié)合。為研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)借助直觀來(lái)理解算理。進(jìn)而為培養(yǎng)學(xué)生的抽象才能打下良好的根底有效地實(shí)現(xiàn)原有知識(shí)與新知識(shí)之間的鏈接誘發(fā)學(xué)生探究與學(xué)習(xí)的欲望，激活學(xué)生的思維這說(shuō)明以“形助“數(shù)，能把

9、許多抽象概念和性質(zhì)、運(yùn)算化為直觀形象。將這些較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題借助圖形，可幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，找到解題的捷徑。三、感悟“數(shù)形結(jié)合思想從“方法到“思想的飛躍通過(guò)教學(xué)理論我深化地感受到一種數(shù)學(xué)思想的浸透決不是一朝一夕可以到達(dá)的只有在點(diǎn)滴的教學(xué)中浸透“數(shù)形結(jié)合思想使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)看數(shù)想形、看形想數(shù)才能使學(xué)生的思維得到飛躍。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)變得比擬直觀成為解決問(wèn)題的有效方法之一在分析問(wèn)題的過(guò)程中注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察根據(jù)問(wèn)題的詳細(xì)情形把圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的問(wèn)題使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化抽象問(wèn)題詳細(xì)化化難為易。(一)在學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)加減法后我設(shè)計(jì)一道題

10、：“一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半就這樣每次都喝了上一次剩下的一半問(wèn)小明喝了五次后一共喝了這杯牛奶的幾分之幾。學(xué)生一般把五次所喝的牛奶加起來(lái)列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的幾分之幾。但這并不是最好的解題策略這時(shí)有學(xué)生敢于創(chuàng)新提出畫一個(gè)正方形(如圖6)，并假設(shè)這個(gè)正方形的面積為單位l。學(xué)生從圖中直觀地得出從第一次開場(chǎng)每喝一次都減少一半所剩的數(shù)量依次為最后計(jì)算結(jié)果為。在這里根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙、和諧地結(jié)合在一起學(xué)生正是在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合的思想到達(dá)了一次從“方法到“思想的飛躍(二)數(shù)軸上找倒數(shù)

11、深化對(duì)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)乘積是l的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難理解從教材的編排上看“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)是為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法而專門設(shè)置的學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解僅僅停留在對(duì)語(yǔ)義理解的層面上形象的解釋為分子分母互問(wèn)顛倒的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念除了為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法做準(zhǔn)備外恰當(dāng)?shù)睦谩皵?shù)形結(jié)合的思想使分?jǐn)?shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間有機(jī)的聯(lián)絡(luò)起來(lái)使學(xué)生的思維得到飛躍。在?倒數(shù)?一課中，我設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)練習(xí)，使學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合思想。通過(guò)找倒數(shù)并標(biāo)在數(shù)軸上這一活動(dòng)由于已經(jīng)看到了真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)分別在1的左右兩邊。學(xué)生很快得出了“真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都大于1，假分?jǐn)?shù)(不等于1)的倒數(shù)小于1的結(jié)論有些學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)越大倒數(shù)越

12、小的規(guī)律(分?jǐn)?shù)大于0)。由于數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系提醒了數(shù)與形的內(nèi)在的聯(lián)絡(luò)數(shù)軸使抽象的數(shù)有“形可依。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們巧用這種帶有箭頭和刻度的射線(其實(shí)就是數(shù)軸的正半軸)，可以幫助學(xué)生感知數(shù)的大小與位置的關(guān)系“高明的理論不僅是如今用以理解現(xiàn)象的工具而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！皵?shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想方法之一它也是數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的對(duì)于學(xué)生“不管他們將來(lái)從事什么工作唯有深深地銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法后對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性

13、記憶是非常有益的四、數(shù)與形巧聯(lián)絡(luò)小學(xué)生可以理解的幾個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)公式小學(xué)課外數(shù)學(xué)的教學(xué)中尤其是巧算的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到平方差、完全平方公式，由于沒有學(xué)過(guò)初中的代數(shù)式的相關(guān)知識(shí)這些公式的掌握學(xué)生只能單純靠記憶。其實(shí)假如巧用圖形將這些公式與圖形結(jié)合起來(lái)與平面圖形的面積計(jì)算聯(lián)絡(luò)起來(lái)這些對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)非常深?yuàn)W的公式也是完全可以理解的(一)平方差公式：學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)用字母表示數(shù)、用含有字母的算式表示長(zhǎng)正方形面積的計(jì)算公式之后，學(xué)生再看到a2很容易想到它表示邊長(zhǎng)為a的正方形的面積，而(a+b)(a-b)應(yīng)該是長(zhǎng)(a+h)寬(a-h)的長(zhǎng)方形的面積，有這些做根底學(xué)生理解起平方差公式應(yīng)該并不困難。我們把a(bǔ)、b分別想成

14、是一大一小兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)那么az、bz應(yīng)該分別是這兩個(gè)正方形的面積az_bz就應(yīng)該是大正方形與小正方形的面積的差也就是上圖中的涂色局部我們把灰色局部進(jìn)展割補(bǔ)之后會(huì)發(fā)現(xiàn)灰色局部成為一個(gè)長(zhǎng)方形，而這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是(a+b)，寬是(ab)，面積自然就是(a+b)fa-b1。面積在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個(gè)比擬特殊的概念一方面它是描繪平面圖形大小的一個(gè)數(shù)量另一方面在計(jì)算面積時(shí)又會(huì)用到代數(shù)的計(jì)算方法(在小學(xué)階段主要是乘法)，它可以將幾何與代數(shù)建立起聯(lián)絡(luò)就像解析幾何一樣，真可謂是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)多面手，巧用面積的概念，還可以幫助我們理解下面的完全平方公式(二)完全平方公式：理解完全平方公式與平方差公式類似我們把a(bǔ)+b看成是一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)那么這個(gè)正方形的面積(a+b)z是由四局部組成的(如圖8)，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是a,b兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)a、寬b，所以大正方形的面積是a2+2ab+b2學(xué)生借助這些圖形結(jié)合學(xué)過(guò)的面積公式及字母表示數(shù)的知識(shí)很容易就能理解和掌握這