2022屆重慶市第一中學(xué)校高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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1、試卷第 =page 1 1頁,共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 21 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 21 頁2022屆重慶市第一中學(xué)校高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()ABCD【答案】C【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算,為基礎(chǔ)題目,難度偏易此題可采用幾何法,根據(jù)點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(0,1)之間的距離為1,可選正確答案C【詳解】則故選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取公式法或幾何法,利用方程思想解題2已知集合,那么()ABCD【答案

2、】B【分析】解分式和指數(shù)不等式可求得集合,由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得:,解得:或,即;由得:,即;.故選:B.3點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則()A13B1C7D5【答案】D【分析】寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由橢圓的定義得到,從而求出答案.【詳解】橢圓方程為:,由橢圓定義可知:,故故選:D4已知偶函數(shù),當(dāng)時(shí),則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為()ABCD【答案】A【分析】求導(dǎo)后,代入可得,由此可得時(shí),;根據(jù)奇偶性可求得時(shí),的解析式,求導(dǎo)后代入即可得到切線斜率.【詳解】當(dāng)時(shí),解得:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),又為偶函數(shù),即時(shí),則,.故選:A.5已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為1:2,母線長為4,其

3、母線與底面所成的角為45,則這個(gè)圓臺(tái)的體積為()ABCD【答案】B【分析】作出輔助線,求出上、下底面半徑和高,從而求出圓臺(tái)的體積【詳解】如圖,由題意得:BD=4,AB=2CD,ABD=45,過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,則DE=BE,因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑之比為1:2,所以CD=AE=BE=,則圓臺(tái)上底面面積為,下底面面積為,故圓臺(tái)的體積為故選:B6幾何學(xué)中把變換前后兩點(diǎn)間距離保持不變的變換稱為剛體變換在平面中作圖形變換,易知平移變換是一種剛體變換以下兩個(gè)函數(shù)與,其中不能由通過平移剛體變換得到的是()A,B,C,D,【答案】D【分析】ABC均可以通過左右平移或上下平移得到;D選項(xiàng)只能通過伸縮變換,

4、而不能由平移變換得到.【詳解】向左平移個(gè)單位即可得到;因?yàn)?,所以先向左平?個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位即可得到;向上平移1個(gè)單位,即可得到;因?yàn)椋什荒芡ㄟ^上下左右平移得到.故選:D7平面向量滿足,與的夾角為,記,當(dāng)取最小值時(shí),()ABCD【答案】B【分析】設(shè),作出圖象,根據(jù)平面向量基本定理可知起點(diǎn)相同,終點(diǎn)在直線上,可知且,由向量數(shù)量積定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則,如圖所示,與的夾角為,;且,起點(diǎn)相同時(shí),終點(diǎn)共線,即在直線上,當(dāng)時(shí),最小,又,此時(shí),.故選:B.8已知等差數(shù)列(公差不為零)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為,如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解,那么以下2021個(gè)方程中,無實(shí)數(shù)解的方程最多

5、有()A1008個(gè)B1009個(gè)C1010個(gè)D1011個(gè)【答案】C【分析】設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的公差,由等差數(shù)列的性質(zhì)得到,要想無實(shí)根,要滿足,結(jié)合根的判別式與基本不等式得到和至多一個(gè)成立,同理可證:和至多一個(gè)成立,和至多一個(gè)成立,且,從而得到結(jié)論.【詳解】由題意得:,其中,代入上式得:,要想方程無實(shí)數(shù)解,則,顯然第1011個(gè)方程有解,設(shè)方程與方程的判別式分別為和,則,等號(hào)成立的條件是a1=a2021.所以和至多一個(gè)成立,同理可證:和至多一個(gè)成立,和至多一個(gè)成立,且,綜上,在所給的2021個(gè)方程中,無實(shí)數(shù)根的方程最多1010個(gè)故選:C【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)列綜合題目,要綜合所學(xué),將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為我們熟練

6、的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解決,比如本題中要結(jié)合根的判別式,以及等差數(shù)列的性質(zhì),以及基本不等式進(jìn)行求解,屬于難題.二、多選題9下列說法正確的是()A若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為,則展開式共有項(xiàng)B對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量,其線性回歸方程為,若一個(gè)樣本點(diǎn)為,則實(shí)數(shù)的值是C已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則D已知,若,則【答案】CD【分析】令可構(gòu)造方程求得,知展開式有項(xiàng),知A錯(cuò)誤;根據(jù)樣本點(diǎn)未必在回歸直線上可知B錯(cuò)誤;由,結(jié)合正態(tài)分布曲線對(duì)稱性可知C正確;根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式可求得,由方差性質(zhì)可得,知D正確.【詳解】對(duì)于A,令,則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和為,解得:,則展開式共有項(xiàng),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,樣本點(diǎn)不一定在回歸

7、直線上,不一定是,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,C正確;對(duì)于D,D正確.故選:CD.10在數(shù)學(xué)史上,為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性,曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù):定義為角的正矢,記作,定義為角的余矢,記作,則下列命題正確的是()ABC若,則D函數(shù)的最大值為【答案】BC【分析】AB選項(xiàng),按照題干信息進(jìn)行計(jì)算即可;C選項(xiàng),按照題干信息計(jì)算得到,再分子分母同除以把弦化切,進(jìn)行求解;D選項(xiàng),利用誘導(dǎo)公式及題干信息化簡得到,進(jìn)而求出最大值.【詳解】,A錯(cuò)誤;,B正確;,分子分母同除以得:,C正確;,當(dāng)時(shí),取得最大值為4,D錯(cuò)誤.故選:BC11已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),點(diǎn)T(-1,

8、0),則下列結(jié)論正確的是()ABC若三角形TAB的面積為S,則S的最小值為D若線段AT中點(diǎn)為Q,且,則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng),設(shè)出直線AB:,與聯(lián)立后得到兩根之積;B選項(xiàng),利用拋物線的定義得到,轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的關(guān)系式,代入求解;C選項(xiàng),表達(dá)出,求出最小面積;D選項(xiàng),根據(jù)得到,得到,進(jìn)而計(jì)算出,求出.【詳解】將直線AB:與聯(lián)立得:設(shè),則,故A正確;由拋物線的定義可知:,則,B正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故S的最小值為4,C錯(cuò)誤;由可得:,即,所以,解得:或(舍去),又因?yàn)?,所以,因此,D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)是比較多的,要重點(diǎn)記憶一些,比如,等.12已知函

9、數(shù)(為常數(shù)),其中正確的結(jié)論是()A當(dāng)時(shí),無最大值B若為銳角的兩個(gè)銳角,則對(duì)于任意的,都有C當(dāng)時(shí),是的極值點(diǎn)D有個(gè)零點(diǎn)的充要條件是【答案】ABD【分析】根據(jù)的正負(fù)可確定,由此可得單調(diào)遞減,知A正確;根據(jù)時(shí)在上單調(diào)遞減且,可知B正確;根據(jù)的正負(fù)可確定,由此可得單調(diào)遞減,知C錯(cuò)誤;將D中問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同的交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得的范圍,知D正確.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),則,令,解得:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,無最大值,A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,為銳角的兩個(gè)銳角,B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)

10、遞減,在上單調(diào)遞減,無極值,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,顯然不是的零點(diǎn),有個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有個(gè)不同的交點(diǎn);,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則可得圖象如下圖所示,由圖象可知:當(dāng)時(shí),與有個(gè)不同的交點(diǎn),即有個(gè)零點(diǎn)的充要條件是,D正確.故選:ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用,判斷是否存在最值和極值的基本思路是通過確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合極值和最值定義得到結(jié)論;解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,通過數(shù)形結(jié)合的方式來求得結(jié)果.三、填空題13已知數(shù)列滿足:,則_【答案】【分析】由遞推關(guān)系式可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】由題意得:,數(shù)列是

11、周期為的周期數(shù)列,.故答案為:.14若從甲、乙等名志愿者中隨機(jī)安排人任正組長,人任副組長,以及名普通組員到北京冬奧會(huì)花樣滑冰場館服務(wù),若甲做正組長時(shí)乙不能做副組長的安排方案有_種【答案】【分析】首先甲做正組長的安排方案和甲做正組長時(shí),乙做副組長的安排方案種數(shù),采用間接法求得結(jié)果.【詳解】甲做正組長,則共有種安排方案;其中乙做副組長的安排方案有種;甲做正組長時(shí)乙不能做副組長的安排方案有種.故答案為:.15已知(a,b為實(shí)數(shù)),則_【答案】-2014【分析】先化簡得到,再利用函數(shù)奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,其中,所以,解得:故答案為:-201416傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上

12、刻著一個(gè)圓柱,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等這個(gè)“圓柱容球”是阿基米德生前最引以為豪的發(fā)現(xiàn)如圖,在底面半徑為的圓柱內(nèi)有球與圓柱的上、下底面及母線均相切,設(shè)分別為圓柱的上、下底面圓周上一點(diǎn),且與所成的角為,直線與球的球面交于兩點(diǎn),則線段的長度為_【答案】【分析】取中點(diǎn),由等腰三角形三線合一可得;由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得,利用勾股定理可推導(dǎo)求得,又,可知為中點(diǎn),由此可得.【詳解】,取中點(diǎn),連接,為中點(diǎn),;,平面,平面,又平面,;,也是中點(diǎn),.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查旋轉(zhuǎn)體中的線段長度的求解問題,解題關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用圓柱和球的結(jié)構(gòu)中的長度相等的線段之間的關(guān)系

13、,結(jié)合垂直關(guān)系,利用勾股定理來進(jìn)行求解.四、解答題17已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)在直線上(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求使得成立的的最大值【答案】(1)(2)【分析】(1)將代入直線方程,可得,利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得;(2)由(1)可得,采用裂項(xiàng)相消法可求得,解不等式可求得,由此可得最大值.【詳解】(1)點(diǎn)在直線上,當(dāng)時(shí),解得:;當(dāng)時(shí),即,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,.(2)由(1)得:,由得:,則,則,使得成立的的最大值為.18在,三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上,并加以解答在中,角的對(duì)邊分別為,且_,作,連接圍成梯形中,(1)求

14、角的大小;(2)求四邊形的面積【答案】(1)(2)【分析】(1)選:利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可求得,由此可得;選:由正弦定理角化邊,可配湊出余弦定理的形式,求得,由此可得;選:由向量數(shù)量積和三角形面積公式可求得,由此可得;(2)在中,由余弦定理可求得和,進(jìn)而得到,由平行關(guān)系可確定,;利用兩角和差正弦公式求得后,利用正弦定理可得;根據(jù)三角形面積公式和可求得結(jié)果.【詳解】(1)若選條件,由正弦定理得:,即,又,.若選條件,由正弦定理得:,即,又,.若選條件,又,.(2)在中,由余弦定理得:,又,;在中,由正弦定理得:,.19在2022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強(qiáng)賽中,中國男足以

15、1勝3平6負(fù)進(jìn)9球失19球的成績慘敗出局甲、乙足球愛好者決定加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技,兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練(每人各踢一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲、乙兩人在同一位置,一人踢球另一人撲球,甲先踢,每人踢一次球,兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球,進(jìn)球者得1分,不進(jìn)球者得分;兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球,兩人均得0分,設(shè)甲每次踢球命中的概率為,乙每次踢球命中的概率為,甲撲到乙踢出球的概率為,乙撲到甲踢出球的概率,且各次踢球互不影響(1)經(jīng)過1輪踢球,記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望;(2)若經(jīng)過n輪踢球,用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率,求【答案】(1)(2)【分析】(1)記一輪踢球,甲進(jìn)球?yàn)槭录?/p>

16、A,乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎,求出,求出X的可能取值及相應(yīng)的概率,求出分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)可直接在第一問的基礎(chǔ)上直接得到,分三種情況,進(jìn)行求解,分析得到經(jīng)過三輪踢球,甲累計(jì)得分高于乙有四種情況,進(jìn)行求解.【詳解】(1)記一輪踢球,甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀,乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎,A,B相互獨(dú)立,由題意得:,甲的得分X的可能取值為-1,0,1,所以X的分布列為:X-101P.(2)由(1)得:,經(jīng)過三輪踢球,甲累計(jì)得分高于乙有四種情況:甲3輪各得1分;甲3輪中有2輪各得1分,1輪得0分;甲3輪中有1輪得1分,2輪各得0分;甲3輪中有2輪各得1分,1輪得-1分.所以20如圖,四棱錐的底面ABCD是等腰梯形,是等邊三角形,

17、平面平面ABCD,點(diǎn)M在棱PC上(1)當(dāng)M為棱PC中點(diǎn)時(shí),求證:;(2)若點(diǎn)M滿足:,求銳二面角的余弦值【答案】(1)證明過程見解析;(2)【分析】(1)作出輔助線,由余弦定理求出,進(jìn)而由勾股定理逆定理得到ACBC,由面面垂直得到線面垂直,進(jìn)而得到線線垂直,從而證明出線面垂直,證明出;(2)先證明PO,BC,ON兩兩垂直,進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解二面角.【詳解】(1)連接AC,過點(diǎn)C,D分別作CEAB于點(diǎn)E,DFAB于點(diǎn)F,底面ABCD為等腰梯形且BC=CD=2,AB=4,則AF=BE=1,所以,由余弦定理得:,所以,所以ACBC,又平面平面ABCD,且交線為BC,所以AC平面

18、PBC,因?yàn)槠矫鍼BC,所以ACBM,因?yàn)镸是棱PC的中點(diǎn),且是等邊三角形所以BMPC,因?yàn)?,所以BM平面APC,因?yàn)槠矫鍭PC,所以APBM(2)取BC中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)槿切蜳BC為等邊三角形,所以POBC,又平面平面ABCD,且交線為BC,所以PO平面ABCD,取AB的中點(diǎn)N,連接ON,則ONAC,由(1)知ON平面PBC,所以PO,BC,ON兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)C,ON,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,易知平面MBC的一個(gè)法向量,設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為,則,可取,設(shè)銳二面角的大小為,則21已知函數(shù)滿足(1)若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的

19、取值范圍;(2)若對(duì)定義域中的恒成立(其中),求的最大值【答案】(1)(2)【分析】(1)采用構(gòu)造方程組的方式可求得解析式,從而將方程變?yōu)?,將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn),作出函數(shù)圖象,采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為;當(dāng)時(shí),取,可知不等式不成立;當(dāng)時(shí),令,利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,由此可得,則原問題等價(jià)于,利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,進(jìn)而得到,由此可得結(jié)果.【詳解】(1),則,解得:;若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則,則關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于與的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn),當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知:在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知:在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),又當(dāng)時(shí),;由此可作出與的圖象如下圖所示,由圖象可知:或,解得:或,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2),即;

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