高中數(shù)學導數(shù)極值點偏移問題專題-導數(shù)極值點偏移問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)導數(shù)極值點偏移專題目錄極值點偏移極值點偏移的判定定理不含參數(shù)的偏移問題含參數(shù)的偏移問題含絕對值的偏移問題含指數(shù)的偏移問題含函數(shù)選取的偏移問題八、含函數(shù)偏移問題的極終手段一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點. 如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函

2、數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同. 故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.KS5UKS5UKS5U如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1. 若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）； 2. 若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3. 若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4. 若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、問題初現(xiàn)，形神合聚函數(shù)有兩極值點，且.證明：.所以，所以，因為，在上單調(diào)遞減所以，即.

3、 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.四、招式演練過點作曲線的切線（1）求切線的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，求證：【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義求切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程因為，不妨設(shè)，設(shè)，則，當時，在單調(diào)遞增，KS5UKS5UKS5U所以，所以當時， 因為x2-2，所以，從而，因為，在單調(diào)遞減，所以，即 一、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極

4、（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏） 左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏） 左慢右快（極值點右偏）二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽

5、化模型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點； 假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.KS5UKS5U.KS5U（2）構(gòu)造； 注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.KS5UKS5U（3）通過求導討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時，且，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明

6、：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.KS5UKS5U.KS5U三、對點詳析，利器顯鋒芒已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.，在上單調(diào)遞增，. 函數(shù)與直線交于、兩點.證明：. 已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以即，所以，所以.

7、已知函數(shù)有兩個零點.設(shè)是的兩個零點，證明：.四、招式演練已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是的導函數(shù).（）求的極值；（）若，證明：當，且時， .【答案】(1) 當時， 無極值; 當時, 有極小值;(2)詳見解析. 【解析】試題分析：（）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）f（x），求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可試題解析：（）的定義域為， 當時， 在時成立 在上單調(diào)遞增， 無極值.當時， 解得 由 得；由 得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極小值.（）當時， 的定義域為， ，由，解得.當

8、變化時， ， 變化情況如下表：00+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，且，則（不妨設(shè)）已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有極大值為，且方程的兩根為，且，證明： .【答案】（1）;（2）見解析. （1）當時， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點（2）當時， 0-極大值的極大值為，由得；因為，所以在必存在一個零點；顯然當時， ，所以在上必存在一個零點；KS5UKS5UKS5UKS5U三、不含參數(shù)的偏移問題函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙

9、變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).例.（2010天津理）已知函數(shù) ，如果，且.證明：構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即證 法三：由，得，化簡得，不妨設(shè)，由法一知，.KS5UKS5U.KS5U令，則，代入式，得，反解出，則，故要證，KS5UKS5UKS5U即證，又因為，等價于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，從而也在上單調(diào)遞增， 構(gòu)造，則，又令，則，由于對恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，KS5UKS5UKS5U由洛比塔法則知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點評】以上四種

10、方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.例.（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當時，KS5UKS5UKS5U【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 招式演練：已知函數(shù)，正實數(shù)滿足.證明：.KS5UKS5U【解析】由，得從而，令，構(gòu)造函數(shù)，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，也即，解得：.已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若方程 有兩個相異實根，且，證明：.【答案】（）在 (0,1)遞增， 在(1,+ 遞減；（）見解析（2）由(1)可設(shè)的兩個相

11、異實根分別為，滿足且， 由題意可知 又有(1)可知在遞減故 所以，令 四、含參數(shù)的偏移問題含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).例1. 已知函數(shù)有兩個不同的零點，求證：. 不妨設(shè)，記，則， 因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導，得在上遞增， 所以，因此原不等式獲證.例2. 已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)，欲證明，即證.，即證，原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)

12、化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：， 故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.例3.已知是函數(shù)的兩個零點，且.（1）求證：；（2）求證：. 要證：，即證：，等價于，也即，等價于，令等價于，也等價于，等價于即證：令，則，又令，得，在單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞減，即證原不等式成立.【點評】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應不等式. 例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.KS5UKS5UKS5U再證：.，而，.證畢.【招式演練】設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：

13、由，易知且，從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點連線的斜率要比兩點連線的斜率小即可，又因為，即證：，令，則，在上單調(diào)遞減， 原不等式成立.設(shè)函數(shù)，其圖像在點處切線的斜率為.當時，令，設(shè)是方程的兩個根，是的等差中項，求證：(為函數(shù)的導函數(shù)）.設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點，滿足，線段中點的橫坐標為，證明：【解析】，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有， 構(gòu)造函數(shù)，則，當時，即單調(diào)遞減，當時，從而不等式式成立，故原不等式成立. 已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）若有兩零點（），求證：

14、.【點評】1.方程的變形方向：是函數(shù)的兩個零點，1是該函數(shù)的極值點.是函數(shù)的兩個零點，是該函數(shù)的極值點.2.難點的證明依賴利用放縮.已知函數(shù) .（）討論f(x)的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：當時， ；（）設(shè)x1,x2是的兩個零點，證明f(x1+x22)0 .【答案】（）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（）當時，f(a+x)0，在區(qū)間上單調(diào)遞增，成立故原命題得證已知函數(shù). （1）若在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)解，證明： .【答案】（）和；（）見解析（）由，只要證只需證，不妨設(shè) 即證，只需證，則在上單調(diào)遞增， ，即證六、含指數(shù)的偏移問題近幾年全國各地的模擬試題

15、、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究兩函數(shù)之間的不等關(guān)系. 要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系. 這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，再用對數(shù)平均不等式求解，本文對此類問題做一探究.（2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)有兩個零點.證明：.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設(shè)，則那么，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，KS5UKS5UKS5U則，故單調(diào)遞增，有因此，對

16、于任意的，由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略. 法五：利用“對數(shù)平均”不等式 參變分離得：，由得，將上述等式兩邊取以為底的對數(shù)，得，化簡得：，故由對數(shù)平均不等式得：，從而 等價于： 由，故，證畢. (2010天津理)已知函數(shù) .如果，且.證明：.設(shè)函數(shù) ，其圖象與軸交于兩點，且.證明：（為函數(shù)的導函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項取對數(shù)得： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 1 * GB3 - = 2 * GB3 得：，即： KS5UKS5UKS5U招式演練：已知

17、函數(shù)在上有兩個零點為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）;（2）見解析.KS5UKS5UKS5U【解析】試題分析：（1）在上有兩個零點等價于方程有兩個根，即與有兩個交點，研究函數(shù) 單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）， ，兩式相除可得，設(shè)，只需證明即可.試題解析：（1）在上有兩個零點，方程，則，于是時， ，即在上單調(diào)遞減；當時， ，即在 【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進而求最值、不等式恒成立問題以及不等式證明問題，屬于難題.對于求不等式恒成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù), 這樣就把

18、問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù), 另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決. 但要注意分離參數(shù)法不是萬能的, 如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復雜, 性質(zhì)很難研究, 就不要使用分離參數(shù)法.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當時，.【解析】 (1) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當時，不妨設(shè)，因為，即，則，要證明，即，只需證明，即KS5UKS5UKS5U而等價于，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，即，所以單調(diào)遞減，所以，得證已知函數(shù)，若任意不同的實數(shù)滿足，求證：.方案一（差為自變量）：法三：令，原式，則令，設(shè)，則在為減函數(shù)，則時有最大值，故，證畢.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討

19、論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，證明： .【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（） 當時， ，則函數(shù)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)當時，令，則若，則， 在上是單調(diào)減函數(shù)；若，則， 在上是單調(diào)增函數(shù).KS5UKS5UKS5U七、含函數(shù)選取的偏移問題于極值點偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題（無論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù). 那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會選取不同的函數(shù).已知函數(shù)有兩個不同的零點，其極值點為（1）求的取值范圍；（2）求證：；（3）求證：；（4）求證：解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增， 至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減

20、， 在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）（3）由所證結(jié)論可以看出，這已不再是的極值點偏移問題，誰的極值點會是1呢？回到題設(shè)條件：（ii）構(gòu)造函數(shù)，則 （4）（i）同上；（ii）構(gòu)造函數(shù)，則 當時，但因式的符號不容易看出，引進輔助函數(shù)，則，當時，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（iii）將代入（ii）中不等式得，又，在上遞增，故， 點評：雖然做出來了，但判定因式及的正負時，均需要輔助函數(shù)的介入，費了一番功夫，雖然的極值點是1，理論上可以用來做（3）、（4）兩問，但實踐發(fā)現(xiàn)略顯麻煩，我們還沒有找到理想的函數(shù)再次回到題設(shè)條件：，記函數(shù)

21、，則有接下來我們選取函數(shù)再解（3）、（4）兩問（3）（i），得在上遞減，在上遞增，有極小值，又當時，；當時， 由不妨設(shè) 【點評】用函數(shù)來做（3）、（4）兩問，過程若行云流水般，格外順暢這說明在極值點偏移問題中，若函數(shù)選取得當，可簡化過程，降低難度注1：第（2）問也可借助第（4）問來證：將，相加得注2：在第（ii）步中，我們?yōu)槭裁纯偸墙o定的范圍？這是因為的范圍較的范圍小，以第（3）問為例，若給定，因為所構(gòu)造的函數(shù)為，這里，且，得，則當時，無意義，被迫分為兩類：若，則，結(jié)論成立；當時，類似于原解答 而給字，則不會遇到上述問題當然第（4）問中給定或的范圍均可，請讀者自己體會其中差別【思考】練習1：（

22、查看熱門文章里極值點偏移（1）應該用哪個函數(shù)來做呢？提示：用函數(shù)來做，用函數(shù)來做 練習2 ：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè), ，為函數(shù)的兩個零點，求證.提示：將，兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程處理.【招式演練】已知函數(shù)有兩個零點，求證：.只要證：即證：，即證：，由的單調(diào)性知，只需證：， 同理構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明，下略.已知的圖像上有兩點，其橫坐標為，且.（1）證明：；（2）證明：.又構(gòu)造函數(shù)：，則，故在上單調(diào)遞增，由于時，且，故必存在，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有， 再由，且在上單調(diào)遞增，故，即證：成立

23、.綜上：即證成立.從而對恒成立，同理得出：.綜上：即證成立，也即原不等式成立. 已知函數(shù)（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點， ，求證： 【答案】（1）；（2）當時， ，當時， ，當時， ；（3）證明見解析.試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為（2）因為，當時， ， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當，即時， ， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則； 當，即時， ， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則綜上，當時， ；當時， ；當時， 令，則，于是，令（），則，故函

24、數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立，所以原不等式成立所以，即成立，所以原不等式成立 【方法點晴】本題主要考查導數(shù)與切線的問題，考查導數(shù)與極值、最值的問題，考查構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的方法.第一問涉及求函數(shù)的參數(shù)，只需代入點的坐標解方程即可，涉及切線問題利用導數(shù)和斜率的對應關(guān)系易得.第二問求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值，需要對進行分類討論，分類的依據(jù)是導數(shù)的零點是否在定義域內(nèi).第三問要證明不等式，先將其轉(zhuǎn)化為同一個參數(shù)，然后利用導數(shù)求其最小值來求.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.

25、證明： 1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.（2）若對于任意xe,e2，都有f(x)4lnx成立，求的取值范圍 ；（3）若x1x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1x21,所以f(x)=lnx-k0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+)，無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值；當k0時，令lnx-k=0,解得x=ek，當1xek時，f(x)ek,f(x)0所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,ek)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ek,+)，在區(qū)間(1,+)上的極小值為f(ek)=(k-k-1)ek=-ek,無極大值 由題意，f(x)-4lnx0,即問題轉(zhuǎn)化為(x-4)lnx-(k+1)x(x-4)lnxx對于xe,e

26、2恒成立,令g(x)=(x-4)lnxx,則g(x)=4lnx+x-4x2,令t(x)=4lnx+x-4,xe,e2,則t(x)=4x+10,所以t(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e0,故g(x)0,所以g(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)max=g(e2)=2-8e2要使k+1(x-4)lnxx對于xe,e2恒成立,只要k+1g(x)max,又f(x1)=f(x2),即證f(x1)f(e2kx1),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(e2kx)=(lnx-k-1)x-(lne2kx-k-1)e2kx,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k(l

27、nxx-k-1x2),x(0,ek)KS5UKS5Uh(x)=lnx+1-(k+1)+e2k(1-lnxx2+k-1x2)=(lnx-k)(x2-e2k)x2,因為x(0,ek),所以lnx-k0,x20,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,ek)上單調(diào)遞增,故h(x)h(ek),而h(ek)=f(ek)-f(e2kek)=0,故h(x)0,所以f(x1)f(e2kx1),即f(x2)=f(x1)f(e2kx1),所以x1x2e2k成立點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般

28、涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會已知函數(shù)()求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)極值點為，若存在，且，使，求證：【答案】（1）增區(qū)間為： 減區(qū)間為： ；（2）見解析.試題解析：（） 的定義域為，由得: 由得增區(qū)間為： 由得減區(qū)間為： （）要證，只需證由（）知在上為增函數(shù)， 在上是增函數(shù)， ，即又成立，即已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)， 是函數(shù)的兩個零點， 是函數(shù)的導函數(shù)，證明： .【答案】（1）見解析（2）

29、見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)是否變號進行討論，當時， ， 遞增，當時，導函數(shù)有一零點，導函數(shù)先正后負，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明，只需證明 ，即證明，即證明，再令，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最值： 在上遞增，所以，即可證得結(jié)論.試題解析：(1) 的定義域為， 當時， ， 遞增當時， 遞增； 遞減綜上：當時， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為當時， 的單調(diào)增區(qū)間為 即證明，即證明 令，則則， 在上遞減， ，在上遞增， 所以成立，即點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差

30、函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（1）不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）設(shè)在內(nèi)的實根為， ，若在區(qū)間上存在，證明： .【答案】（1）1（2）見解析 ：要證： ，即證： ，只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中.利用導數(shù)可得 在上單調(diào)遞增，即得試題解析：（1）由，所以，設(shè)，.由， 在上單調(diào)遞增；， 在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實數(shù)的最大值為.而，故，而，從而，因此當，即單調(diào)遞增.從而當時， ，即，故得證.已知函數(shù)為實數(shù))

31、的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時， .【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析. 已知.（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，為函數(shù)的兩個零點，求證：.【答案】（）見解析； （）見解析.【解析】試題分析: （）根據(jù)導數(shù)，分類討論，當時， ；當時， ，由得， 時， ， 時， ，即可得出單調(diào)區(qū)間；（）由（）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為不妨設(shè)，由條件知，即，構(gòu)造函數(shù)， 與圖像兩交點的橫坐標為， ，利用單調(diào)性只需證構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題處理導數(shù)大

32、題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會已知函數(shù)， （）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)存在兩個極值點， ，且，證明： 【答案】（1）（2）詳見解析.若，即，方程的兩根為， ，當時， ，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當時， ，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）因為函數(shù)有兩個極值點，所以

33、在上有兩個不等的實根，即在有兩個不等的實根， ，于是， 且滿足， ，同理可得，令， ， ，又時， ，則在上單調(diào)遞增，所以，即，得證已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線（）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明：【答案】（）；（）證明過程見解析；KS5UKS5UKS5U （）由題意，函數(shù)，其定義域為，令，得，其判別式，函數(shù)有兩個極值點， ，等價于方程在內(nèi)有兩不等實根，又，故所以，且， ，令， ，則，由于，故在上單調(diào)遞減故所以，所以九、含函數(shù)偏移問題的極終手段下面給出引例，通過探究，歸納總結(jié)出解決此類問題的一般性方法.已知，若有兩個極值點，且，求證：（為自然對數(shù)

34、的底數(shù)）解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路于是又，設(shè)，則因此，要證，即證：， 即：當時，有設(shè)函數(shù)，則，所以，為上的增函數(shù)注意到，因此， 于是，當時，有所以，有成立， 解法二 變換函數(shù)能妙解證法2：欲證，需證若有兩個極值點，即函數(shù)有兩個零點又，所以，是方程的兩個不同實根顯然，否則，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意由，解法三 構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實力證法3：由，是方程的兩個不同實根得，令，由于，因此，在， 設(shè)，需證明，只需證明，只需證明，即，即KS5U 微信公眾號 中學數(shù)學研討部落即，故在，故，即令，則，因為，在，所以，即 解法四 巧引變量（一）證法4：設(shè)，則由得，設(shè)，則，欲證，解法五 巧引變量（二）證法5：設(shè)，則由得，設(shè)，則，欲證，需證，即只需證明，即，設(shè)，故在，因此，命題得證 已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.欲證：，結(jié)合的單調(diào)性，即證：等價于證明：令，構(gòu)造函數(shù)，求導由單調(diào)性易得原不等式成立，略.法二：接后續(xù)解:由得：構(gòu)造函數(shù)，求導由單調(diào)性易得在恒成立，又因為，故成立.法三：接后續(xù)解：視為主元，設(shè)則在上單調(diào)遞增，故，再結(jié)合，故成立.法四：構(gòu)造函數(shù)， 則，從而在上單調(diào)遞增，故，即對恒成立，從而，則，由，且在單調(diào)遞增， 故，即，從而成立. 招式演練：已知函數(shù)有兩個不同的零點 求的最值；證明： 【答案】（1），無