4第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示4.3

1、4.3 泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒(Taylor)定理二、將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法z0DC一、泰勒(Taylor)定理則當(dāng) 時(shí)，有定理設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，C 為 D 的邊界，其中，證明 (略) Rl 為 D 內(nèi)包圍 點(diǎn)的z0的任意一條閉曲線。l P88定理 4.6 (進(jìn)入證明?)一、泰勒(Taylor)定理注(1) 為什么只能在圓域 上展開為冪級(jí)數(shù)，z0RDC而不是在整個(gè)解析區(qū)域 D 上展開？回答這是由于受到冪級(jí)數(shù)本身的收斂性質(zhì)的限制： 冪級(jí)數(shù)的收斂域必須是圓域。 冪級(jí)數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。一、泰勒(Taylor)定理注(2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。方法一一、泰勒(

2、Taylor)定理注(2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。方法二z0RDCl一、泰勒(Taylor)定理注(3) 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，用任何方法展開為冪級(jí)數(shù)，其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性。將函數(shù) 在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。比如方法一 利用已知的結(jié)果(4.2 ):方法二 利用泰勒定理 :方法三 利用長(zhǎng)除法。(長(zhǎng)除法)一、泰勒(Taylor)定理注(4) 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，能不能在不具體展開為冪級(jí)數(shù)的情況下，就知道其收斂域？可以知道。函數(shù) 在 點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)，其收斂半徑結(jié)論等于從 點(diǎn)到 的最近一個(gè)奇點(diǎn) 的距離。(1) 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析， 因此奇點(diǎn) 不可能理由在收斂圓內(nèi)；(2) 奇點(diǎn)

3、 也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑還可以擴(kuò)大，故奇點(diǎn) 只能在收斂圓周上。二、將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法1. 直接展開法 利用泰勒定理，直接計(jì)算展開系數(shù)將函數(shù) 在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例解P90 例4.6 二、將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法1. 直接展開法 利用泰勒定理，直接計(jì)算展開系數(shù) 同理可得二、將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法2. 間接展開法 根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運(yùn)算、代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開。 兩個(gè)重要的已知展開式故收斂半徑函數(shù) 有奇點(diǎn)解函數(shù) 有奇點(diǎn)故收斂半徑(1)(2)P92 例4.10 (1)解將函數(shù) 分別在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例P92 例4.11 修改 (2)解

4、將函數(shù) 分別在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例(1)解(2)解解將函數(shù) 在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例將函數(shù) 在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例解解將函數(shù) 在 點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。例*P93 例4.12 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)1. 斐波拉契Leonardo Fibonacci，約1170 約1240，意大利業(yè)余數(shù)學(xué)家。3. 斐波拉契數(shù)列2. 兔子問題一對(duì)(超級(jí))小兔，在它們出生的第三個(gè)月開始，每月又可生一對(duì)(超級(jí))小兔，問 n 個(gè)月后，共可得到多少對(duì)兔子？4. 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)(1) 變換z令由 有將 代入上式并求解得 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)4. 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)(2) 泰勒級(jí)數(shù)展開其中， 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 輕松一下吧DCz0作圓 G ，附：泰勒定理的證明RzrGz由柯西積分公式有由 有如圖以 為圓心， 為半徑z0證明設(shè) z 為 G 內(nèi)任意一點(diǎn)。附：泰勒定理的證明證明其中， 下面需證明交換次序DCz0zrGz附