高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、螞蟻文庫PAGE 高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)平面圖形直觀圖的畫法 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有平行直線對應(yīng)邊分別平行的角異面直線所成的角異面直線的公垂線異面直線的距離 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有直線和平面平行的判定與性質(zhì)直線和平面垂直的判定與性質(zhì)點(diǎn)到平面的距離斜線在平面上的射影直線和平面所成的角三垂線定理及其逆定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有平行平面的判定與性質(zhì)平行平面間的距離二面角及其平面角兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì) HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有多面

2、體正多面體棱柱棱錐球 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有考試要求 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)

3、定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（4）掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（5）會(huì)用反證法證明簡單的問題 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（7）

4、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有9（B）直線、平面、簡單幾何體 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有考試內(nèi)容： HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有平面及其基本性質(zhì)平面圖形直觀圖的畫法 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所

5、有平行直線 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有直線和平面平行的判定與性質(zhì)直線和平面垂直的判定三垂線定理及其逆定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有兩個(gè)平面的位置關(guān)系 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有空間向量及其加法、減法與數(shù)乘空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的數(shù)量積 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有直線的方向向量異面直線所成的角異面直線的公垂線異面直線的距離 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有直線和平面垂直的性質(zhì)平面的法向量點(diǎn)到平面的距離直線和平面所成的角向量在平面內(nèi)的射影

6、HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有平行平面的判定和性質(zhì)平行平面間的距離二面角及其平面角兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì) HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有多面體正多面體棱柱棱錐球 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有考試要求： HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（1）掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（2）掌握直線和平面平行的判定定理和

7、性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（5）掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間距離公式 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（6）理解直線的方向向量、平面的法

8、向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（10）了解棱錐的概念

9、，掌握正棱錐的性質(zhì)。會(huì)畫正棱錐的直觀圖 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（11）了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式 HYPERLINK / t _blank 數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有（考生可在9（A）和9（B）中任選其一）09. 立體幾何 知識(shí)要點(diǎn)平面.1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).2. 兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.（兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.（三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行）注：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共

10、點(diǎn)有0或1個(gè).4. 三個(gè)平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個(gè)方向）空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線共面沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)注：兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi). = 4 * GB3 兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn). = 5 * GB3 在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形

11、） = 6 * GB3 在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段） = 7 * GB3 是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線與直線所成角） （斜線與平面成角） （直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直

12、線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）注：直線與平面內(nèi)一條直線平行，則. （）（平面外一條直線）直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交

13、. （）（平面外一條直線）若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行. （）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之） = 4 * GB3 兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （）（可能在此平面內(nèi)） = 5 * GB3 平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（）（兩個(gè)平面可能相交） = 6 * GB3 平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面） = 7 * GB3 直線與平面、所成角相等，則.（）（、可能相交）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4.

14、 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直. 若，得（三垂線定理），得不出. 因?yàn)?，但不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.注：垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.（）（

15、一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）垂直于同一平面的兩條直線平行.（）5. = 1 * GB2 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.注：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). 一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（） = 2 * GB2 射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上平面平行與平面垂直.1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交

16、直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個(gè)二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，

17、那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t. 6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7. = 1 * GB2 最小角定理：（為最小角，如圖） = 2 * GB2 最小角定理的應(yīng)用（PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條

18、或者沒有. 棱錐、棱柱.1. 棱柱. = 1 * GB2 = 1 * GB3 直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的. = 2 * GB3 斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的. = 2 * GB2 四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體. = 3 * GB2 棱柱具有的性質(zhì)： = 1 * GB3 棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形. = 2 * GB3 棱柱的兩個(gè)底面與平行于底

19、面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形. = 3 * GB3 過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注： = 1 * GB3 棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖） = 2 * GB3 （直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直. = 4 * GB2 平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.注：四棱柱的對角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.注：

20、 = 1 * GB3 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形） = 2 * GB3 各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行） = 3 * GB3 對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形） = 4 * GB3 棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.注：一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；

21、所以. = 1 * GB2 正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.注： = 1 * roman i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形） = 2 * roman ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為） = 3 * GB3 棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附： 以知，為二面角. 則 = 1 * GB3 ， = 2 * GB3 ， = 3 * GB3 = 1 *

22、GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）. = 2 * GB2 棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形. = 3 * GB2 特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置： = 1 * GB3 棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. = 2 * GB3 棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. = 3 * GB

23、3 棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. = 4 * GB3 棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. = 5 * GB3 三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心. = 6 * GB3 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心. = 7 * GB3 每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑； = 8 * GB3 每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.注： = 1 * roman i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是

24、正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等） = 2 * roman ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：ABCD，ACBD BCAD. 令得，已知?jiǎng)t. = 3 * roman iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形. = 4 * roman iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點(diǎn)，則平面90易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.3. 球： = 1 * GB2 球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.

25、 = 2 * GB2 緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高） = 3 * GB3 錐形體積：（為底面積，為高） 4. = 1 * GB3 內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長為a，得.注：球內(nèi)切于四面體： = 2 * GB3 外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六. 空間向量.1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線

26、段所在直線互相平行或重合.注：若與共線，與共線，則與共線.（） 當(dāng)時(shí)，不成立向量共面即它們所在直線共面.（） 可能異面若，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（）與不成立若為非零向量，則.（）這里用到之積仍為向量（2）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量， 的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作.（4）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y使.空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向

27、量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.3. （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：) = 2 * GB3 空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （

28、3）用向量的常用方法： = 1 * GB3 利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為. = 2 * GB3 利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǚ较蛳嗤?，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）. = 3 * GB3 證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點(diǎn)不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.II. 競賽知識(shí)要點(diǎn)一、四面體.1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)： =

29、1 * GB3 四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心； = 2 * GB3 四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心； = 3 * GB3 四面體的四個(gè)面的重心與相對頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為31； = 4 * GB3 12個(gè)面角之和為720，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180.2. 直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、

30、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3. 等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長方體.（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有 = 1 * GB3 等腰四面體的體積可表示為； = 2 * GB3 等腰四面體的外接球半徑可表示為； = 3 * GB3 等腰四面體的

31、四條頂點(diǎn)和對面重心的連線段的長相等，且可表示為； = 4 * GB3 h = 4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D空間余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D立體幾何知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)提綱（一）空間的直線與平面平面的基本性質(zhì) 三個(gè)公理及公理三的三個(gè)推論和它們的用途斜二測畫法空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線公理四（平行線的傳遞性）等角定理異面直線的判定：判定定理、反證法異面直線所成的角：定義（求法）、范圍直線和平面平行 直線

32、和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)直線和平面垂直直線和平面垂直：定義、判定定理三垂線定理及逆定理5.平面和平面平行兩個(gè)平面的位置關(guān)系、兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）（三）夾角與距離7.直線和平面所成的角與二面角平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角二面角：定義、范圍、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理8.距離點(diǎn)到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段異面直線的距離：

33、異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段（四）簡單多面體與球9.棱柱與棱錐多面體棱柱與它的性質(zhì)：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì)平行六面體與長方體：平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體；平行六面體的性質(zhì)、長方體的性質(zhì)棱錐與它的性質(zhì)：棱錐、正棱錐、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì)直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)簡單多面體的歐拉公式正多面體11.球球和它的性質(zhì)：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離球的體積公式和表面積公式二、常用結(jié)論、方法和公式1.從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA1成，設(shè)ABC=,則