關(guān)于高等數(shù)學方法與典型例題歸納

1、COmPany number :0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-2021082014年山東省普通高等教育專升本考試2014年山東專升本暑期精講班核心講義高職高專類高等數(shù)學經(jīng)典方法及典型例題歸納一經(jīng)管類專業(yè)：會計學、工商管理、國際經(jīng)濟與貿(mào)易、電子商務T工類專業(yè)：電氣工程及其自動化、電子信息工程、機械設計制造及其自動化、交通運輸、計算機科學與技術(shù)、土木工程2013年5月17日星期五曲天堯 編寫一、求極限的各種方法約去零因子求極限V4-I例求極限吧Hr【說明】XTl表明X與1無限接近，但21,所以1這一零因子可以約去。解】Iim Um）（匚+1）= Iim（X + l）（x2 +1

2、） = 6=4lX-Il分子分母同除求極限V3 -V2例2:求極限帆齊【說明】工型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。S【注】（1）般分子分母同除X的最高次方；22m nm OTl r SinX-X 1. SinX-XCOSX-I 1. -x21解IIln；=Ilm；=Illn； = = IIm 二 =-t0 tan X 0 X03x0 3廣6用洛必達法則求極限例 9:求極限iJzs2W(I+ si)XTUJr【說明】工或9型的極限,可通過羅必塔法則來求。S O-2sin2x Sin 2x【解】IimhgS2(1 +SinW=恤 cos2Jl+sdxr0 x2x【注】許多變

3、動上顯的積分表示的極限，常用洛必達法則求解x-t)f(t)dt例10:設函數(shù)f(x)連續(xù)，且/(O) O ,求極限Iim t)dt【解】由于 f(X-t)clt = f(U)(-du) = f(u)du ,2JL是 恤”(M _恤4八)/-仙(MZ XIfu力3 XfWdU=InJl)yV(.v)-V(,)5, fWu + xfx)2用對數(shù)恒等式求IimTWE極限例 11 :極限 liml + ln(l + x)F“ .lnlMn(l,t)JHm 竺竺【解】Iim1 + In(l + x) = Iim ex=eF X = et0 x0【注】對于IOC型未定式IiIn f(x)s(X的極限，也可

4、用公式Iinl f(x)giX) (i)=eWU)-i)i()因為 例12:求極限阮P +沁.vln【解1】原式= Iim- x()2+COS I1FInZ= Iim X3Z2 + COS X372+COSX 1J_1InZ= Iim V3).vln【解2】原式= Iim x08利用TayIOr公式求極限例13求極限毀齊三 3。）【解】, =l + xln + ln2rt + o(2),2=I-Aln.lnzo();IiIn U = Iim= hr .x0f02例 14 求IimI(I-Cotx).【解】Iilnl(I-CotX) = Iind SinA-VCOSvIWl () X XZX X

5、SinX()F +o(x3) I= Iimg顯ZX39.【列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15 :極限Iiml “sin丄xk H【說明】這是IOC形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一 定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限Iiln1xsin XX1 sinl-l - Sin Y-I=IiIn e X =IimR xy0*所以,閔SiT10. n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法例 18 :設數(shù)列滿足0 xl,xl =SinXn(H = I,2)、vr+l(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算;(2)利

6、用兩邊夾法則求極限.例16:極限Iimn【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把/(x)看成0,1定積分。Iim ,x n+打(日卜QwX1 +【解】原式=1+ -例17:極限Iimn1 1 1-,； + I、77 +1 V/Z +2y+ H )【說明】該題遇上一題類似，但是不能湊成Iim-f- + X- H nj njnx+/ -的形式，因而用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。1 1r +2、/2 +n111n+ ,+ + ( - yn2 + yn2 +2n2 +n z2 +1所以1 I I 1 n2 +22 +n=Iinl , =

7、1f 2+l11.單調(diào)有界數(shù)列的極限問題（I ）證明Iim兀存在，并求該極限；n(II)計算Iimn11【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在【詳解】(I)因為 O則O v%2 =Sin XlSl V/T 可推得 OVX血=SinXn l0f,sinxx ),則有+1 0).解 令X = USmt,則ClX = UCOStCJt, t e(-2,2),所以為將變量/還原回原來的積分變量X ,由x = dsinf作直角三角形，可知, ya2 - X2COSt =-,代入上式，得注:對本題，若令X = GCoSr,同樣可計算。例：求不定積分J 2CIX

8、(Cl 0)解 令% = 6Ztanr,則 JX = C/sec2, r (-/2,/2),所以P1例：求不定積分JTTh()解 令 = tsecf,則 t = 6/SeCZL tazJz, t (0,/2) f 所以注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中含有時，可令X = USintt te(-2,2).如果被積函數(shù)中含有JAu ；可令 x = asect J f (0,/2),可令x = Qtanf, te(-2,2).如果被積函數(shù)中含有(IX例:求不定積分X I -X e十幺=arctan e + C.XdX解令二Ja 0),則x =

9、lr,所以,例：求不定積分J _ 3 XdX1 f d Xl23? 2J23? M)-72-t22令r = 2-3(f0), X=-Y-dx=-tdt原式二=_ 丁2_3+C關(guān)于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習題，這樣才能找到該怎 么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。5分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計算問題，但有些積分，如JXCoSMr等，利用換元法就無法求解.接下來要介紹另一種基本積分法分部積分法設函數(shù)U = (X)和V = V(X)具有連續(xù)導數(shù)，則d(g) = V du + udv移項得到UdV = d(uv)-vdu 9 所以有UfVd上面兩個

10、式子稱為分部積分公式利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分Jf(xx化成udv的形式，使它更容易計算.所采用的主要方法就是湊微分法，例 如，XeXdX = XdeX = Xe-edx xex-e = x-X)ex+ C利用分部積分法計算不定積分，選擇好U,V非常關(guān)鍵，選擇不當將會使積分的計算變得 更加復雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應用。例：求不定積分XCoSXdX.解令 U = X9 COSXdX = (JSin X = ClVf 貝IJ有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應用分部積分法。例：求不定積分JxNx解令U = 和dv = c dx ,則f X2 edx=xdex-2 Xex

11、dX對后面的不定積分再用分部積分法, (運算熟練后，式子中不再指出U和VT),代入前式即得x2 = (-2x + 2) + C注:若被積函數(shù)是幕函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)或正（余）弦函數(shù)的乘積，可設 幕函數(shù)為U,而將其余部分湊微分進入微分符號，使得應用分部積分公式后，幕函數(shù)的 幕次降低一次（幕指相碰幕為U）O例:求不定積分JXarCtanMk.K?解令 U= arctanx, XdX = ,則注:若被積函數(shù)是幕指函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積,可設對數(shù)函數(shù)或反三角 函數(shù)為U,而將幕函數(shù)湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，對數(shù)函數(shù)或反三 角函數(shù)消失（幕對角（反三角函數(shù)），對角U）例:

12、求不定積分J si%解JeASin XdX =JSinM （取三角函數(shù)為U）=e SinX JcosaJ ex （再取三角函數(shù)為U）X解得 / s in % = y （S in X - C osx） + C注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積時，U,dv可隨意選取，但在兩次 分部積分中，必須選用同類型的I】，以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所 求積分（指正余，隨意選）下面將分部積分法關(guān)于u,dv的選擇總結(jié)成一個表，以便于更好學習，如下：分類不定積分類型和/的選擇IIIIIU = SinXyv = e 或u = e, = SinXU = cosx, U = e 或 “ =e, = COS x6.結(jié)論上面所介紹的都是常見不定積分的求解方法，根據(jù)不同的題的特點采取上述不同的 方法，好多題要經(jīng)過適當變形后才能應用上述方法，