北師大版高中數(shù)學(xué)選修45不等式選講教案

1、課題：不等式的基本性質(zhì)目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系；列子 .湯問中膾炙人口的 “ 兩小兒辯日”：“ 遠者小而近者大”、“ 近者熱而遠者涼”,就從側(cè)面說明白現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題,如“ 自來 水管的直截面為什么做成圓的,而不做成方的呢 .” 、“ 電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“ 用一塊正方形 白鐵皮,在它的四個角各剪去一個小正方形,制成一個無蓋的盒子；要使制成的盒子的容積最大,應(yīng)當(dāng)剪去多大 的小正方形？” 等,都屬于不等關(guān)系的問題,需要借助不等式的相關(guān)學(xué)問才能得到解決；而且,不等式在數(shù)學(xué)研 究中也

2、起著相當(dāng)重要的作用；本專題將介紹一些重要的不等式（含有確定值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的 證明,數(shù)學(xué)歸納法和它的簡潔應(yīng)用等；人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的外形結(jié)構(gòu),事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系,這 說明現(xiàn)實世界中的量,不等是普遍的、確定的,而相等就是局部的、相對的；仍可從引言中實際問題動身,說明 本章學(xué)問的位置和作用；生活中為什么糖水加糖甜更甜呢.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a 克糖水中含有b 克糖 ab0,如再加 mm0 克糖,就糖水更甜了,為什么. ,只要證bmb 即可；怎么證呢 a. 分析：起初的糖水濃度為b ,加入 m 克糖 后的糖水濃度為 ab

3、mamam二、不等式的基本性質(zhì)：1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小次序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù),從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：abab0abab0abab0得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可；2、不等式的基本性質(zhì)：、假如 ab,那么 ba,假如 bb； 對稱性 、假如 ab,且 bc,那么 ac,即 ab,bc ac；、假如 ab,那么 a+cb+c,即 ab a+cb+c；a+cb+d推論：假如 ab,且 cd,那么 a+cb+d即 ab, cd 、假如 ab,且 c0,那么 acbc；假如 ab,且 c0,那么 acb 0,那么anbnbnN,

4、且 n1、假如 ab 0,那么anN,且 n1；nn三、典型例題 ：例 1、已知 ab,cb-d 例 2 已知 ab0,ca ,對一切實數(shù)x 都成立,求實數(shù)三、小結(jié) ：四、練習(xí) ：解不等式1、2 x11 .4. 2、413 x10. 6 .3、32xx4、x12x. 5、x22x416、x21x27、xx248、x1x39、xx1210、xx42 .五、作業(yè) ：鏈接：不等式的圖形借助圖形的直觀性來爭論不等式的問題,是學(xué)習(xí)不等式的一個重要方法,特殊是利用確定值和確定值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式,往往能使問題變得直觀明白,幫忙我們快速而精確地查找到問題的答案；關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問題時,

5、能否精確地把握不等式的圖形,從而有效地解決問題；我們再來通過幾個詳細問題體會不等式圖形的作用；1解不等式 x 1 x 2 x 1；題意即是在數(shù)軸上找出到 1 1 與 2 2 的距離之和不大于到點 3 1 的距離的全部流淌點 x ；第一在數(shù)軸上找到點 1 1,2 2,3 1（如圖）；3 x 1 1 2 x 2 x-1 0 1 2 3 從圖上判定,在 1與 2之間的一切點顯示都合乎要求；事實上,這種點到 1與 2的距離和正好是 1,而到3的距離是 2 x 1 1 x 1 x 2 ；現(xiàn)在讓流淌點 x 由點 1向左移動,這樣它到點 3的距離變,而到點 1與 2的距離增大,明顯,合乎要求的點只能是介于

6、3 1 與 1 1 之間的某一個點 x ；由 1 x 1 2 x 1 x 1 1 , 可得 1x 2 .3再讓流淌點 x 由點 2向右移動,雖然這種點到 1與 2的距離的和及到 3的距離和都在增加,但兩相比較,到1與2的距離的和增加的要快；所以,要使這種點合乎要求,也只能流淌到某一點4.x 而止；由x21 x22x21 ,可得x24 .從而不等式的解為2x32畫出不等式xy1 的圖形,并指出其解的范疇；先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情形；在第一象限內(nèi)不等式等價于：x0,y0,xy1. y1 的圖形是以原點O 為中心,四個等點分別其圖形是由第一象限中直線y1x下方的點所組成；同樣可畫出

7、二、三、四象限的情形；從而得到不等式x在坐標(biāo)軸上的正方形；不等式解的范疇一目了然；探究： 利用不等式的圖形解不等式1. x1x11 ; 2x2 y1.A 組 1解以下不等式：（1）23x1（2） 13x471130 .2（3）2 x4x1（4）x22x1x22解不等式：（1）2x1x1（2）x2x13解不等式：（ 1）x1x23（2）x2x4利用確定值的幾何意義,解決問題：要使不等式x4x31 ,畫面的上、下各留 8cm的空白,左、右各留 5cm的空白；怎樣確定畫面的高與寬尺才,能使宣揚畫所用紙張面積最小？2022 年全國文科高考題 解：設(shè)畫面的寬為x cm ,就畫面的高為4840cm,設(shè)紙張

8、面積為2S 30256760 x S=x10484016500016x3025500016xxxx當(dāng)且僅當(dāng) x3025 ,即 x= 55 cm ,此時高 x484088555551888答：畫面高為88cm,寬為 55cm時,能使所用紙張面積最??；評注：在應(yīng)用均值不等式解決這類實際問題時,應(yīng)留意：課設(shè)變量,一般把要求最大值和最小值的變量設(shè)為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題；在定義域內(nèi),求函數(shù)的最大值或最小值；正確寫出答案；題：不等式的證明方法之一：比較法目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可,即利用不等式的性質(zhì)

9、：abab0abab0abab0二、典型例題 ：例 1、設(shè)ab,求證：a23 b22 ba4b；xx22.例 2、如實數(shù)1x1,求證：31x2x證明：采納差值比較法：2 4 2 23 1 x x 1 x x 2 4 2 4 2 3= 3 3 x 3 x 1 x x 2 x 2 x 2 x4 3= 2 x x x 1 2 2= 2 x 1 x x 1 = 2 x 1 2 x 1 2 3 .2 42 1 2 3x ,1 從而 x 1 0 , 且 x 0 ,2 42 x 1 2 x 1 2 3 0 ,2 43 1 x 2x 4 1 x x 2 2 .爭論 ：如題設(shè)中去掉 x 1 這一限制條件,要求證

10、的結(jié)論如何變換？a b b a例 3、已知 a , b R , 求證 a b a b .此題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行；證明： 1 差值比較法：留意到要證的不等式關(guān)于ba,b對稱,不妨設(shè)ab0 .ab00,從而原不等式得證；aabbabbaabbbaabbab2）商值比較法：設(shè)ab,01.故原不等式得證；a,1ab0 ,aabbaababbab注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法；用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判定符號；例 4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點；甲有一半時間以速度 m 行走,另一半時間以速度 n 行走；乙有一半路程以速度

11、m 行走,另一半路程以速度 n 行走；假如 m n,問甲、乙兩人誰先到達指定地點；分析：設(shè)從動身地點至指定地點的路程是 S ,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為 t 1,t 2；要回答題目中的問題,只要比較 t 1,t 2 的大小就可以了；解：設(shè)從動身地點至指定地點的路程是 S ,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為 t 1,t 2,依據(jù)題意有t 1m t 1n S,S St 2,可得 t 1 2 S,t 2 S m n ,2 2 2 m 2 n m n 2 mn2 2從而 t 1 t 2 2 S S m n S 4 mn m n S m n ,m n 2 mn 2 m n mn 2 m

12、 n mn其中 S , m , n 都是正數(shù),且 m n；于是 t 1 t 2 0,即 t 1 t 2；從而知甲比乙第一到達指定地點；爭論 ：假如mn,甲、乙兩人誰先到達指定地點？b,恒有b20.例 5、設(shè)fx2x2,1pq0 ,pq1 .求證；對任意實數(shù)a,pfaqfb fpaqb.（1）（2）證明考慮（ 1）式兩邊的差；pfaqfb fpaqb.p2a21 q2 b21 2paqb212p1pa22q1q b24pqabpq1.pq,1 pq0 ,22pqa22pqb24pqab2pqa即（ 1）成立；三、小結(jié) ：四、練習(xí) ：五、作業(yè) ：1比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。海?）2 x 與

13、x2x1；（2）x2x1與 x1 2. 2已知ab1 .求證：（1）a2bc2 a;1（2）12a21 .a3如ac0,求證aabcabcabc3.4比較 a4-b4 與 4a3a-b的大小解：a4-b4 - 4a 3a-b=a-ba+ba2+b 2 -4a3a-b= a-ba3+ a 2b+ab2+b3-4a 3 = a-ba2b-a3+ab3-a3+b3-a3= - a-b23a3+2ab+b2 = - a-b23ab22b20當(dāng)且僅當(dāng)db 時取等號 4a33a4-b43a-b；5比較 a+3a-5 與a+2a-4的大小6已知 x 0,比較 x2+12 與 x 4+x2+1 的大小與a2a

14、1a2a1的大小7假如 x0 ,比較x12與x12的大小8已知 a 0,比較a22a1a22a19設(shè) x1,比較 x3 與 x 2-x+1 的大小說明：“ 變形” 是解題的關(guān)鍵,是最重一步；因式分解、配方、湊成如干個平方和等是“ 變形” 的常用方法；閱讀材料：琴生不等式例 5 中的不等式pfaqfbfpaqb有著重要的數(shù)學(xué)背景,它與高等數(shù)學(xué)中的一類凸函數(shù)有著密切的關(guān)系,也是琴生（Jensen）不等式的特例；琴生在 1905 年給出了一個定義：就稱設(shè)函數(shù)fx 的定義域為 a,b,假如對于 a,b內(nèi)任意兩數(shù)x 1,x2,都有x1, x2, 有fx 12x2fx 12fx2.（1）fx為a,b 上的

15、凸函數(shù)；如把（ 1）式的不等號反向,就稱這樣的fx為 a,b上的凹函數(shù)；凸函數(shù)的幾何意義是：過yf x曲線上任意兩點作弦,就弦的中點必在該曲線的上方或在曲線上；其推廣形式是：如函數(shù)fx 的是 a,b上的凸函數(shù),就對a,b內(nèi)的任意數(shù)x 1,x2,xn,都有fx 1x2nx nfx 1fx2fx n.（2）n當(dāng)且僅當(dāng)x 1x2xn時等號成立；一般稱（2）式為琴生不等式；更 為 一般 的 情形 是： 設(shè)fx是 定 義在 區(qū) 間 a,b 上 的函 數(shù) ,如 果 對于 a,b 上的 任 意兩 點pf x 1 qf x 2 f px 1 qx 2 ,其 中 p , q R , p q 1, 就 稱 f x

16、 是 區(qū) 間 a,b 上 的 凸 函 數(shù) ； 如 果 不 等 式 反 向 , 即 有pf x 1 qf x 2 f px 1 qx 2 , 就稱 f x 是a,b 上的凹函數(shù)；其 推 廣 形 式, 設(shè) q 1 , q 2 , , q n R , q 1 q 2 q n 1,f x 是 a,b 上 的 凸 函 數(shù) , 就 對 任 意x 1 , x 2 , , x n a , b , 有 f q 1 x 1 q 2 x 2 q n x n q 1 f x 1 q 2 f x 2 q n f x n ,當(dāng)且僅當(dāng) x 1 x 2 x n 時等號成立；如 f x 是凹函數(shù),就上述不等式反向；該不等式稱為

17、琴生（Jensen）不等式；把琴生不等式應(yīng)用于一些詳細的函數(shù),可以推出很多聞名不等式；課題：不等式的證明方法之二：綜合法與分析法目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法,也是不等式證明中的基本方法；由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性,這里將其放在一起加以熟悉、學(xué)習(xí),以便于對比爭論兩種思路方法的特點；所謂綜合法, 即從已知條件動身,依據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式,逐步推導(dǎo)出要證的不等式；而分析法,就是由結(jié)果開頭,倒過來查找緣由,直至緣由成為明顯的或者在已知中；前一種是“ 由因及果”,后一種是“ 執(zhí)果索因” ；打一個比方：張三在山里迷了路,救

18、援人員從駐地動身,逐步查找,直至找到他,這是“ 綜合法”；而張三自己找路,直至回到駐地,這是“ 分析法”；2 2以前得到的結(jié)論,可以作為證明的依據(jù)；特殊的,A B 2 AB 是常常要用到的一個重要不等式；二、典型例題 ：例 1、a,b都是正數(shù)；求證：2ab2 .ba證明：由重要不等式A2B2.2AB可得ab2abbaba本例的證明是綜合法；例 2、設(shè)a0 b0,求證a3ab3a2bab2.ab成立,證法一分析法2ab32bab成立 . 要證a3bb只需證aa2abb2證法二綜合法又因ab0,ab,b2ab只需證a2abb2ab成立,又需證a22 abb20成立,即需證ab20成立 . 而ab2

19、0明顯成立 . 由此命題得證；ab20a22abb20a2留意到a0 b0,即ab0,b由上式即得aba2abb2aba從而a3b3a2bab2成立；議一議： 依據(jù)上面的例證,你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？例 3、已知 a,b,m 都是正數(shù),并且a.b求證：ama.（1）bmb證法一要證（ 1）,只需證bam abm （2）（3）要證（ 2）,只需證bmam要證（ 3）,只需證ba（4）已知（ 4）成立,所以（1）成立；上面的證明用的是分析法；下面的證法二采納綜合法；證法二由于ba,m是正數(shù),所以bmamP 推出）,那么采納分析P兩邊同時加上 ab 得bam abm 兩邊同時除以正數(shù)bb

20、m 得（ 1）；讀一讀： 假如用PQ或QP表示命題 P 可以推出命題Q（命題 Q 可以由命題P,那么我們就說命題法的證法一就是（1）234 .而采納綜合法的證法二就是4 3 2 1 .假如命題 P 可以推出命題Q,命題 Q 也可以推出命題P,即同時有PQ,Q與命題 Q 等價,并記為PQ.在例 2 中,由于b ,m ,bm都是正數(shù),實際上1 23 4 .例 4、證明：通過水管放水,當(dāng)流速相同時,假如水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大；分析：當(dāng)水的流速相同時,水管的流量取決于水管橫截面面積的大??；設(shè)截面的周長為 L ,就周長為 L 的2 2圓 的半 徑為 L,

21、截 面積 為 L； 周長 為 L 的 正方 形為 L , 截 面積 為 L； 所以 此題 只需 證明2 2 4 42 2L L；2 42證明：設(shè)截面的周長為 L,就截面是圓的水管的截面面積為 L,截面是正方形的水管的截面面積為22 2 2L；只需證明：L L；4 2 42 2為了證明上式成立,只需證明 L2 L；4 16兩邊同乘以正數(shù) 42,得：1 1；L 4因此,只需證明 4；2 2上式明顯成立,所以 L L；2 4這就證明白： 通過水管放水, 當(dāng)流速相同時, 假如水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大；例 5、證明：a2b2c2abbcca；cbc（2）22

22、（5）0,證法一由于a2b22abb2c22bcc22 ab（3）c2a22ca（4）所以三式相加得2a2b2ca1ca2兩邊同時除以2 即得（ 1）；ca1a21bcb 證法二由于a2b2c2abbc222所以（ 1）成立；0dbd2.（1）例 6、證明：a2b2c2d2ac0（3）證明（ 1）a2b2c2d2acbd2（ 2）a2c2b2c2a2d2b2d2a222abcdb2b2c2a2d22abcd033 abc.（4）（5）bcad20c（ 5）明顯成立；因此（1）成立；例 7、已知a,b,c都是正數(shù),求證a3b3并指出等號在什么時候成立？分析：此題可以考慮利用因式分解公式a3b3c

23、33 abcabc a2b2c2abbcca著手；證明：a3b3c33 abcc 2cca 20,3,會得到=abca2b2c2abbcca=1abcab2bc2ca 2.2由于a,b,c都是正數(shù),所以abc0 .而ab2b可知a3b3c33 abc0a,b,來代替,并在兩邊同除以即a3b3c33 abc（等號在abc時成立）探究 ：假如將不等式a3b3c33 abc中的a3,b3,c3分別用怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： 1ab 1bc1ca27,其中a,b,c是互不相等的正數(shù),且abc1. 三、小結(jié) ：解不等式時,在不等式的兩邊分別作恒等變形,在不等式的兩邊同時加上（或減去）一

24、個數(shù)或代數(shù)式,移 項,在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式,得到的不等式都和原先的不等式等價；這 些方法,也是利用綜合法和分析法證明不等式經(jīng)常常用到的技巧；四、練習(xí) ：1、已知x0,求證：x12.x4y.2b2a3b38a3b3.x2、已知x0,y0,xy,求證11xy3、已知ab0 ,求證abab.ba4、已知a0 b0.求證：a（1）aba1b14.（2）5、已知a ,b ,c,d都是正數(shù)；求證：（1）acb2cdabcd;（2）abcd4 abcd.46、已知a ,b ,都是互不相等的正數(shù),求證abcabbcca9 abc五、作業(yè) ：課題：不等式的證明方法之三：反證法

25、目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：前面所講的幾種方法,屬于不等式的直接證法；也就是說,直接從題設(shè)動身,經(jīng)過一系列的規(guī)律推理,證明 不等式成立；但對于一些較復(fù)雜的不等式,有時很難直接入手求證,這時可考慮采納間接證明的方法；所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性,而是證明它的反論題為假,或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真,以間接地達到目的；其中,反證法是間接證明的一種基本方法；反證法在于說明：如確定命題的條件而否定其結(jié)論,就會導(dǎo)致沖突；詳細地說,反證法不直接證明命題“ 如p 就 q” ,而是先確定命題的條件p,并否定命題的結(jié)論q,然后通過合理的規(guī)律推理,而得到?jīng)_突,從而確定原來的結(jié)論

26、是正確的；利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；其次步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定動身,應(yīng)用證確的推理方法,推出沖突結(jié)果；第四步 確定產(chǎn)生沖突結(jié)果的緣由,在于開頭所作的假定不正確,于是原證不等式成立；二、典型例題 ：例 1、已知ab0,求證：nanb（nN且n1）fa3b32沖突,所以,原不例 1、設(shè)a3b32,求證ab.2證明：假設(shè)ab2,就有a2b,從而a3812 b6 b2b3,a3b36 b212 b86 b122 .由于6b1 222,所以a3b32,這與題設(shè)條件等式ab2成立； 3 中至少有一個不小于1. 例 2

27、、設(shè)二次函數(shù)fxx2pxq,求證：f 1,f2 ,2證明：假設(shè)f,1f2 ,f 3 都小于1 ,就 2（1）f 12f 2 f 3 2 .另一方面,由確定值不等式的性質(zhì),有f 1 2f22f3 pf1 2f2 f32（2）1pq 42q93pq（1）、（2）兩式的結(jié)果沖突,所以假設(shè)不成立,原先的結(jié)論正確；留意 ：諸如本例中的問題,當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中,至少有一個滿意某個不等式時,通常采納反證法進行；議一議 ：一般來說,利用反證法證明不等式的第三步所稱的沖突結(jié)果,通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、 定理或已知條件、 已證不等式, 以及與暫時假定沖突等各種情形；方法有什么特點？試依據(jù)上述兩例,

28、 爭論查找沖突的手段、例 3、設(shè) 0 a, b, c 1, 1 bc 1, 1 ca 1, 444就三式相乘： ab 1 ab.1 bc.1 ca 164又 0 a, b, c 0,ab + bc + ca 0,abc 0,求證： a, b, c 0 證：設(shè) a 0, bc 0, 就 b + c = a 0 ab + bc + ca = ab + c + bc 0 沖突,必有 a 0 同理可證： b 0, c 0 三、小結(jié) ：四、練習(xí) ：a m a1、利用反證法證明：如已知 a,b,m 都是正數(shù),并且 a b,就 .b m b2、設(shè) 0 a, b, c 0,且 x + y 2,就 1 y 和

29、1 x 中至少有一個小于 2；x y提示：反設(shè) 1 y2,1 x2 x, y 0,可得 x + y 2 與 x + y 2 沖突；x y五、作業(yè) ：課題：不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：所謂放縮法,即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?使之得出明顯的不等量關(guān)系后,再應(yīng)用不等 量大、小的傳遞性,從而使不等式得到證明的方法；這種方法是證明不等式中的常用方法,特殊在今后學(xué)習(xí)高等 數(shù)學(xué)時用處更為廣泛；下面我們通過一些簡潔例證體會這種方法的基本思想；二、典型例題 ：1例 1、如 n 是自然數(shù),求證11112.2 12232n2證明：1k11

30、 k111,k2 ,3 ,4 ,n .k2kk111111112 12232n211223n1 n=11111n11111223n=212 .n留意 ：實際上,我們在證明11112的過程中,已經(jīng)得到一個更強的結(jié)論2 12232n211121,這恰恰在肯定程度上表達了放縮法的基本思想；122232n2n例 2、求證：11112113121n3 .123證明：由121k1212211,（ k 是大于 2 的自然數(shù)）32k得11112113121n12311111111113113 .n 2122 23 2n 21n 22例 3、如 a, b, c, dR+,求證：1aadbbaccbddc2bcd

31、a證：記 m =aadbbaccbddcbcdaa, b, c, dR+ logmabacdabbcaccabnd2dbc1nn221damaababbccdddc2log1 11 m 2 時,求證：lognn1lognn2logn1 證： n 2 lognn1 0,lognn1 02nn1 lognn1lognn1 2lognn1 22n 2 時, lognn1 lognn1 1三、小結(jié) ：四、練習(xí) ：1、設(shè) n 為大于 1 的自然數(shù),求證n12n1213n11.1.1n2n22、設(shè) n 為自然數(shù),求證213 n52122nnnn .五、作業(yè) ：A 組1、對于任何實數(shù)x ,求證：（1）x2x

32、13；（2）1xx211.4aba2b2.442、設(shè)ab,求證：（1）a23b22bab；（2）a46 a2b2b43、證明不等式a4b4a3bab3. .4、如a,b ,c都是正數(shù),求證：abca3b3c3a2b2c225、如abc0 ,求證a2ab2bc2cabcbaccab. 6、假如a,b同號,且均不為0. 求證：ab2,并指出等號成立的條件ba7、設(shè)a,b ,c是互不相等的正數(shù),求證：bcacababc3.abc8、已知三個正數(shù)a,b,c的和是 1,求證這三個正數(shù)的倒數(shù)的和必不小于9. 9、如02,就1sincos2. 10、設(shè)x,yR,且xy,1求證：11119 .xy11、已知x

33、0,求證：（1）x2x111；（2）x232. 2x2212、設(shè)a,b是互不相等的正數(shù),求證：b2a2ba11.89a2b2. ababab13、已知a,b都是正數(shù),求證：ab2ab2a2b （1） 1ab 1a2b29ab;（2）a2b14、已知a2b2c2,1x2y2z2,1求證：axbycz1.bcca15、已知a2b2,1x2y2,1求證：axby.116、已知a,b,c,d都是正數(shù),且有xa2b2,yc2d2求證：xyacbdadbc an1,2ab17、已知a 1,a2,a 3,a n都是正數(shù),且a1a2a3求證：1a 1 1a2 1a31an2na2b2c218、設(shè)ABC 的三條

34、邊為a ,b ,c,求證abbcca19、已知a,b,x ,y都是正數(shù),設(shè)ab,1uaxby ,vbxay.求證：uvxy .20、設(shè) n 是自然數(shù),利用放縮法證明不等式n111112 .n2n33 n21、如 n 是大于 1 的自然數(shù),試證1n1111111.22232n2nB 組22、已知a,b,c ,x,y ,z都是正數(shù),且xyz,求證：xxyzz c.abcaabc23、設(shè)ab0,試用反證法證明asinxb b不能介于ab b與ab之間；asinxaab24、如 n 是自然數(shù),求證11117.122232n24鏈接：放縮法與貝努利不等式里在用放縮法證明不等式時,有時需要 “ 舍掉幾個正

35、項”以便達到目的； 就是說, 假如在和式acbcded和e都是正數(shù),可以舍掉d和e,從而得到一個明顯成立的不等式abcdeab. 例如,對于任何x0和任何正整數(shù)n ,由牛頓二項式定理可得1xn1nxn n1 x2nn1 n2 x2xn.12123舍掉等式右邊第三項及其以后的各項,可以得到不等式： 1xn1nx. 在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中,我們將會用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性；該不等式不僅當(dāng) n 是正整數(shù)的時候成立,而且當(dāng) n 是任何大于 1 的有理數(shù)的時候也成立；這就是聞名的 貝努利不等式 ；在今后的學(xué)習(xí)中,可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設(shè) x 1,就在 1或 0時, 1 x 1 x

36、,在 0 1 時, 1 x 1 x .閱讀材料：貝努利家族小史在數(shù)學(xué)進展史上,17-18 世紀(jì)顯現(xiàn)了一個聞名的數(shù)學(xué)世家貝努利（Bernoulli ）家族（瑞士）,這個家族中的三代人中共顯現(xiàn)了 8 位數(shù)學(xué)家, 它們幾乎對當(dāng)時數(shù)學(xué)的各個分支都做出了杰出的奉獻；其中, 又以第一代的雅各布.貝努利（ Jacob Bernoulli ,1654.12-1705.8 ）、約翰 .貝努利（ Johann Bernoulli ,1667.8-1748.1 ）兄弟和其次代的丹尼爾 .貝努利（ Danial Bernoulli ,1700.2-1782.3,約翰 .貝努利的兒子）最為聞名；在數(shù)學(xué)的多個分支中,以“

37、 貝努利” 命名的定義、定理、公式數(shù)不勝數(shù)；除了我們前面提到的“ 貝努利不等式” 之外,將來會有機會學(xué)習(xí)到微積分中的“ 貝努利方程”、“ 貝努利級數(shù)判別法”,解析幾何中的“ 貝努利雙紐線” ,概率論中的“ 貝努利定理”（即“ 大數(shù)定律” 的早期形式）、“ 貝努利數(shù)”、“ 貝努利多項式” 等等；特殊是,丹尼爾 .貝努利制造性地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到物理學(xué)的爭論中,取得了卓著的成就,被推崇為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人；貝努利家族之所以取得如此大的數(shù)學(xué)成就,至少有以下幾個方面的主要緣由：（ 1）對數(shù)學(xué)的真摯喜愛；考察貝努利家族的8 位數(shù)學(xué)家,可以發(fā)覺一個共同的特點：都是從父輩不同意他們爭論數(shù)學(xué),而要求他們經(jīng)商、

38、從醫(yī)或做律師開頭,到最終走上從事數(shù)學(xué)的生涯；這一過程中,個人對數(shù)學(xué)的極 大熱忱和愛好起到了打算性的作用；當(dāng)然,家族的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和學(xué)習(xí)精神的影響也是不容忽視的重要因素；（ 2）廣泛的學(xué)術(shù)溝通；貝努利家族的成員們,都留意與當(dāng)時的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家進行廣泛的學(xué)術(shù)溝通和爭論,以此相互促進和提高；如雅各布 .貝努利、 約翰.貝努利與他們那個時代的大數(shù)學(xué)家、微積分的創(chuàng)始人萊布尼茨之 間,丹尼爾 .貝努利與當(dāng)時歐洲數(shù)學(xué)界的中心人物歐拉的頻繁通信溝通成為數(shù)學(xué)史上的美談；（ 3）繼承基礎(chǔ)上的大膽創(chuàng)新；在繼承已有數(shù)學(xué)爭論成果的基礎(chǔ)上大膽開拓、創(chuàng)新,是貝努利家族成員從事爭論的又一個共同特點；貝努利家族的主要成員正處于數(shù)學(xué)

39、思想方法的兩次大轉(zhuǎn)變時期：一是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折；二是從確定性數(shù)學(xué)到可能性數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折；他們不僅善于接納新思想、新方法,更是進行了大膽地改 進、突破,取得了很多開創(chuàng)性的成就；親愛的同學(xué)們,你能從貝努利家族的勝利中得到哪些啟示呢？課題：幾個聞名的不等式之一：柯西不等式目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：除了前面已經(jīng)介紹的貝努利不等式外,本節(jié)仍將爭論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等聞名不等式；這些不等式不僅形式美麗、應(yīng)用廣泛,而且也是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具；1、什么是柯西不等式：定理 1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,b,c ,d均為實數(shù),就a2b2c2d2acbd2,其中

40、等號當(dāng)且僅當(dāng)adbc時成立；證明：幾何意義：設(shè),為平面上以原點O 為起點的兩個非零向量,它們的終點分別為A（a,b）, B（c,d）,那么它們的數(shù)量積為.acbd,|.|,而|a2b2,|2 cd2所以柯西不等式的幾何意義就是：|其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立；2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）設(shè),為平面上的兩個向量,就|.|,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立；3、定理 3：（三角形不等式）設(shè)x 1,y 1,x 2,y 2,x3,y3為任意實數(shù),就：y 1y32x 1x22y 1y222x 1x 32x2x 32y 2y3分析：

41、摸索：三角形不等式中等號成立的條件是什么？就：4、定理 4：（柯西不等式的推廣形式）：設(shè) n 為大于 1 的自然數(shù),a , ib i（ i1,2, , n ）為任意實數(shù),inai2inb i2inaibi2,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)b 1b2b n時成立（當(dāng)ia0時,商定ib0,i1,111a1a2an2, , n ）；證明：構(gòu)造二次函數(shù)：fxa 1xb 12a2xb22anxbn2, i1,2, , n ）；即構(gòu)造了一個二次函數(shù)：fx nai2x22 naibixnbi20i1i1i1由于對任意實數(shù)x ,fx0恒成立,就其0 ,即：4naib i24nai2nb i20,i1i1i1即：na ib

42、i2nai2nb i2,ibi1i1i1等號當(dāng)且僅當(dāng)a 1xb 1a2xb2anxbn0,即等號當(dāng)且僅當(dāng)b 1b 2bn時成立（當(dāng)ia0時,商定a 1a2an假如ia （1in）全為 0,結(jié)論明顯成立；柯西不等式有兩個很好的變式：變式 1 設(shè)aiR ,bi0 i,12 ,n,inai2inai2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)b 1b2bn；1bibib iai1inaiai2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)變式 2 設(shè) ai,bi 同號且不為0（i=1 ,2, ,n）,就：1b ia ib i二、典型例題 ：例 1、已知,a2,b21,x2y2a21,求證：|ax2by|1；c2bd2；例 2、設(shè)ab2cb,cdR,求

43、證：2da例 3、設(shè),為平面上的向量,就|；例 4、已知a,b,c均為正數(shù),且abc1,求證：1119；abc方法 1：方法 2：（應(yīng)用柯西不等式）例 5：已知a ,a , ,a 為實數(shù),求證：ina i21inai2；1n1分析：推論：在 n 個實數(shù)a , 2 a , ,a 的和為定值為S 時,它們的平方和不小于1 S n2,當(dāng)且僅當(dāng)a 1a2an時,平方和取最小值1 S n2；三、小結(jié) ：四、練習(xí) ：1、設(shè) x1,x2, ,xn 0, 就inx ix inx ii111n1n1xixi1求證 : in1x i2ijxixj2、設(shè)xiR（i=1,2, , n）且i11n3、設(shè) a 為實常數(shù)

44、,試求函數(shù)fx sinx acosxxR的最大值4、求函數(shù)fxasinxbcosx在0,2上的最大值 ,其中 a,b 為正常數(shù)五、作業(yè) ：1、已知：a2b21,m2n22, 證明：2ambn2；提示：此題可用三角換元、柯西不等式等方法來證明；2、如x,y,zR,且xyz=a ,x2y2z2=1 a 22a0 ,求證：x,y ,z都是不大于2a的非負(fù)3實數(shù)；證明：由zaxy代入x2y2z2=1 a 228y2ay21 2a20可得2x22ayxay21a202xR 0 即4ay2化簡可得：3y22 ay00a00y2 3ax2a,2 3a同理可得：0z3由此可見,在平常的解題中,一些證明定理、公

45、理、不等式的方法都可以為我們所用；只要能敏捷運用,就 能收到事半功倍的成效；3、設(shè) a b 為不相等的正數(shù),試證：aba3b3a2b22；4、設(shè) x,y,z 為正實數(shù),且x+y+z=10 ,求419 z的最小值；x,y,z,求 x2+y2+z2 的最xy5、設(shè) x,y,z R,求2 xy2zz2的最大值；x22 yP,P 到三邊的距離分別為6、 ABC 之三邊長為4,5,6,P 為三角形內(nèi)部一點小值；課解： s=45615ABC 面積 =s sasbsc 157531572222224C且 ABC=PAB+PBC+ PAC 15714x5y6z4x+5y+6z=1574226FzPyE由柯西不

46、等式4x+5y+6z2x2+y2+z242+52+62 51527x2+y2+z2 77x2+y2+z2225AxD4B4447、設(shè)三個正實數(shù)a,b,c 滿意a2b2c222 a4b4c4,求證：a,b,c 肯定是某三角形的三邊長；1；8、求證n n3 個正實數(shù) a1,a2, ,an 滿意a 12a 22a n22 n1 a 14a24a n49、已知x ,y,zR,且2xx1求證 : 2x2x2y2y2z2z10、設(shè)x,y,zR,求證 : y2x2yzz2y2zxx2z2xy1；2 zx2y211、設(shè)x,y,zR,且 x+2y+3z =36,求123的最小值xyz題：利用柯西不等式求最大（小

47、）值目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入 ：1、柯西不等式：inai2inbi2inaib i2；111二、典型例題 ：例 1、把一條長是 m 的繩子截成三段,各圍成一個正方形；怎樣截法才能使這三個正方形的面積和最?。坷?2、如圖,等腰直角三角形 AOB 的直角邊為 1,在這個三角形內(nèi)任意取一點 P,過 P 分別引三邊的平行線,與各邊圍成以 P 點為頂點的三個三角形（圖中陰影部分）,求這三個三角形面積和的最小值,以及取到最小值時點 P 的位置；B分析：三、小結(jié) ：DPECGA四、練習(xí) ：FOJ五、作業(yè) ：課題：幾個聞名的不等式之二：排序不等式目的要求 ：重點難點 ：教學(xué)過程 ：一、引入

48、 ：1、問題 ：如某網(wǎng)吧的 3 臺電腦同時顯現(xiàn)了故障,對其修理分別需要 45min,25 min 和 30 min,每臺電腦耽誤 1 min,網(wǎng)吧就會缺失 0.05 元；在只能逐臺修理的條件下,按怎么樣的次序修理,才能使經(jīng)濟缺失降到最??？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地,設(shè)有兩組數(shù)：a a a ,b b b ,我們考察這兩組數(shù)兩兩對應(yīng)之積的和,利用排列組合的學(xué)問,我們知道共有 6 個不同的和數(shù),它們是：對 應(yīng) 關(guān) 系 和 備 注（a ,a ,a ）同序和S 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）亂序和S 2 a 1 b 1 a 2

49、b 3 a 3 b 2（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）亂序和S 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a 3 b 3（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）亂序和S 4 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1（b ,b ,b ）（a ,a ,a ）亂序和S 5 a 1 b 3 a 2 b 1 a 3 b 2（b ,1b ,b ）（a ,a ,a ）反序和S 6 a 1 b 3 a 2 b 2 a 3 b 1（b ,b ,b ）依據(jù)上面的猜想,在這 6 個不同的和數(shù)中,應(yīng)有結(jié)論：同序和 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 最大,反序和 a 1 b 3 a 2 b 2 a 3 b 1 最??；2、對引例的驗證：對 應(yīng) 關(guān) 系S 1a1 b 1和a3b 3220備注（1,2, 3）a2b2同序和（25, 30,45）（1,2, 3）S2a 1b 1a2b 3a3b 2205亂序和（25, 45,30）（1,2, 3）S 3a 1b 2a2b 1a3b 3215亂序和（30, 25,45）（1,2, 3）S 4a 1b 2a2b 3a 3b 1195亂序和（30, 45