場外期權(quán)專題之三：期權(quán)對沖方案設(shè)計

1、內(nèi)容目錄 HYPERLINK l _bookmark0 1、 什么是對沖？4 HYPERLINK l _bookmark1 對沖在于降低風(fēng)險4 HYPERLINK l _bookmark2 Delta 中性與動態(tài)對沖4 HYPERLINK l _bookmark3 場外期權(quán)，場內(nèi)對沖4 HYPERLINK l _bookmark5 對沖效果5 HYPERLINK l _bookmark8 本文主要內(nèi)容5 HYPERLINK l _bookmark9 2、 如何動態(tài)對沖？6 HYPERLINK l _bookmark10 動態(tài)對沖的思想6 HYPERLINK l _bookmark11 普通 D

2、elta 對沖成本計算7 HYPERLINK l _bookmark13 對沖存在的風(fēng)險8 HYPERLINK l _bookmark14 3、 波動率對對沖損益影響8 HYPERLINK l _bookmark15 波動率恒定情況8 HYPERLINK l _bookmark16 波動率恒定模型下對沖模擬9 HYPERLINK l _bookmark20 時變波動率情形11 HYPERLINK l _bookmark21 波動率斷點模型11 HYPERLINK l _bookmark23 不同路徑可以考慮用不同的波動率對沖12 HYPERLINK l _bookmark31 4、 基于經(jīng)驗的

3、對沖方法14 HYPERLINK l _bookmark32 固定時間間隔對沖14 HYPERLINK l _bookmark33 標的價格出現(xiàn)一定變化時才進行對沖15 HYPERLINK l _bookmark34 對沖到一個 delta 帶15 HYPERLINK l _bookmark35 策略比較15 HYPERLINK l _bookmark37 5、 基于效用的對沖方法16 HYPERLINK l _bookmark38 HN（Hodges-Neuberger）方法16 HYPERLINK l _bookmark39 Whalley-Wilmott 策略16 HYPERLINK l

4、 _bookmark40 Zakamouline 策略17 HYPERLINK l _bookmark41 策略對比17 HYPERLINK l _bookmark43 6、 靜態(tài)對沖18 HYPERLINK l _bookmark44 動態(tài)對沖存在缺陷18 HYPERLINK l _bookmark45 什么是靜態(tài)對沖？18圖表目錄 HYPERLINK l _bookmark4 圖 1：交易商賣出場外期權(quán)與場內(nèi)對沖4 HYPERLINK l _bookmark6 圖 2：不進行對沖的持倉損益5 HYPERLINK l _bookmark7 圖 3：進行對沖的持倉損益5 HYPERLINK l

5、 _bookmark12 圖 4：期權(quán)的對沖成本分析7 HYPERLINK l _bookmark17 圖 5：蒙特卡洛模擬得到的部分股價路徑10 HYPERLINK l _bookmark24 圖 6：不同波動率下的看漲期權(quán) Gamma13 HYPERLINK l _bookmark25 圖 7：震蕩市情形13 HYPERLINK l _bookmark27 圖 8：上漲趨勢市情形14 HYPERLINK l _bookmark29 圖 9：下跌趨勢市情形14 HYPERLINK l _bookmark46 圖 10：對沖策略19 HYPERLINK l _bookmark47 圖 11：組

6、合到期損益19 HYPERLINK l _bookmark18 表 1：部分路徑的對沖結(jié)果10 HYPERLINK l _bookmark19 表 2：對沖結(jié)果10 HYPERLINK l _bookmark22 表 3：不同波動率下平均對沖效果比較12 HYPERLINK l _bookmark26 表 4：不同波動率對沖效果比較13 HYPERLINK l _bookmark28 表 5：不同波動率對沖效果比較14 HYPERLINK l _bookmark30 表 6：不同波動率對沖效果比較14 HYPERLINK l _bookmark36 表 7：基于經(jīng)驗主義的三種對沖方法比較16

7、HYPERLINK l _bookmark42 表 8：不同對沖策略結(jié)果比較（ = ）181、 什么是對沖？對沖在于降低風(fēng)險對沖是一種在減低商業(yè)風(fēng)險的同時仍然能在投資中獲利的手法。一般對沖是同時進行兩筆行情相關(guān)、方向相反、數(shù)量相當(dāng)、盈虧相抵的交易。行情相關(guān)是指影響兩種商品價格行情的市場供求關(guān)系存在同一性，供求關(guān)系若發(fā)生變化，同時會影響兩種商品的價格，且價格變化的方向大體一致。方向相反指兩筆交易的買賣方向相反，這樣無論價格向什么方向變化，總是一盈一虧。當(dāng)然要做到盈虧相抵， 兩筆交易的數(shù)量大小須根據(jù)各自價格變動的幅度來確定，大體做到數(shù)量相當(dāng)。對沖有兩個作用，一個是用來抵消風(fēng)險，另一個就是利用差異來

8、獲得收益。Delta 中性與動態(tài)對沖Delta 為零的狀態(tài)我們稱之為 Delta 中性。Delta 不僅僅有大小，還有方向。因此可以將 Delta 風(fēng)險理解為“方向性”的風(fēng)險。也就是說，我們無法準確預(yù)知標的物究竟上漲還是下跌以及上漲下跌的幅度， Delta 風(fēng)險就是我們可能預(yù)測錯誤所造成的風(fēng)險，故而我們有必要對這一風(fēng)險進行對沖。如果期權(quán)賣方想在標的物價格波動劇烈的時候不吃虧，則需要不斷通過買賣現(xiàn)貨來調(diào)整對沖倉位，盡量保持總倉位的 Delta 為 0。不斷根據(jù)頭寸 Delta 而做對沖的手法就是動態(tài) Delta 對沖。場外期權(quán)，場內(nèi)對沖場外期權(quán)的交易商賣出一個期權(quán)，但是他不愿意承擔(dān)期權(quán)帶來的風(fēng)險

9、暴露，那么他就需要通過 delta 對沖抵消掉方向上的風(fēng)險。 圖 1：交易商賣出場外期權(quán)與場內(nèi)對沖數(shù)據(jù)來源：例如場外期權(quán)交易商賣出了一個平值認購期權(quán)，為了抵消風(fēng)險，交易商需要在場內(nèi)市場動態(tài)地持有 delta 份期權(quán)標的資產(chǎn)，這等同于在場內(nèi)市場上買入一個隱含波動率等于實際波動率的看漲期權(quán)，中間的波動率差價就是交易商所能獲得的利潤。而對于場內(nèi)期權(quán)的投資者，如果當(dāng)前的隱含波動率大大高于標的實際波動率，那么投資者可以賣出期權(quán)，同時在市場上以實際波動率進行 delta 對沖，從而賺取波動率高估的錢。對沖效果 圖 2：不進行對沖的持倉損益 圖 3：進行對沖的持倉損益數(shù)據(jù)來源：數(shù)據(jù)來源：我們考慮比較賣出一個

10、期權(quán)同時在市場上日頻動態(tài)對沖策略與賣出一個期權(quán)而不進行任何對沖策略的持倉收益。假定標的價格滿足幾何布朗運動，我們使用蒙特卡洛方法模擬出 10 條路徑，之后再分別計算在對沖和不對沖情況下的持倉損益。如圖 2 所示，如果不進行對沖，那么持倉收益會非常不穩(wěn)定。在極端情形，比如市場大幅上漲的情況下，會出現(xiàn)比較大的虧損。如圖 3 所示，如果進行對沖，那么持倉的收益就會更穩(wěn)定，到期損益的波動比較小。如果我們賣出期權(quán)的期權(quán)費能夠覆蓋絕大多數(shù)路徑對應(yīng)的持倉損益，那我們就可以獲得確定性比較高的收益。綜合圖 2 和圖 3，進行動態(tài)對沖能降低賣出期權(quán)的風(fēng)險。本文主要內(nèi)容本文將具體地介紹對沖的思想以及幾種市場上通行的

11、對沖的方案，另外還會對具體的對沖操作提出幾點思考：第一部分，我們將介紹動態(tài)對沖的思想，描述動態(tài)對沖過程中的成本測算方法， 并告訴大家動態(tài)對沖有哪些缺點。第二部分，我們將介紹波動率對動態(tài)對沖的影響，研究在不同市場環(huán)境下如何使用不同的波動率做對沖。第三部分，我們將比較三種基于經(jīng)驗主義的對沖方案，這三種方案分別是固定時間對沖、根據(jù)標的變化做對沖和對沖到一個 delta 帶。第四部分，我們將介紹基于效用的對沖方法，在假設(shè)交易員擁有指數(shù)效用函數(shù)的情形下，Whalley-Wilmott 方法和 Zakamouline 方法都能構(gòu)建一個 delta 的非交易區(qū)域，如果最終 delta 落在這個區(qū)域，可以不必

12、對沖，從而降低交易的頻率。第五部分，我們將簡單介紹靜態(tài)對沖，動態(tài)對沖在極端市場情形有失效的可能， 而相比之下靜態(tài)對沖通過以多產(chǎn)品收益相互抵補、風(fēng)險相互對沖來降低整體風(fēng)險， 能抵御極端情況下的市場風(fēng)險。2、 如何動態(tài)對沖？動態(tài)對沖的思想1973 年，F(xiàn)ischer Black 和 Myron Scholes(1973)發(fā)表了期權(quán)定價和公司財務(wù)一文，在一系列嚴格的假設(shè)條件下，通過嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，提出了后來被稱為“Black-Scholes 模型”(下稱 B-S 模型)的期權(quán)定價模型，成為期權(quán)定價理論研究中的開創(chuàng)性成果。Black 和 Scholes 假設(shè)標的股票價格服從幾何布朗運動，且其波動

13、率是一個常數(shù)。在無套利的條件下，利用動態(tài)復(fù)制（Dynamic Replication） 的方法，推導(dǎo)出基于不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)價格必須滿足的微分方程。通過解此微分方程，得出歐式看漲期權(quán)價格的顯式解，稱為 B-S 公式。該公式現(xiàn)已成了市場參與者所普遍使用的一個定價工具，推動了衍生產(chǎn)品市場的深入發(fā)展。許多學(xué)者分別從離散時間和交易費用方面來復(fù)制期權(quán)從而研究期權(quán)的定價。 Boyle 和 Emanuel(1980)對于不考慮交易成本的短時間段進行間斷性避險的誤差分布進行的檢驗表明，忽略泰勒展開式的某些高階項，避險誤差的期望值為零，且避險誤差分布服從自由度為 1 的卡方分布。Leland(1985)

14、提出采用一種修正的波動率來解決交易成本帶來的避險誤差問題。Kamal 和 Derman(1999)對分布的方差的研究表明方差與期權(quán)的 Vega 成比例。Toft(1996) 繼 Leland 開創(chuàng)性地對 B-S模型進行修正以運用于存在交易成本下的期權(quán)定價之后，計算了對沖誤差的期望值并給出了顯式解。Kabanov 和 Safarian(1997)給出了存在比例交易成本的對沖誤差的范圍，并認為 Leland 的避險策略僅是一種推測。Yonggan Zhao 和 Ziemba(2003)指出，Leland 論文中存在數(shù)學(xué)證明上的漏洞，并用模擬結(jié)果證明 Leland 模型存在問題，他們借鑒 Lelan

15、d 的想法也對B-S 模型的波動率進行修正，但使用的是內(nèi)生的使絕對平均誤差最小化的修正波動率來進行定價與避險。 Davis 和 Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges 和 Neuberger(1998)等更是利用隨機控制方法求效用最大化的方法對期權(quán)進行定價，但由于算法復(fù)雜等原因并不實用。Whalley 和 Wilmott（1997）給出了一個 Hodges 和 Neuberger(1989)方法的近似接法，當(dāng)交易費率趨于 0 時，delta 的非交易區(qū)間的邊界滿足如下的公式：V delta = S (3er(Tt) S22)1/3Zakamouline（2006）研究出

16、了一個基于效用的對沖策略的解法，該解法可以在充分保留 Hodges 和 Neuberger(1989)方法特性的情形下，給出一種近似的求解公式，模擬結(jié)果顯示，Zakamouline 近似方法顯著優(yōu)于其他方法。普通 Delta 對沖成本計算我們以股指期權(quán)為例分析期權(quán)的對沖成本。Delta 對沖策略在期貨頭寸中會因價格波動損失一定的手續(xù)費和追漲殺跌的損失， 不過這筆費用相當(dāng)于購買期權(quán)所付出的權(quán)利金，并且這筆權(quán)利金并不是期初一次 性付清，而是在整個避險的過程中慢慢支付給市場。根據(jù) Black-scholes 公式知 道，期權(quán)的價格與 行權(quán)價、到期日、標的價格、無風(fēng)險利率和隱含波動率有關(guān)。而隱含波動率

17、越高期權(quán)的權(quán)利金也越高，通過 Delta 策略能夠更好的理解隱含波動率的意義，因為未來標的價格的波動越劇烈，在進行 Delta 策略時，期貨頭寸的調(diào)整會越頻繁，這樣會導(dǎo)致更多買高賣低的次數(shù)出現(xiàn)，而造成整個策略在追漲 殺跌的過程中損失越大，相當(dāng)于付給了期權(quán)“賣方”更多的權(quán)利金。 圖 4：期權(quán)的對沖成本分析數(shù)據(jù)來源：NNiNV - i 1* (s s i 1) * e ( N i ) * rT / N c * S * i i 1* e ( N i ) * r / N K * sign( S- K) * e rTi i 1i 1期權(quán)的對沖成本主要分為 3 部分：第一部分來自于動態(tài)持有 delta 份

18、股指期貨帶來的資金損益。Delta 對沖在具體的操作中就是 delta 升高的時候買入股指期貨，delta 降低的時候賣出股指期貨，那么，在這一過程中由于高買低賣產(chǎn)生的損失以及到期日的支付 K*（sign(s-k)）就近似于期權(quán)費。第二部分來自于調(diào)整股指期貨持倉產(chǎn)生的交易費用。由于期權(quán) delta 在股價出現(xiàn)變動時會動態(tài)調(diào)整，那么，由于每天股指期貨的持倉都會出現(xiàn)變化，期權(quán)復(fù)制會帶來一筆交易費用。第三部分來自于保證金的利息支出。對沖存在的風(fēng)險隱含波動率估計錯誤delta 動態(tài)對沖方法也存在顯著的缺點，那就是該策略需要估計期權(quán)的隱含波動率，我們都知道，隱含波動率與歷史波動率往往存在很大的差距，估計

19、隱含波動率是比較困難的。Gamma 風(fēng)險另外，該策略僅能使得 delta 中性，而無法達到 gamma 中性，因此使用 delta策略會存在 gamma 風(fēng)險，這就使得該策略復(fù)制期權(quán)存在較大的跟蹤誤差。大頭針風(fēng)險進行動態(tài)對沖，在期權(quán)接近到期且標的價格靠近行權(quán)價時，Delta 的變化無法控制，無法精確地對沖 Delta。3、 波動率對對沖損益影響波動率恒定情況BS 模型假定股價滿足幾何布朗運動，波動率恒定不變：那么由 Ito 公式，一個衍生品的價格滿足如下的隨機微分方程：如果我們賣出一個期權(quán)，同時進行 delta 對沖，那么我們構(gòu)建的投資組合為：該投資組合的價值變化滿足：在假定波動率水平恒定不變

20、的情況下，投資組合的價值變動與 Theta 與 Gamma 相關(guān)。波動率恒定模型下對沖模擬我們假定標的價格滿足幾何布朗運動，使用蒙特卡洛方法模擬出 1000 條路徑，之后再分別計算在這 1000 條路徑下進行對沖的持倉損益。我們假定：S0 = 1；T= 0.25； K= 1；Sigma = 0.2； r = 0.05；交易費率取萬分之六。根據(jù)以上參數(shù)得到了 1000 條股價的路徑： 圖 5：蒙特卡洛模擬得到的部分股價路徑數(shù)據(jù)來源：對于這 1000 條路徑，我們分別計算了每條路徑相應(yīng)的期權(quán)對沖組合的對沖損益， 交易成本，資金占用成本以及無法被對沖的期權(quán) Gamma 與 Theta 損益。 表 1

21、：部分路徑的對沖結(jié)果對沖損益交易費資金成本總成本GAMMATHETA10.05470.00050.01560.07080.0107-0.017620.04620.00040.01480.06150.0064-0.018330.03410.00170.01020.04590.0250-0.033540.02580.00180.00680.03440.0315-0.036750.03760.00160.00760.04680.0225-0.032660.04040.00140.01090.05270.0244-0.030570.03610.00130.01070.04810.0165-0.0324

22、80.04230.00070.01450.05750.0119-0.021090.03650.00210.00740.04590.0313-0.0370100.04950.00160.00820.05930.0247-0.0314數(shù)據(jù)來源： 表 2：對沖結(jié)果描述多條路徑平均值BS 價格通過 BS 公式計算的期權(quán)價格0.0461對沖頭寸損益delta 對沖頭寸的全部損益 - 期權(quán)到期日內(nèi)在價值0.0389交易費動態(tài)對沖調(diào)整持倉數(shù)量時產(chǎn)生的交易費0.0012資金占用費持有標的動用的資金產(chǎn)生的利息費用0.0086對沖成本標準差對沖總成本的標準差0.0109GammaGamma 損益0.0195The

23、taTheta 損益-0.0261數(shù)據(jù)來源：對沖的平均損益如表 2 所示，對沖頭寸損益平均為 0.389，低于通過波動率計算得到的期權(quán)價格 0.461，所以在沒有交易費的情況下，以 BS 價格賣出一個期權(quán)并進行動態(tài)對沖平均可以獲得 0.0073 的收益。其中的差異是因為賣出期權(quán)帶來的 theta 安全墊收益超出了 gamma 所帶來的損失。時變波動率情形考慮波動率隨時間變化情形：那么，以看漲期權(quán)為例，期權(quán)價值的變化如下：其中：如果進行 delta 對沖，那么上式中第一項會被完全消除，那么組合對沖之后的損益，也即我們對沖的誤差相比于恒定波動率模型多出了一項：由于 Gamma 值始終為正，如果我們

24、預(yù)測未來波動率低于當(dāng)前隱含波動率，那么就可以獲得正的對沖損益。波動率斷點模型如果真實波動率沒有明顯變化，用當(dāng)前波動率計算的期權(quán)價格，和最后的對沖成本，從理論上來說，應(yīng)該是非常接近的。但實際上波動率有時會出現(xiàn)比較大的變化，如果波動率大幅上升，那么就會導(dǎo)致對沖成本顯著增加，造成對沖頭寸出現(xiàn)虧損。為了對這種情況進行研究，我們構(gòu)建了波動率斷點模型：我們使用蒙特卡洛方法模擬標的的價格路徑，模擬價格路徑分為兩段，前一半時間標的真實波動率為 20，后一半時間標的真實波動率為 40。表 3：不同波動率下平均對沖效果比較我們分別取 20、30和 40作為期權(quán)的對沖波動率，研究在不同的對沖波動率下對沖效果有何不同

25、。0.2 0.3 0.4 對沖頭寸損益6.216.206.19BS 價格4.616.588.55交易費0.500.420.36資金占用費0.850.850.85BS 價格下虧損概率97.8078.906.90總成本標準差1.861.040.69Gamma4.063.493.06Theta-2.41-3.82-5.36數(shù)據(jù)來源：如表 3，如果我們以 20的波動率賣出期權(quán)并用期初的波動率 20作為對沖波動率，由于之后波動率急劇上升到 40，導(dǎo)致對沖成本大幅增加，最終我們賣出期權(quán)得到的期權(quán)費將不足以覆蓋我們的對沖成本。另外，我們還測試了用不同波動率作為對沖波動率的情況。在模擬出的波動率模型下，我們用

26、不同波動率來計算 delta 進行動態(tài)對沖。我們選用的對沖波動率越大，那么對沖頭寸的損益越小，總成本標準差也越小。不過，從表 3 看來，不同對沖波動率的選用并不會對對沖頭寸平均損益造成太大的影響，對沖頭寸的平均損益更多的由模型波動率決定。不同路徑可以考慮用不同的波動率對沖雖然從平均上來看，使用不同波動率進行對沖的結(jié)果并沒有太大的差別，但是對沖的效果具有高度的路徑依賴性。對于同一條路徑，選用不同的對沖波動率會帶來非常不同的結(jié)果。我們可以簡單地把市場分為趨勢市和震蕩市，在趨勢市中，使用較小的波動率做對沖更好，而在震蕩市中使用更大的波動率對沖效果更優(yōu)。 圖 6：不同波動率下的看漲期權(quán) Gamma數(shù)據(jù)

27、來源：造成這種差異的主要的原因在于對沖波動率取值會影響到 delta 的計算，而對沖波動率的值選取的越低，那么相對應(yīng)的 Gamma 也就越大。我們都知道：在市場不斷震蕩的情況下，對于標的的每一次價格變化，低波動率的對沖頭寸每次對沖都會有更大的數(shù)量調(diào)整，而因為標的價格會來回波動，這種調(diào)整在之后都會被證明是虧損頭寸。一來一回，對沖策略會承擔(dān)相比于高波動率對沖頭寸更大的虧損，從而增加了總的對沖成本。而在趨勢市中，低波動率的對沖頭寸同樣有更大的數(shù)量調(diào)整，不過由于趨勢的存在，這種調(diào)整在之后都會被證明是盈利的，對沖頭寸盈利更多，那么總的對沖成本相應(yīng)地就更小。 圖 7：震蕩市情形表 4：不同波動率對沖效果比

28、較0.20.30.4BS 價格4.616.588.55對沖頭寸損益8.336.645.48交易費0.280.210.17資金占用費0.920.880.87總成本9.537.736.52資料來源：資料來源： 圖 8：上漲趨勢市情形表 5：不同波動率對沖效果比較0.20.30.4BS 價格4.616.588.55對沖頭寸損益0.781.672.43交易費0.080.070.06資金占用費1.321.261.23總成本2.183.003.72資料來源：資料來源： 圖 9：下跌趨勢市情形表 6：不同波動率對沖效果比較0.20.30.4BS 價格4.616.588.55對沖頭寸損益4.575.606.6

29、1交易費0.070.060.06資金占用費0.300.350.39總成本4.956.017.06資料來源：資料來源：我們分別選取了上漲趨勢市、下跌趨勢市與震蕩市的三個例子做比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在趨勢市中選用較小波動率對沖成本更低，而在震蕩市中選擇較大的波動率對沖成本會更低。在趨勢市與震蕩市的比較當(dāng)中，震蕩市下的對沖成本要遠大于趨勢市下的對沖成本。造成這一差異的主要原因在于趨勢市下對沖頭寸多為盈利頭寸，而在震蕩市下對沖頭寸多為虧損頭寸。4、 基于經(jīng)驗的對沖方法固定時間間隔對沖固定時間間隔 delta 對沖是指以固定時間間隔進行對沖操作，通過買賣一定數(shù)量的標的資產(chǎn)進行對沖，使得交易后持有資產(chǎn)組合的總 d

30、elta 值近似于 0。這種對沖方法的優(yōu)點在于實施條件容易理解，只需要固定時間調(diào)整標的持有數(shù)量即可，但對沖時間間隔為多少需要認真研究，期權(quán)距離到期日較遠時可以選擇比較大的事件間隔，比如一周對沖一次，但隨著到期日臨近，Gamma 值不斷變大，可能需要增加對沖的頻率，比如每天對沖一次。提高對沖頻率可以降低風(fēng)險，但會增加交易成本，而降低對沖頻率可以降低成本， 但會增加風(fēng)險的暴露。標的價格出現(xiàn)一定變化時才進行對沖這種對沖方法的邏輯在于，如果標的不出現(xiàn)大的價格變動，那么我們在 delta 上的損益并不顯著。投資組合的風(fēng)險主要是由于標的價格變化引起的，由價格是否有大的變動決定是否對沖從邏輯上來講十分自然。

31、“一定變化的標準”有多個指標可以參考，例如漲跌幅，絕對價格變化，歷史分位點，一個標準差的變化。對沖到一個 delta 帶這是做市商和許多交易員最常用的對沖策略，使用該方法前，我們首先需要確定可以容忍的 delta 區(qū)間的大小，通常這個區(qū)間是通過無法對沖的風(fēng)險大?。ū热玳_盤時出現(xiàn)跳空）確定的。值得注意的是，對于 Gamma 正向暴露期權(quán)組合，我們傾向于選擇一個更寬的 delta 帶，因為 Gamma 正向暴露會對不利的價格變動起到一定的保護作用，反之，對于Gamma 負向暴露的期權(quán)組合，我們傾向于選擇一個更窄的 delta 帶。策略比較上述三種方法都是比較常用的對沖方案，經(jīng)過參數(shù)的優(yōu)化都可以取得

32、較好的對沖效果。現(xiàn)在我們希望對三種方案做一個同一個維度比較，所以我們設(shè)定了如下的比較方案：日頻對沖；標的價格出現(xiàn)超過 sigma（1 個日標準差）的變化才對沖；對沖到一個 delta 帶，BSM delta 值與原先出現(xiàn)超過 d_delta 的變化才對沖，其中 d_delta=(BSM_delta(S_0+sigma)- BSM_delta(S_0-sigma)/2。假設(shè)我們賣出一個到期日距現(xiàn)在 3 個月的平值看漲期權(quán)，標的波動率取 20，無風(fēng)險利率取 5，交易費率按萬分之六計算，我們通過蒙特卡洛方法模擬出 1000表 7：基于經(jīng)驗主義的三種對沖方法比較條路徑，分別用 3 種不同的方案做對沖。

33、日頻對沖標的變化一個標準差一個標準差的 delta 帶對沖損益3.923.923.93交易費0.150.110.15資金成本0.710.710.71虧損概率34.2035.2036.00總成本標準差1.041.131.01總成本4.784.744.78期權(quán)價格5.015.015.01數(shù)據(jù)來源：如表 1 所示，三種方法在同一維度上做比較下并無太大差異。如果想要取得好的對沖效果，仍需要不斷調(diào)整參數(shù)。5、 基于效用的對沖方法HN（Hodges-Neuberger）方法 指數(shù)效用函數(shù)是一個常用的效用函數(shù)：U(W) = eW其中 W 表示財富量，而是 Arrow-Pratt 風(fēng)險厭惡系數(shù)，表示風(fēng)險厭惡的

34、程度。我們假定交易員擁有指數(shù)效用函數(shù)，Hodges 和 Neuberger(1989)首先提出了一個基于效用最大化來考慮交易的方法。Hodges 和 Neuberger 觀點是：存在一個臨界值，使得交易員認為持有未完全對沖頭寸的風(fēng)險（從效用上）與完全對沖的成本是無差別的。Hodges 和 Neuberger 的方法是一個最優(yōu)解，具體的求解并不在本文范圍之內(nèi)，HN（Hodges-Neuberger）方法需要進行數(shù)值求解，而且其數(shù)值求解相當(dāng)耗時，并不實用Whalley-Wilmott 策略HN 方法復(fù)雜難以求解，交易員通常采用 Whally 和 Wilmott 的漸近解，這種方法計算起來比較簡單，

35、在實際操作中有非常廣泛的應(yīng)用。Whally 和 Wilmott（1997）假設(shè)交易成本很小，那么就可以得到 HN 方法的漸進解法，WW 方法下非交易區(qū)間的邊界如下：V delta = S (3er(Tt) S22)1/3 是 Arrow-Pratt 風(fēng)險厭惡系數(shù) 是交易成本比率 是期權(quán)的 Gamma 值交易成本越大，交易員就越不愿意做對沖交易，對沖帶越寬，Gamma 值越大，delta 會發(fā)生較快的變動，對沖帶也越寬。而風(fēng)險厭惡系數(shù)越大，交易員就越難以忍受持倉頭寸的凈值波動，更傾向于頻繁對沖，對沖帶就越窄。Zakamouline 策略Zakamouline 提出了一個對于 HN 方法的簡化方法，該方法能在計算相對簡便的情況下提供一個近似于 HN 方法的數(shù)值解。Zakamouline 先設(shè)計了一個公式的形式，然后通過數(shù)值分析的方法擬合得到了參數(shù)。Zakamouline 雙漸近解下的非交易區(qū)間為：1delta = V（） （HS H0 = 2 + H0）0.25|0.5H1 = 1.120.310.05 ( )（ ）0.780.25K = 5.760.02 ( )(2 |)0.15策略對比在上一節(jié)，我們對三個經(jīng)驗主義的對沖方案，固定時間對沖、根據(jù)標的變化做對沖和對沖到一個 delta 帶進行了比較，發(fā)現(xiàn)三個方案效果并無太大差異?；谛в玫膶_模型中，我們設(shè)計一個對沖