正整數(shù)乘法問題解題策略之研究

1、科學(xué)教育研究與發(fā)展第二十二期正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國小二年級(jí)學(xué)童為例PAGE 76PAGE 77正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國小二年級(jí)學(xué)童為例PAGE 1正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國小二年級(jí)學(xué)童為例 許許美華11 劉曼曼麗21臺(tái)南市市安慶國國民小學(xué)學(xué)2屏東師師範(fàn)學(xué)院院數(shù)理教教育研究究所（投稿日日期：990年1月6日日；修正正日期：90年11月199日；接接受日期期：900年2月6日日）摘要本研究目目的在探探討國小小二年級(jí)級(jí)學(xué)童正正整數(shù)乘乘法問題題的解題題策略。研究對(duì)對(duì)象來自自南部某某國小的的5班學(xué)學(xué)童共1182人。評(píng)評(píng)量工具具為自編編的筆試試試卷。資料蒐蒐集是以以乘法教教學(xué)前後後

2、各兩次次筆試為為主。資資料分析析則以文文件分析析法為主主。研究結(jié)果果發(fā)現(xiàn)：國小二二年級(jí)學(xué)學(xué)童常用用的乘法法解題策策略有110種、並非所所有學(xué)童童都能在在乘法教教學(xué)後改改用乘法法、不同同類型的的乘法問問題（等等組型、直積型型與比較較型問題題）與不不同位數(shù)數(shù)的數(shù)字字（一位位數(shù)一位數(shù)數(shù)、一位位數(shù)二位數(shù)數(shù)與二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)）對(duì)學(xué)學(xué)童的解解題都會(huì)會(huì)造成影影響。關(guān)鍵詞：正整數(shù)數(shù)乘法問問題、解解題策略略、國小小二年級(jí)級(jí)學(xué)童HYPERLINK .科研研季刊目目錄目錄222.hhtm回222期目錄錄 壹、研研究動(dòng)機(jī)機(jī)與目的的筆者從乘乘法相關(guān)關(guān)的研究究（李俊俊仁，119922；林碧碧珍，119911；林慧慧麗，1

3、19911；Annghiilerri, 19889; Kouuba, 19989; Muulliigann, 119922; MMullligaan & Miitchhelmmoree, 119977）與自自身的教教學(xué)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)童童正整數(shù)數(shù)乘法問問題的解解題策略略雖然很很多，但但是使用用情形會(huì)會(huì)因個(gè)別別差異而而有不同同，例如如，有些些學(xué)童會(huì)會(huì)使用一一些較節(jié)節(jié)省運(yùn)算算步驟的的過渡型型解法來來解決數(shù)數(shù)字超過過10的的乘法問問題，但但同時(shí)也也有學(xué)童童是以連連加法來來解決此此類問題題，更有有學(xué)童直直到乘法法啟蒙教教學(xué)後仍仍無法使使用乘法法來解題題。此外外，國內(nèi)內(nèi)的研究究大多以以國小中中、高年年

4、級(jí)學(xué)童童的乘、除法概概念為研研究重點(diǎn)點(diǎn)，較缺缺乏對(duì)低低年級(jí)剛剛接觸乘乘法的學(xué)學(xué)童進(jìn)行行乘法解解題方面面的報(bào)告告，因此此本研究究以國小小二年級(jí)級(jí)學(xué)童為為對(duì)象、以正整整數(shù)乘法法問題為為範(fàn)圍，來探討討國小二二年級(jí)學(xué)學(xué)童在乘乘法啟蒙蒙教學(xué)前前、後所所使用的的解題策策略。同同時(shí)，由由於乘法法問題的的設(shè)計(jì)牽牽涉到問問題的類類型與數(shù)數(shù)字的大大小，所所以本研研究也會(huì)會(huì)連帶探探討這些些因素對(duì)對(duì)學(xué)童解解題的影影響，期期盼本研研究能讓讓國小數(shù)數(shù)學(xué)教師師更加了了解學(xué)童童的乘法法解題策策略，進(jìn)進(jìn)而對(duì)乘乘法教學(xué)學(xué)有所助助益。貳、文獻(xiàn)獻(xiàn)探討一、乘法法問題解解題策略略的分類類與發(fā)展展順序Anghhileeri(19889)按

5、按照計(jì)數(shù)數(shù)程序的的複雜程程度，將將1522位學(xué)童童的乘法法解題策策略分成成四種：單一式式計(jì)數(shù)（uniitarry ccounntinng）、節(jié)奏式式數(shù)數(shù)（rhyythmmic couuntiing in grooupss）、數(shù)數(shù)字模式式（usse oof nnumbber pattterrn）和和乘法事事實(shí)的使使用（uuse of mulltippliccatiion faccts），並在在研究結(jié)結(jié)果中發(fā)發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童是從從單一式式計(jì)數(shù)、節(jié)奏式式數(shù)數(shù)，發(fā)展到到乘法事事實(shí)的使使用。Koubba(119899) 從從研究中中發(fā)現(xiàn)，1288位學(xué)童童的乘法法文字題題解題策策略依據(jù)據(jù)抽象程程度可分分成：直

6、直接表徵徵法（ddireect reppressenttatiion）、過渡渡型數(shù)數(shù)數(shù)法（ttrannsittionnal couuntiing）、加法法（adddittivee）和背背誦乘法法事實(shí)（reccallled nummberr faact），並從從統(tǒng)計(jì)結(jié)結(jié)果中發(fā)發(fā)現(xiàn)，越越低年級(jí)級(jí)的學(xué)童童使用的的策略就就越具體體，因而而策略的的發(fā)展順順序是從從直接表表徵法、過渡型型數(shù)數(shù)法法、加法法，發(fā)展展到背誦誦乘法事事實(shí)。Mullligaan(119922) 從從70位位學(xué)童長長達(dá)二年年的訪談?wù)勚邪l(fā)現(xiàn)現(xiàn)，乘法法解題策策略的表表現(xiàn)層次次有三：直接表表徵後點(diǎn)點(diǎn)數(shù)、無無直接表表徵之計(jì)計(jì)數(shù)或相相加、使使用

7、已知知或?qū)С龀龅募臃ǚɑ虺朔ǚㄊ聦?shí)。此外，Mullliggan進(jìn)進(jìn)一步將將學(xué)童所所使用的的解題策策略細(xì)分分成九種種：全數(shù)數(shù)（coounttingg alll）、雙倍數(shù)數(shù)（dooublle ccounntinng）、跳數(shù)（skiip ccounntinng）、連加法法（reepeaatedd adddittionn）、重重複相加加（adddittivee dooubllingg）、折折半相加加（adddittivee haalviing）、已知知的加法法事實(shí)（knoown addditiion facct）、已知的的乘法事事實(shí)（kknowwn mmulttipllicaatioon ffactt

8、）和導(dǎo)導(dǎo)出的乘乘法事實(shí)實(shí)（deerivved mulltippliccatiion facct）。Mullligaan 和和Mittcheelmoore(19997)按按照計(jì)算算策略（也稱為為抽象程程度）將將其他研研究者所所提出的的乘法解解題策略略分成五五種，並並形成發(fā)發(fā)展的順順序?yàn)橹敝苯佑?jì)數(shù)數(shù)、節(jié)奏奏式計(jì)數(shù)數(shù)、跳數(shù)數(shù)、加法法式計(jì)數(shù)數(shù)和乘法法式計(jì)數(shù)數(shù)。從研研究結(jié)果果（700位學(xué)童童的表現(xiàn)現(xiàn)）中發(fā)發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童的解解題策略略有七：單一式式計(jì)數(shù)（uniitarry ccounntinng）、向前節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（rrhytthmiic ccounntinng forrwarrd）、向前跳跳數(shù)（sski

9、pp coounttingg foorwaard）、連加加（reepeaatedd adddittionn）、重重複相加加（adddittivee dooubllingg）、已已知的乘乘法事實(shí)實(shí)（knnownn muultiipliicattionn faact）與導(dǎo)出出的乘法法事實(shí)（derriveed mmulttipllicaatioon ffactt）。林慧麗（19991）依依抽象程程度將1120位位幼兒的的乘法解解題策略略分成六六種：直直接表徵徵法、加加法、跳跳數(shù)法、回憶法法、數(shù)數(shù)數(shù)法和未未知法，並從不不同年紀(jì)紀(jì)學(xué)童的的表現(xiàn)中中發(fā)現(xiàn)，解題策策略的發(fā)發(fā)展順序序?yàn)橹苯咏颖磲绶ǚ?、?shù)數(shù)數(shù)法、

10、跳跳數(shù)法、加法和和回憶法法（未知知法因?qū)W學(xué)童不能能清楚說說明解答答產(chǎn)生的的歷程，因而無無法決定定其發(fā)展展順序）。由上面的的說明中中可以發(fā)發(fā)現(xiàn)，不不同的研研究者所所提出的的乘法解解題策略略在名稱稱上有混混用的情情形，經(jīng)經(jīng)過筆者者分析、歸納後後發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)被被提出說說明的乘乘法解題題策略有有以下111種（見表22-1）：表2-11 乘乘法解題題策略之之分類提出者解題策略略Anghhileeri(19889)Koubba(19889)Mullligaan(19992)Mullligaan & Mittcheelmoore(19997)林慧麗（民800）直接表徵徵法單一式計(jì)計(jì)數(shù)（全數(shù)數(shù)）雙倍數(shù)（向前前節(jié)

11、奏式式數(shù)數(shù)）跳數(shù)（節(jié)奏奏式點(diǎn)數(shù)）（向前前跳數(shù)）過渡型數(shù)數(shù)數(shù)法（數(shù)字字模式）（數(shù)數(shù)數(shù)法）連加法（加法法）（加法法）重複相加加折半相加加已知的加加法事實(shí)實(shí)已知的乘乘法事實(shí)實(shí)（使用用乘法事事實(shí)）（背誦誦乘法事事實(shí)）（回憶憶法）導(dǎo)出的乘乘法事實(shí)實(shí)此外，雖雖然本研研究並非非以學(xué)童童乘法解解題策略略的發(fā)展展為研究究重點(diǎn)，但是學(xué)學(xué)童乘法法解題策策略的改改變，將將不可避避免的成成為資料料分析的的重點(diǎn)之之一。因因此，學(xué)學(xué)童乘法法解題策策略由直直接表徵徵、計(jì)數(shù)數(shù)、加法法而乘法法的發(fā)展展順序，將是本本研究分分析資料料與詮釋釋結(jié)果的的依據(jù)之之一。二、乘法法問題之之情境模模式從乘法啟啟蒙教材材中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，國小小二年級(jí)級(jí)乘

12、法教教材的範(fàn)範(fàn)圍是正正整數(shù)乘乘法，且且大都以以文字題題的型式式呈現(xiàn)。依據(jù)GGreeer（119922）所提提出之乘除問問題的情情境模式式，正正整數(shù)乘乘法文字字題有以以下四種種：1. 等等組型問問題（eequaal ggrouups）是由一一些內(nèi)含含有相同同個(gè)數(shù)之之物體的的集合所所構(gòu)成的的情境，等組情情境以不不同的方方式出現(xiàn)現(xiàn)，有些些例子是是自然重重複的情情形（如如n個(gè)人有有5n根手手指頭）；重做做一連串串的動(dòng)作作（如一一次走33步，要要走4次）；和人們們的習(xí)慣慣，就如如同將相相同數(shù)目目的東西西給予一一些人（如老師師發(fā)給44個(gè)小朋朋友，每每人5顆糖果果）。另另外一種種方式則則是比率率的乘法法（如

13、每每個(gè)人有有4塊餅乾乾，3個(gè)人共共有幾塊塊餅乾？），33個(gè)人是是一個(gè)人人的3倍，所所以餅乾乾數(shù)也會(huì)會(huì)增為33倍。2. 直直積（CCarttesiian prooducct）是是描述一一種有序序?qū)Γ╫ordeeredd paair）關(guān)係，每一個(gè)個(gè)有序?qū)?duì)都是由由一個(gè)集集合的每每一個(gè)元元素與另另一個(gè)集集合的所所有元素素有順序序的結(jié)合合而成。例如在在小明明有4件不同同顏色的的上衣和和5條不同同款式的的長褲，可以用用來搭配配成不同同的外出出服，請(qǐng)請(qǐng)問小明明的外出出服有幾幾種不同同的搭配配方式？的問問題中，外出出服是是由上上衣與與長褲褲二個(gè)個(gè)集合所所合成的的。直積積問題除除了上述述的外出出服組合合問題（

14、新集合合是由二二個(gè)已知知集合中中的所有有元素按按照順序序所合成成的一種種問題）之外，還包括括陣列問問題（問問題中的的物件是是呈方陣陣排列的的一種乘乘法問題題）。例例如在牆上的的磁磚橫橫看有55列，直直看有66排，請(qǐng)請(qǐng)問牆上上共有幾幾塊磁磚磚？的的問題中中，可以以利用直直排的數(shù)數(shù)目乘以以橫列的的數(shù)目來來求出圖圖中的總總數(shù)。3. 長長方形面面積（rrecttanggulaar aareaa）是將將長方形形任一邊邊和相鄰鄰一邊的的長度相相乘，也也可以把把長方形形分割成成邊長為為1公分的的正方形形，於是是，長方方形面積積可以用用正方形形的個(gè)數(shù)數(shù)來計(jì)數(shù)數(shù)，這樣樣一個(gè)圖圖示與由由m行和n列所形形成的棋棋盤

15、圖（也就像像上述的的陣列問問題）很很類似。例如在在長44公尺，寬5公尺的的長方形形，其面面積為多多少平方方公尺？的問問題中，可以長長度乘以以寬度來來求得長長方形的的面積，也可以以用將長長分成44個(gè)1公公尺、寬寬分成55個(gè)1公公尺所構(gòu)構(gòu)成的棋棋盤圖，來求出出面積。在直積問問題和長長方形面面積問題題的運(yùn)算算中，上上衣和長長褲、直直排的數(shù)數(shù)目和橫橫列的數(shù)數(shù)目、長長和寬、m和n等二個(gè)個(gè)數(shù)字都都被視為為等價(jià)，也就是是說，這這二個(gè)數(shù)數(shù)字都可可以是被被乘數(shù)，而不影影響其運(yùn)運(yùn)算結(jié)果果。在本本研究中中，因?yàn)闉榭剂慷昙?jí)學(xué)學(xué)童能力力，長方方形面積積問題將將以棋盤盤圖的形形式呈現(xiàn)現(xiàn)，其運(yùn)運(yùn)算與直直積型的的陣列問問

16、題一樣樣，所以以將長方方形面積積問題和和直積問問題合成成一類，稱為直直積型乘乘法問題題。4. 比比較型乘乘法（mmulttipllicaativve ccomppariisonn）是一一種常被被以nn倍是多多少？來敘述述的情境境，例如如，小小華的蘋蘋果是小小明的33倍，如如果小明明有4個(gè)蘋果果，小華華有幾個(gè)個(gè)蘋果？乘法法因子（mulltippliccatiive facctorr，也就就是3倍）則則被視為為是乘數(shù)數(shù)。此種種比較型型問題牽牽涉到二二個(gè)量：基準(zhǔn)量量與比較較量，而而我們則則是利用用基準(zhǔn)量量（小明明的蘋果果數(shù)）來來求比較較量（小小華的蘋蘋果數(shù)）。此外外，比較較型乘法法問題也也可以被被視

17、為是是多與一一的對(duì)應(yīng)應(yīng)（maany-onee coorreespoondeencee），亦亦即小華華的3個(gè)蘋果果相當(dāng)於於小明的的1個(gè)蘋果果。依據(jù)上述述的說明明，筆者者將正整整數(shù)乘法法文字題題的類型型摘要如如圖2-1，並並以此分分類作為為設(shè)計(jì)筆筆試試卷卷的依據(jù)據(jù)之一。正整數(shù)乘乘法文字字題等組型問問題 直積型型問題 比較較型問題題圖2-11 正正整數(shù)乘乘法文字字題之分分類參、研究究方法一、研究究對(duì)象由於時(shí)間間和精力力的限制制，筆者者只從服服務(wù)學(xué)校校內(nèi)二年年級(jí)的113個(gè)班班級(jí)中，隨機(jī)選選取5班班，共1182位位學(xué)童作作為研究究對(duì)象。這些學(xué)學(xué)童所使使用的數(shù)數(shù)學(xué)課本本是南一一版本。二、研究究工具本研究以

18、以自編的的筆試試試卷為工工具來蒐蒐集學(xué)童童的解題題策略。筆者在在參考國國內(nèi)外相相關(guān)研究究後，發(fā)發(fā)現(xiàn)乘法法問題的的類型相相當(dāng)多，其中有有些類型型並不適適合初學(xué)學(xué)乘法的的國小學(xué)學(xué)生，又又因?yàn)槌顺朔▎⒚擅山滩拇蟠蠖家哉麛?shù)的的乘法文文字題呈呈現(xiàn)，故故試題設(shè)設(shè)計(jì)以正正整數(shù)乘乘法文字字題的分分類（見見圖2-1）為為主，參參考數(shù)學(xué)學(xué)課本、習(xí)作和和教學(xué)指指引，設(shè)設(shè)計(jì)相關(guān)關(guān)的乘法法問題，先形成成試卷初初稿，再再經(jīng)過二二次預(yù)試試，才發(fā)發(fā)展成正正式試卷卷。考慮慮三類問問題在教教材中的的份量（見附註註1），正式筆筆試試卷卷的內(nèi)容容包括：等組組型乘法法問題12題、直積型型乘法問問題44題與比較型型乘法問問題66題，

19、共共22題。此外，考量學(xué)學(xué)童正要要接受乘乘法教學(xué)學(xué)，不宜宜處理太太多的大大數(shù)字題題，所以以22個(gè)個(gè)題目中中包括一位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題144題、一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)4題題、二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)4題題。因試試卷內(nèi)容容太多，恐學(xué)童童答題費(fèi)費(fèi)時(shí)過久久，故依依問題類類型與數(shù)數(shù)字位數(shù)數(shù)再將試試題平均均分成甲甲卷111題與乙乙卷111題。筆試甲卷卷的隔週週重測信信度（PPearrsonn積差相相關(guān)）為為.8224，乙乙卷為.8500。至於於效度方方面，首首先依據(jù)據(jù)乘法教教材分析析和相關(guān)關(guān)文獻(xiàn)探探討，設(shè)設(shè)計(jì)乘法法問題，再經(jīng)過過二次預(yù)預(yù)試，才才發(fā)展成成正式試試題。每每次預(yù)試試的結(jié)果果都與師師院教授授和國小小老師討討論

20、，並並將討論論的意見見作為編編選及修修正試題題的依據(jù)據(jù)。此外外，筆試試試題分分類是採採取專家家效度，邀請(qǐng)數(shù)數(shù)學(xué)教育育專家和和國小二二年級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)教師師共188位填寫寫效度量量表，以以確定各各種題目目所屬的的類別。分析結(jié)結(jié)果是等等組型、直積型型與比較較型三類類問題的的效度均均介於.89到到1之間。另一方面面，將甲甲、乙兩兩卷稍作作修改，三類乘乘法問題題的題數(shù)數(shù)不予改改變，題題號(hào)順序序只略作作更改，而三種種數(shù)字大大小不同同問題的的題數(shù)則則重新調(diào)調(diào)整，儘儘量以平平均分配配為主，包括一位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題8題題、一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)6題題、二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)8題題，等學(xué)學(xué)童接受受第四冊冊全部單單元的乘乘法教

21、學(xué)學(xué)後（共共3個(gè)單單元，教教學(xué)內(nèi)容容見附註註2），再受測測一次。三、資料料蒐集與與分析本研究是是要求1182位位學(xué)童在在乘法教教學(xué)前、後都填填寫甲、乙兩卷卷（先填填寫甲卷卷、一日日後再填填寫乙卷卷）。然然後以文文件分析析法（ddocuumennt aanallysiis）（吳明清清，19991；歐用生生，19991）將學(xué)童童的解題題紀(jì)錄予予以歸類類、分析析。在本本研究中中，文件件分析的的單位是是一題，而分析析的類別別則是以以參考表表2-11和教學(xué)學(xué)指引中中相關(guān)部部分後，整理、歸納出出的133種學(xué)童童解題策策略為依依據(jù)，詳詳見表33-1。表3-11 學(xué)童童之乘法法解題策策略解題策略略解 題 紀(jì)

22、錄 （例題題：68）實(shí)物式直直接表徵徵 以花片片或教具具呈現(xiàn)出出題目的的意義。圖畫式直直接表徵徵 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 或是 6 6 6 66 6 6 66 6 全數(shù) 1、22、3、4、55、6（暫停）；7、112（暫暫停）；443、448跳數(shù) 6（11）、112（22）、118（33）、224（44）、330（55）、336（66）、442（77）、448（88） 或是 6、112、118、224、330、336、442、448連加法 6+66+6+6+66+6+6+66

23、=488 或是 6+66=122，12+6=118，336+66=422，422+6=48兩兩相加加法 6+66=122，122+122+122+122=488 或是 6+66=122，122+122=244，24+12=36，36+12=48重複相加加法 6+66=122，12+12=24，24+24=48折半相加加法 6+66+6+6=224，224+224=448序列乘法法 611=6，62=112，663=118，664=224，665=330，666=336，667=442，668=448直接乘法法 688=488兩倍乘法法 622=122，64=224，668=448重複乘法法 6

24、22=122，1222=224，2242=448先乘再加加法（以412=48為為例） 499=366，37、38、39、440，441、442、43、444，445、446、47、448 或是 499=366，36+4=440，40+4=444，44+4=448 或是449=36，36+4+44+4=48 或是 499=366，4+44+4=12，36+12=48肆、研究究結(jié)果與與討論一、整體體表現(xiàn)將教學(xué)前前、後的的筆試資資料依據(jù)據(jù)5個(gè)不不同的班班級(jí)甲、乙、丙丙、丁、戊（假假名）與與學(xué)童不不同的解解題方法法，分別別整理、分類、統(tǒng)計(jì)如如表4-1。因因?yàn)樵诠P筆試中要要求學(xué)童童把想到到的解題題方法都

25、都紀(jì)錄下下來，因因此下列列3個(gè)表表中的數(shù)數(shù)字代表表的是使使用各種種解題策策略的次次數(shù)，而而非人數(shù)數(shù)。表4-11 學(xué)童童教學(xué)前前、後使使用各種種解題策策略之次次數(shù)統(tǒng)計(jì)計(jì)表班級(jí)解題 使用用策略 次數(shù)數(shù)（）二年甲班二年乙班二年丙班二年丁班二年戊班總計(jì)圖畫式直直接表徵徵教學(xué)前30（55.9）74（116.33）29（77.4）91（116.99）41（88.7）265（11.2）教學(xué)後93（112.66）35（66.3）52（110.44）17（22.2）27（33.8）224（6.88）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)數(shù)、跳數(shù)數(shù)）教學(xué)前30（55.9）29（66.4）32（88.1）45（88.4）24（55.

26、1）160（6.8）教學(xué)後8（1.1）3（0.5）3（0.6）9（1.1）6（0.8）29（00.9）連加法教學(xué)前349（68.3）246（54.3）161（40.9）286（53.2）287（60.9）13299（566.1）教學(xué)後309（41.8）59（110.66）97（119.44）232（29.5）213（29.9）910（27.6）兩兩相加加法教學(xué)前37（77.2）45（99.9）65（116.55）49（99.1）18（33.8）214（9.00）教學(xué)後4（0.5）24（44.3）18（33.6）22（22.8）4（0.6）72（22.2）重複相加加法教學(xué)前1（0.2）5（1.1

27、）24（66.1）7（1.3）9（1.9）46（11.9）教學(xué)後010（11.8）1（0.2）15（11.9）026（00.8）分堆相加加法（含折半半相加法法）教學(xué)前44（88.6）27（66.0）66（116.88）42（77.8）27（55.7）206（8.77）教學(xué)後4（0.5）3（0.5）6（1.2）2（0.3）14（22.0）29（00.9）直接乘法法教學(xué)前20（33.9）27（66.0）17（44.3）17（33.2）65（113.8）146（6.22）教學(xué)後309（41.8）400（72.1）265（53.0）478（60.7）433（60.7）18855（577.2）先乘再加加

28、法教學(xué)前000000教學(xué)後8（1.1）2（0.4）5（1.0）4（0.5）9（1.3）28（00.9）接續(xù)乘法法表之序列乘乘法教學(xué)前000000教學(xué)後3（0.4）02（0.4）005（0.2）二堆乘法法教學(xué)前0001（0.2）01（0.04）教學(xué)後1（0.1）19（33.4）51（110.22）8（1.0）7（1.0）86（22.6）總計(jì)教學(xué)前51145339453847123677教學(xué)後73955550078771332944從表4-1中發(fā)發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童的解解題策略略包括圖圖畫式直直接表徵徵、節(jié)奏奏式數(shù)數(shù)數(shù)、連加加法、兩兩兩相加加法、重重複相加加法、分分堆相加加法、直直接乘法法、先乘乘再加法法

29、、接續(xù)續(xù)乘法表表之序列列乘法和和二堆乘乘法等110種，與表33-1中中所呈現(xiàn)現(xiàn)的133種稍有有不同，在表44-1中中並沒有有出現(xiàn)實(shí)實(shí)物式直直接表徵徵、全數(shù)數(shù)、跳數(shù)數(shù)、折半半相加法法、序列列乘法、兩倍乘乘法、重重複乘法法等7種解題題策略，而多出出了節(jié)奏奏式數(shù)數(shù)數(shù)、分堆堆相加法法、接續(xù)續(xù)乘法表表之序列列乘法、二堆乘乘法等44種策略略。首先，實(shí)實(shí)物式直直接表徵徵並未出出現(xiàn)，這這可能是是因?yàn)楣P筆試時(shí)沒沒有可供供操作的的物品。再者，因?yàn)橛^觀察不到到學(xué)童的的計(jì)數(shù)方方式，無無法知道道僅有正正確答數(shù)數(shù)卻無解解題紀(jì)錄錄的方法法是全數(shù)數(shù)或跳數(shù)數(shù)，因而而改以節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)總括括之。筆筆試紀(jì)錄錄雖無出出現(xiàn)序列列乘法、

30、兩倍乘乘法、重重複乘法法，但卻卻出現(xiàn)了了以接續(xù)續(xù)乘法表表最後一一個(gè)算式式繼續(xù)進(jìn)進(jìn)行的序序列乘法法，例如如412，學(xué)童以以49=336、4410=40、411=44、412=48來來求得答答數(shù)。此此外，從從筆試紀(jì)紀(jì)錄中也也發(fā)現(xiàn)學(xué)學(xué)童在解解決問題題1袋袋有6個(gè)個(gè)蘋果，買9袋袋有幾個(gè)個(gè)蘋果？時(shí)，是以分分成三堆堆的方式式6+66+6=18、6+66+6=18、6+66+6=18、18+18+18=54來來解題，因此將將分堆算算好之後後再加起起來的解解法稱為為分堆堆相加法法，取取代僅分分成二堆堆的折半半相加法法。最後後，二堆堆乘法（將超過過9的被被乘數(shù)或或乘數(shù)分分成二堆堆後，分分別乘出出再加起起來）也也

31、是在本本研究發(fā)發(fā)現(xiàn)的另另一種解解題方法法，例如如512，學(xué)童以以59=445、553=115、445+115=660來解解題；或或是1338，學(xué)學(xué)童以998=772、448=332、772+332=1104來來求出答答數(shù)。經(jīng)由上述述說明後後，筆者者將本研研究受試試學(xué)童實(shí)實(shí)際所使使用的110種解解題策略略與其紀(jì)紀(jì)錄方式式整理如如表4-2：表4-22 學(xué)學(xué)童使用用之100種解題題策略及及紀(jì)錄方方式解題策略略解題紀(jì)錄錄（例題題：412=48）圖畫式直直接表徵徵 00000 00000 00000 00000 00000 00000 000000 00000 00000 00000 00000 000

32、00 或是 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 節(jié)奏式點(diǎn)點(diǎn)數(shù) 1、22、3、4（暫暫停）；5、6、7、8（暫停停）；445、46、47、448 或是44（1）、8（2）、122（3）、40（10）、44（11）、48（12） 或是44、8、12、16、20、24、228、32、36、40、44、448連加法 4+44+4+4+44+4+4+44+4+4+44+4=48 或是44+4=8，8+44=122，12+4=116，36+4=440，40+4=44，44+4=448兩兩相加加法 4+44=8，8+88=166，16+8=224，24+8=332，32+8=440，40+8=4

33、48重複相加加法 4+44=8，8+88=166，16+16=32，32+16=48分堆相加加法 4+44+4+4=116，4+44+4+4=116，4+44+4+4=116，16+16+16=48直接乘法法 4112=448先乘再加加法 499=366，37、38、39、440，441、442、43、444，445、446、47、448 或是449=36，36+4=440，40+4=444，44+4=448 或是449=36，36+4+44+4=48 或是449=36，4+44+4=12，36+12=48接續(xù)乘法法表之序序列乘法法 499=366，4110=440，4111=444，4112

34、=448二堆乘法法 499=366，433=122，36+12=48 或是994=36，344=122，36+12=48（以1224=48為為例）除了發(fā)現(xiàn)現(xiàn)受試學(xué)學(xué)童解題題策略與與表3-1不同同之外，從表44-1中中也發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)童童在乘法法啟蒙教教學(xué)前最最常用的的解題策策略是連連加法，而且不不論班級(jí)級(jí)的差異異，每一一班的學(xué)學(xué)童都是是以連加加法為主主要的解解法（使使用率分分別為甲甲班688.3、乙班班54.3、丙班440.99、丁丁班533.2、戊班班60.9）。若統(tǒng)統(tǒng)計(jì)以加加法為主主的各種種解題策策略（連連加法556.11、兩兩兩相加加法9.0、重複相相加法11.9與分堆堆相加法法8.77）後

35、後，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)這些加加法策略略的被使使用率高高達(dá)755.7。相對(duì)對(duì)地，學(xué)學(xué)童在乘乘法啟蒙蒙教學(xué)後後所使用用的解題題策略主主要是直直接乘法法（使用用率為557.22），此時(shí)除除了二年年甲班（連加法法的使用用率與直直接乘法法一樣，是411.8）之外外，丙班班（直接接乘法的的使用率率是533.0，連加加法是119.44）、丁班（直接乘乘法是660.77，連連加法是是29.5）、戊班班（直接接乘法是是60.7，連加法法是299.9）等三三班的直直接乘法法使用率率均較連連加法多多出一倍倍以上，而乙班班（直接接乘法是是72.1，連加法法是100.6）更是是多出五五倍以上上。對(duì)照照前後，可知大大多數(shù)的的學(xué)童對(duì)對(duì)

36、於的問問題在乘乘法教學(xué)學(xué)前，都都能自行行以+來解解決；而而在教學(xué)學(xué)後，能能改成以以來解解決。另另外有一一點(diǎn)值得得注意是是在乘法法教學(xué)後後，學(xué)童童使用加加法策略略（連加加法277.6、兩兩兩相加法法2.22、重重複相加加法0.8與與分堆相相加法00.9）的的比率仍仍高達(dá)331.55。進(jìn)進(jìn)一步分分析統(tǒng)計(jì)計(jì)後，發(fā)發(fā)現(xiàn)311.5學(xué)童中中僅用加加法策略略來解題題的有221.77，此此證據(jù)顯顯示教學(xué)學(xué)後仍有有二成多多的學(xué)童童無法以以乘法來來解決乘乘法問題題。二、問題題類型將學(xué)童在在教學(xué)前前、後，對(duì)三種種不同類類型的乘乘法問題題所使用用的解題題策略，整理、統(tǒng)計(jì)如如表4-3：表4-33 學(xué)學(xué)童教學(xué)學(xué)前、後後使

37、用各各種解題題策略來來解決33類乘法法問題之之次數(shù)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)表問題類型型解題 使用用策略 次數(shù)（）等組型問題直積型問題比較型問題總計(jì)圖畫式直直接表徵徵教學(xué)前148（11.3）15（33.2）102（17.66）265（11.2）教學(xué)後143（7.33）7（1.1）74（110.66）224（6.88）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)數(shù)、跳數(shù)數(shù)）教學(xué)前83（66.3）32（66.7）45（77.8）160（6.8）教學(xué)後14（00.7）6（0.9）9（1.3）29（00.9）連加法教學(xué)前734（55.9）277（58.3）318（55.0）13299（566.1）教學(xué)後529（27.0）131（20.6）250

38、（35.9）910（27.6）兩兩相加加法教學(xué)前136（10.44）28（55.9）50（88.7）214（9.00）教學(xué)後37（11.9）10（11.6）25（33.6）72（22.2）重複相加加法教學(xué)前39（33.0）4（0.8）3（0.5）46（11.9）教學(xué)後18（00.9）4（0.6）4（0.6）26（00.8）分堆相加加法（含折半半相加法法）教學(xué)前96（77.3）94（119.88）16（22.8）206（8.77）教學(xué)後10（00.5）12（11.9）7（1.0）29（00.9）直接乘法法教學(xué)前77（55.9）25（55.3）44（77.6）146（6.22）教學(xué)後11433（5

39、8.3）434（68.1）308（44.3）18855（577.2）先乘再加加法教學(xué)前0000教學(xué)後16（00.8）10（11.6）2（0.3）28（00.9）接續(xù)乘法法表之序列乘乘法教學(xué)前0000教學(xué)後2（0.1）2（0.3）1（0.1）5（0.2）二堆乘法法教學(xué)前1（0.08）001（0.04）教學(xué)後49（22.5）21（33.3）16（22.3）86（22.6）總計(jì)教學(xué)前1314447557823677教學(xué)後1961163769632944從表4-3中可知知，學(xué)童童在教學(xué)學(xué)前都是是以連加加法為主主（等組組型555.9，直積積型588.3，比較較型555.0）來解解決三種種不同類類型的乘乘

40、法問題題，而其其他解題題策略在在不同乘乘法問題題上的被被使用率率順序則則各有不不同。學(xué)學(xué)童在解解決等等組型問問題時(shí)時(shí)，除了了連加法法，其他他策略的的使用多多寡分別別是：圖圖畫式直直接表徵徵（111.3）、兩兩兩相加加法（110.44）、分堆相相加法（7.33）、節(jié)奏式式數(shù)數(shù)（6.33）與與直接乘乘法（55.9）；而而在直直積型問問題中中，則是是分堆相相加法（19.8）、節(jié)奏奏式數(shù)數(shù)數(shù)（6.7）、兩兩兩相加法法（5.9）與直接接乘法（5.33）；在比比較型問問題中中是圖畫畫式直接接表徵（17.6）、兩兩兩相加法法（8.7）、節(jié)奏奏式數(shù)數(shù)數(shù)（7.8）與直接接乘法（7.66）。在教學(xué)後後，學(xué)童童主要

41、以以直接乘乘法（等等組型558.33，直直積型668.11，比比較型444.33）來來解決三三種不同同類型的的乘法問問題，連連加法次次之（等等組型227.00、直直積型220.66、比比較型335.99），而其他他解題策策略在不不同乘法法問題上上的被使使用率順順序也各各有不同同。學(xué)童童在解決決等組組型問題題時(shí)，除了直直接乘法法與連加加法，其其他策略略的使用用多寡分分別是：圖畫式式直接表表徵（77.3）與二二堆乘法法（2.5）；在直積型型問題中是二二堆乘法法（3.3）；在比較型型問題中則是是圖畫式式直接表表徵（110.66）、兩兩相相加法（3.66）與與二堆乘乘法（22.3）。進(jìn)一步統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析析

42、後，筆筆者還發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)童童在教學(xué)學(xué)後僅以以連加法法來解決決比較較型問題題的比比率仍高高達(dá)288.4（355.9中中僅用連連加法解解題的），這可可能是與與學(xué)童較較不了解解比較較型問題題的題題意（南南一版的的乘法教教材中幾幾乎沒有有出現(xiàn)比較型型問題，見附附註2）有關(guān)關(guān)。由此此可推知知，當(dāng)學(xué)學(xué)童不了了解乘法法問題的的題意時(shí)時(shí)，會(huì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而使用用熟悉的的解法（例如連連加法）來解題題，因而而解題策策略會(huì)隨隨著學(xué)童童對(duì)題意意的了解解與否而而有不同同。三、數(shù)字字大小將學(xué)童在在三種數(shù)數(shù)字大小小不同（依位數(shù)數(shù)分類）的問題題上所使使用的各各種解題題策略整整理統(tǒng)計(jì)計(jì)如表44-4：表4-44 學(xué)學(xué)童教學(xué)學(xué)前、後後使用各各種

43、解題題策略來來解決數(shù)數(shù)字大小小不同問問題之次次數(shù)統(tǒng)計(jì)計(jì)表數(shù)字大小小解題 使用策略 次數(shù)（）一位數(shù)一位數(shù)一位數(shù)二位數(shù)二位數(shù)一位數(shù)總計(jì)圖畫式直直接表徵徵教學(xué)前170（10.9）61（115.88）34（88.2）265（11.2）教學(xué)後64（44.7）52（55.4）108（11.1）224（6.88）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)數(shù)、跳數(shù)數(shù)）教學(xué)前79（55.0）23（66.0）58（113.99）160（6.8）教學(xué)後12（00.9）9（0.9）8（0.8）29（00.9）連加法教學(xué)前882（56.4）195（50.6）252（60.4）13299（566.1）教學(xué)後249（18.2）243（25.4）

44、418（43.0）910（27.6）兩兩相加加法教學(xué)前157（10.0）14（33.6）43（110.33）214（9.00）教學(xué)後17（11.2）17（11.8）38（33.9）72（22.2）重複相加加法教學(xué)前25（11.6）21（55.5）046（11.9）教學(xué)後11（00.8）13（11.4）2（0.2）26（00.8）分堆相加加法（含折半半相加法法）教學(xué)前141（9.00）47（112.22）18（44.3）206（8.77）教學(xué)後5（0.4）15（11.6）9（0.9）29（00.9）直接乘法法教學(xué)前111（7.11）23（66.0）12（22.9）146（6.22）教學(xué)後993（

45、72.7）513（53.6）379（39.0）18855（577.2）先乘再加加法教學(xué)前0000教學(xué)後8（0.6）20（22.1）028（00.9）接續(xù)乘法法表之序列乘乘法教學(xué)前0000教學(xué)後4（0.3）1（0.1）05（0.2）二堆乘法法教學(xué)前01（0.3）01（0.04）教學(xué)後3（0.2）74（77.7）9（0.9）86（22.6）總計(jì)教學(xué)前1565538541723677教學(xué)後1366695797132944從表4-4中可以以發(fā)現(xiàn)，學(xué)童在在教學(xué)前前是以連連加法為為主（一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)56.4，一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)50.6，二位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)60.4）來解決決三種數(shù)數(shù)字範(fàn)圍圍不同的的問題，而其他

46、他解題策策略在數(shù)數(shù)字大小小不同問問題上的的被使用用率順序序則各有有不同。學(xué)童在在解決一位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題時(shí)，除除了連加加法，其其他策略略的使用用多寡分分別是：圖畫式式直接表表徵（110.99）、兩兩相相加法（10.0）、分堆堆相加法法（9.0）、直接接乘法（7.11）與與節(jié)奏式式數(shù)數(shù)（5.00）；在一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)的問問題上，則是圖圖畫式直直接表徵徵（155.8）、分分堆相加加法（112.22）、節(jié)奏式式數(shù)數(shù)（6.00）、直接乘乘法（66.0）與重重複相加加法（55.5）；而而在二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題，是節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（113.99）、兩兩相相加法（10.3）與圖畫畫式直接接表徵（8.22）

47、。在教學(xué)後後，數(shù)字字位數(shù)大大小對(duì)學(xué)學(xué)童選用用何種解解題策略略的影響響較大，在一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)與一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)的問問題上，學(xué)童是是以直接接乘法為為主（使使用率分分別是772.77與533.6）來解解題，而而連加法法次之（使用率率是188.2與255.4），但但是對(duì)於於二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題，則則是以連連加法為為主（使使用率443.00），直接乘乘法次之之（使用用率399.0）。而而其他解解題策略略的使用用多寡分分別是：在一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題中是圖圖畫式直直接表徵徵（4.7）；在一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)問題題中是二二堆乘法法（7.7）與圖畫畫式直接接表徵（5.44）；在二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題，則則

48、是圖畫畫式直接接表徵（11.1）與兩兩兩相加法法（3.9）。除此之外外，筆者者也發(fā)現(xiàn)現(xiàn)學(xué)童在在教學(xué)後後解決二位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題時(shí)，使使用連加加法的比比率（443.00）與與直接乘乘法（339.00）相相差不多多；而且且無論是是教學(xué)前前或教學(xué)學(xué)後，學(xué)學(xué)童都未未曾使用用先乘再再加法與與接續(xù)乘乘法表之之序列乘乘法來解解決二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題，這可可能是學(xué)學(xué)童無法法查到被被乘數(shù)超超過9的乘法法表所致致（在筆筆試中，學(xué)童可可以查閱閱九九乘乘法表）。另外外，在教教學(xué)後學(xué)學(xué)童較常常使用二二堆乘法法來解決決一位位數(shù)二位數(shù)數(shù)的問問題，這這可能是是使用其其他解題題策略所所花時(shí)間間太長，因而學(xué)學(xué)童開始始求變，尋

49、找計(jì)計(jì)算次數(shù)數(shù)較少的的解題策策略。伍、結(jié)論論與建議議一、結(jié)論論1. 學(xué)學(xué)童正整整數(shù)乘法法解題策策略有110種：經(jīng)過文文獻(xiàn)資料料與筆試試資料的的分析後後，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)國小二二年級(jí)學(xué)學(xué)童正確確的解題題策略有有圖畫式式直接表表徵、節(jié)節(jié)奏式點(diǎn)點(diǎn)數(shù)、連連加法、兩兩相相加法、重複相相加法、分堆相相加法、直接乘乘法、先先乘再加加法、接接續(xù)乘法法表之序序列乘法法和二堆堆乘法等等10種種（紀(jì)錄錄方式詳詳見表44-2）。2. 並並非所有有的學(xué)童童都能在在教學(xué)後後轉(zhuǎn)而使使用乘法法來解題題：從多多位研究究者（林林慧麗，19991；AAnghhileeri, 19989; Kooubaa, 119899; MMullliga

50、an, 19992; Mullliggan & MMitcchellmorre, 19997）的的研究結(jié)結(jié)果中，可以發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)童童所使用用的乘法法解題策策略會(huì)隨隨著年齡齡與學(xué)習(xí)習(xí)而由具具體到抽抽象，由由加法到到乘法，但是較較難肯定定學(xué)童何何時(shí)能從從具體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而抽象象，從加加法轉(zhuǎn)而而乘法（Claark & KKamiii, 19996）。在本研研究中也也發(fā)現(xiàn)，即使經(jīng)經(jīng)過3個(gè)單元元的乘法法教學(xué)，仍有二二成多的的學(xué)童無無法以乘乘法來解解決乘法法問題。3. 問問題類型型和數(shù)字字大小會(huì)會(huì)影響學(xué)學(xué)童解題題策略的的選用：不同的的問題類類型因?yàn)闉閷W(xué)童對(duì)對(duì)題意的的了解與與否，而而對(duì)學(xué)童童選用何何種解題題策略造造成了

51、影影響，也也就是學(xué)學(xué)童在面面對(duì)三種種不同類類型的問問題時(shí)，所使用用的解題題紀(jì)錄不不同，例例如學(xué)童童使用兩兩兩相加加法和連連加法來來解決等組型型問題的次數(shù)數(shù)較多；學(xué)童常常以直接接乘法來來解決直積型型問題；對(duì)於於比較較型問題題則較較常使用用圖畫來來輔助解解題。數(shù)數(shù)字大小小對(duì)於學(xué)學(xué)童解決決乘法問問題的影影響是解解題策略略的改變變，當(dāng)學(xué)學(xué)童需要要計(jì)算很很多次的的時(shí)候（例如一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)問題題），學(xué)學(xué)童開始始嘗試縮縮減計(jì)算算行為的的次數(shù)，因而產(chǎn)產(chǎn)生不同同的解題題策略。二、建議議1. 對(duì)對(duì)教師的的建議：從資料料中可以以發(fā)現(xiàn)，不同類類型與數(shù)數(shù)字大小小不同的的乘法問問題對(duì)學(xué)學(xué)童的解解法產(chǎn)生生了影響響，因此此

52、教師在在教學(xué)過過程中可可以利用用各種類類型或數(shù)數(shù)字大小小不同的的乘法問問題來幫幫助學(xué)童童增加解解題策略略的種類類與了解解乘法的的意義。此外，並非所所有學(xué)童童都能在在乘法教教學(xué)後改改用乘法法，所以以教師應(yīng)應(yīng)該多給給學(xué)童一一些等等待時(shí)間間，不不要要求求所有學(xué)學(xué)童都要要馬上使使用乘法法來解題題。2. 對(duì)對(duì)教材設(shè)設(shè)計(jì)的建建議：從從本研究究中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)童童即使在在乘法教教學(xué)前也也能解決決直積積型問題題（陣陣列問題題與棋盤盤圖式的的長方形形面積問問題），因此，教材設(shè)設(shè)計(jì)可以以考慮將將陣列問問題與棋棋盤圖式式的長方方形面積積問題包包括進(jìn)去去或增加加此類問問題的題題數(shù)，以以提供學(xué)學(xué)童多樣樣的學(xué)習(xí)習(xí)情境。此外，

53、學(xué)童對(duì)對(duì)於被乘乘數(shù)或乘乘數(shù)超過過10，甚至是是超過112的問問題，都都能正確確的解決決，因此此教材中中可以增增加被乘乘數(shù)或乘乘數(shù)超過過10的的問題，因?yàn)閷W(xué)學(xué)童在面面對(duì)非例例行性問問題時(shí)，會(huì)多加加思考，以激出出各種較較經(jīng)濟(jì)的的解題方方法，由由此似乎乎可提昇昇學(xué)童解解題的品品質(zhì)。3. 對(duì)對(duì)往後研研究的建建議：因因?yàn)楣P試試僅能蒐蒐集到學(xué)學(xué)童表面面上的、總結(jié)性性的資料料，無法法深入了了解學(xué)童童在解題題過程中中的思考考。學(xué)童童會(huì)用乘乘號(hào)來紀(jì)紀(jì)錄、會(huì)會(huì)查乘法法表，就就表示他他已經(jīng)理理解乘法法的意義義了嗎？因此，探索學(xué)學(xué)童解題題紀(jì)錄與與解題思思考之間間的關(guān)係係可以作作為後續(xù)續(xù)研究的的主題。參考文獻(xiàn)獻(xiàn)吳明清（

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