4.2.1 指數(shù)函數(shù)的概念 高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)優(yōu)質(zhì)課

1、 第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2 指數(shù)函數(shù)4.2.1 指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題提煉出指數(shù)函數(shù)的概念，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次 2.理解指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的取值范圍，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的要求二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用2.教學(xué)難點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型三、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入問(wèn)題1：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡 年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?師問(wèn)：（1）生物死亡后體內(nèi)碳1

2、4含量每年衰減的比例是多少？（2）能否求出生物體內(nèi)碳14含量隨死亡年數(shù)變化的函數(shù)解析式？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，并讓學(xué)生對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行思考通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)y 1 15730 2 xx0,刻畫碳14衰減的規(guī)律設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)描述碳14衰減的規(guī)律，引出用函數(shù)刻畫指數(shù)衰減的問(wèn)題，為抽象得到指數(shù)函數(shù)作準(zhǔn) 備問(wèn)題2：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式， 由于旅游人數(shù)不斷增加， A，B 兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施， A 地提高了景區(qū)門票 價(jià)格，而 B 地則取消了景區(qū)門票，表4.2-1（見(jiàn)教材）給出了 A，B 兩地景區(qū)2001年至2

3、015年的游客人次以及逐年增加量.11 1 比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律?師問(wèn)：（1）能否作出 A，B 兩地景區(qū)游客人次變化的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合年增加量，說(shuō)明兩地景 區(qū)游客人次的變化情況？（2）我們發(fā)現(xiàn)，用“增加量”不能刻畫B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律.能不能換一個(gè)量來(lái)刻畫？例如用“增長(zhǎng)率”，即從2002年起，將 看能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看（3）能否求出兩地景區(qū)游客人次隨時(shí)間（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式說(shuō)明 兩地景區(qū)游客人次的變化情況？師生活動(dòng)：教師給出問(wèn)題，并通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析.首先通過(guò)畫出圖象直觀

4、感受A,B兩地景區(qū)游客增長(zhǎng)的情況；為進(jìn)一步刻畫和比較兩地游客人次的變化規(guī)律，需要通過(guò)對(duì)相鄰兩 年游客人次進(jìn)行運(yùn)算，得到 B 地景區(qū)游客人次年增長(zhǎng)率為常數(shù)，進(jìn)而將其用函數(shù)y 1.11xx0,來(lái)描述.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)尋求A，B兩地景區(qū)游客人次增加的規(guī)律，引出用函數(shù)刻畫指數(shù)增長(zhǎng)的問(wèn)題，為抽象出指數(shù)函數(shù)作準(zhǔn)備.學(xué)生討論思考，總結(jié)關(guān)系式y(tǒng) 1.11x （x 0,+），y（ ）5730）x （x 0,+）.2問(wèn)題3：比較問(wèn)題1,2中的兩個(gè)實(shí)例：碳14衰減與 什么共同特征？B地景區(qū)游客人次增長(zhǎng)，它們所反映的變化規(guī)律有師問(wèn)：（1）從碳14衰減和游客人次增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)看，它們的變化有什么共同特征？ （2）從碳14衰減

5、和游客人次增長(zhǎng)的圖象看，它們的變化有什么共同特征？ 1 15730（3）碳14衰減的函數(shù)解析式 y 2 xx0,與B地景區(qū)游客人次增長(zhǎng)的函數(shù)解析式y(tǒng) 1.11x x0,有什么共同特征？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)、圖象、解析式等角度進(jìn)行歸納概括，發(fā)現(xiàn)刻畫問(wèn)題1中的指數(shù)衰減和問(wèn)題2中的指數(shù)增長(zhǎng)的函數(shù)的共同特征.從解析式上看，如果用字母a代替兩個(gè)式子中的底數(shù)，并將自變量的取值范圍擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集，那么上述兩個(gè)函數(shù)就都可以表示為 y a x a0且a 1的形式，從而引出指數(shù)函數(shù)的概念.（二）探索新知21 1 x 指數(shù)函數(shù)的概念：師問(wèn):y 1.11x （x 0,+），y（ ）5730）x （x 0,+）.

6、2這類函數(shù)的解析式有何共同特征?學(xué)生回答：函數(shù)解析式都是指數(shù)形式，底數(shù)為定值，且自變量在指數(shù)位置思考：若用a代替兩個(gè)式子中的底數(shù)，并將自變量的取值范圍擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集則得到什么? 學(xué)生討論總結(jié)教師講解：指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y axa0且a 1叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù) x 是自變量，定義域?yàn)镽設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析、比較兩個(gè)實(shí)例，概括它們的共同本質(zhì)特征，從而得到指數(shù)函數(shù)概念的本質(zhì)屬 性，得出指數(shù)函數(shù)的概念思考：指數(shù)函數(shù)的定義域是什么?其定義中指明了底數(shù)a 0且a 1，為什么會(huì)有這樣的限制條件?根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來(lái)判斷說(shuō)明：因?yàn)閍 0，x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)， a x 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域

7、為實(shí)數(shù)集 R 教師提問(wèn)1：當(dāng) a 0 時(shí)，指數(shù)函數(shù)還有沒(méi)有意義?教師提問(wèn)2：當(dāng)a 0時(shí)，有哪些自變量取值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不存在?教師提問(wèn)3：當(dāng)a 1時(shí)，指數(shù)函數(shù)還有沒(méi)有研究?jī)r(jià)值?學(xué)生舉例說(shuō)明教師總結(jié) ：若a 0,當(dāng)x 0 時(shí)， a = 0，當(dāng)x 0時(shí)， ax無(wú)意 義.若a 0，如y 2x，當(dāng)x 1 1, x 6 8等時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在若a 1，y 1x 1，是一個(gè)常量，沒(méi)有研究的意義故只有滿足y axa0且a 1的形式才能稱為指數(shù)函數(shù)， a 為常數(shù)如：1y 2 3 x , y 2 x , y x x , y 3 x 1都不符合y a x a0且a 1的形式，所以都不是指數(shù)函數(shù)判斷：（1

8、）y x2是指數(shù)函數(shù)（ ）3（ 4） y （2）y 2x 1是指數(shù)函數(shù)（ ）（3）指數(shù)函數(shù)的圖象一定在軸的上方（ ）舉一反三：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)x函數(shù)（1）y 2x 2（2）y 2x（3）y 2x x（三）典例解析例1 已知指數(shù)函數(shù)f xaxa0且a1,且f3,求f 0，f1，f3的值.分析:要求f 0，f1，f3的值，首先求出f xax的解析式，再把0，1，-3分別代入，即可求得設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式求不同的函數(shù)值，從指數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律 的角度理解指數(shù)函數(shù)的概念跟蹤訓(xùn)練：已知函數(shù)f x為指數(shù)函數(shù)，且f 24，則fx_【答案】2 x設(shè)f xaxa0且a1，則f2

9、a24， a 2 ( a 2舍去)，f x2x規(guī)律方法1在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住三點(diǎn)： (1)底數(shù)是大于 0 且不等于 1 的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為 12求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法例2 （1）在問(wèn)題1中，生物死亡10 000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾?（2）在問(wèn)題 2中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái) 1000元門票之外的收入， A地景區(qū) 的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收人變化情況分析：可將A，B兩地這15年間的旅游收人變化情況在圖形上表示出來(lái)，根據(jù)圖象進(jìn)行比較，然后把 相關(guān)數(shù)據(jù)代人

10、指數(shù)函數(shù)解析式中進(jìn)行計(jì)算即可，注意要使用計(jì)算器輔助解題教師通過(guò)對(duì)教材中兩個(gè)問(wèn)題的詳細(xì)解答，指出像這樣呈指數(shù)衰減或指數(shù)增長(zhǎng)的情況在實(shí)際生活中是十分常見(jiàn)的，例如，在自然條件下，細(xì)胞的分裂、人口的增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等問(wèn)題都需要我 們掌握這種指數(shù)函數(shù)模型的建構(gòu)方法設(shè)計(jì)意圖：在引入概念的兩個(gè)實(shí)例基礎(chǔ)上，利用指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)一步解決與兩個(gè)實(shí)例有關(guān)的問(wèn)題，4 從而鞏固對(duì)概念的理解 （四）當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是( )Ay 2x 1By x3Cy 3 2xD y 1x【答案】D 由指數(shù)函數(shù)的定義可知 D 正確2下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（ ）A B C D 【答案】C 由指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度及定義，可知 C 正確3已知函數(shù)y a 2 3a 3 ax是指數(shù)函數(shù)，求a的值設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知