金融工程學（第三版）第12章期權定價理論

1、第12章 期權定價理論12.1期權價格概述 12.2布萊克-斯科爾斯(B-S)模型 12.3二項式定價模型 12.4期權價格上下限 12.5看漲看跌期權平價 12.6期權定價的紅利因素 12.1期權價格概述12.1.1期權定價概述期權給予買方一種權利，使買方既可以避免不利風險又可以保留有利風險，所以期權是防范金融風險的最理想工具。但要獲得期權這種有利無弊的工具，就必須支付一定的費用，即期權價格。12.1期權價格概述12.1.2期權的價值構成 毫無疑問，期權價格受其標的資產(chǎn)價格的影響。期權執(zhí)行價格與標的資產(chǎn)當前價格的關系用內在價值來表示，與標的資產(chǎn)未來價格的關系用外在價值來表示。一般認為期權費（

2、期權價值）由兩部分組成:內在價值和外在價值。12.1期權價格概述1）內在價值內在價值（intrinsic value），是指期權按協(xié)定價格被執(zhí)行時，期權所具有的價值。一般大于零?？礉q期權的內在價值=max基礎金融資產(chǎn)的市場價格-期權協(xié)定價格，0（12-1）看跌期權的內在價值=max期權協(xié)定價格-基礎金融資產(chǎn)的市場價格，0（12-2）12.1期權價格概述2）外在價值外在價值（extrinsic value），也叫時間價值（time value），即期權費減去內在價值后的余值。在實務中，所有期權的出售方都要求買方支付的期權費高于期權的內在價值。原因在于：期權的非對稱性表明期權賣出方具有虧損的無限性

3、和盈利的有限性特征，需要對賣方所承擔的風險予以補償。在協(xié)定價格一定的條件下，時間價值的大小與期權有效期限的長短成正比，期權距到期的時間越長，金融資產(chǎn)市場價格發(fā)生變化的可能性越大，期權的時間價值就越大；反之，期權越臨近到期日，時間價值就越小。12.1期權價格概述12.1.3期權價格的影響因素對于不分紅的股票期權來說，期權的價格會受到以下因素的影響：股票現(xiàn)價、執(zhí)行價格、到期期限、股票價格的波動率、無風險利率、期權有效期、預計發(fā)放的紅利等。12.1期權價格概述表12-1期權價格與相關因素的關系因素看漲期權價格看跌期權價格股票現(xiàn)價越高越高越低有效期越長越高越高到期日越近越低越低執(zhí)行價格越高越低越高波動

4、率越大越高越高無風險利率越高越高越低預期紅利越高越低越高12.1期權價格概述12.1.4期權定價模型目前期權定價模型主要有兩種：布萊克-斯科爾斯模型和二項式模型。12.2.1期權定價理論概述1900年以前，在美國與歐洲已大量存在權證（類似期權）。當時的權證一般期限都長，有的權證還是無限期的。從1970年4月13日開始期權在紐約證交所交易。股票期權和權證相比則要晚許多，雖然股票期權在場外交易的時間也很久，但第一只全美標準化的期權合約交易是從1973年芝加哥期權交易所的看漲期權開始的。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型12.2.2期權定價理論1）早期的期權定價理論進行早期期權定價理論研究的，主

5、要有Bachelier、Sprenkle、Bonessz、Samuelson和Trorp、Kassouf等，下面簡單介紹一下他們的研究成果。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型S0：股票初始價格S：股票現(xiàn)價ST：在T時刻股票的價格K：期權的執(zhí)行價格T：期權的到期時間t：現(xiàn)在的時間r：在T時刻到期的投資的無風險收益率C：購買一股股票的歐式看漲期權的價值：股票價格的波動率N（.）：積累正態(tài)分布函數(shù)（其中n（.）為正態(tài)分布的密度函數(shù)）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型根據(jù)定義，積累正態(tài)分布函數(shù)的函數(shù)表達式是：N（d）= dx（12-3）知道了參數(shù)d，我們可以通過查表得到累積正態(tài)分布函數(shù)N（d）

6、的值。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型這些公式都應有以下假設：（1）沒有交易費。（2）可以按無風險利率借入或貸出資金。C=SN（ ）-KN（ ）+ n（ ）（12-4）C=e（T-t）SN（d1）-（1-A）KN（d2）（12-5）其中，表示股票價格的平均增長率；A表示對風險的厭惡程度。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型d1= （12-6）d2=d1- （12-7）C=SN（d1）-Ke-（T-t）N（d2）（12-8）其中，表示股票期望收益率。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型d1= （12-9）d2=d1- （12-10）C=Se-（-）（T-t）N（d1）-Ke-TN（d2

7、）（12-11）其中，表示股票價格的平均增長率；表示期權的平均增長率。d1= （12-12）d2=d1- （12-13）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型2）B-S模型（1）假設條件B-S期權公式主要應用于歐式看漲期權。其假設條件如下：股票價格遵循和為常數(shù)的隨機過程。允許使用全部所得賣空衍生證券。沒有交易費用或稅收，所有證券都是高度可分的。在衍生證券的有效期內沒有紅利支付。不存在套利機會。證券交易是連續(xù)的。無風險利率r為常數(shù)且對所有到期日都相同。有些假設條件可以放松，比如、r和可以是t的函數(shù)。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型（2）布朗運動（維納過程）介紹布朗運動是馬爾科夫隨機過程的一

8、種特殊形式?；揪S納過程如果一個隨機變量z的行為滿足：dz= （12-14）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型一般化維納過程變量x的一般化維納過程用dz定義如下：dx=adt+bdz（12-15）其中，a為漂移率的期望值，b為方差率的期望值。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型伊藤（Ito）過程如果布朗運動的期望漂移率和方差率并非固定不變，而是隨時間的變化而變化，那么，可以得出伊藤過程：dx=a（x，t）dt+b（x，t）dz（12-16）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型（3）股票價格行為dS=Sdt+Sdz（12-17） =t+（12-18） N（t，2t）（12-19）Ln N

9、（t，2t）（12-20）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型 （12-21）StS0 （12-22）E = （12-23）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型（4）伊藤（Ito）定理dX=adt+bdz（12-24）df=（ + a+ b2）dt+ bdz（12-25）dS=Sdt+Sdz（12-26）df=（ + S+2S2）dt+ Sdz（12-27）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型（5）Black-Scholes微分方程Black-Scholes微分方程的基本概念Black-Scholes微分方程是基于不付紅利股票的任何一種衍生證券的價格都必須滿足的方程。12.2布萊克-斯科

10、爾斯（B-S）模型Black-Scholes微分方程的方程式 +rS + 2S2=rf（12-28）風險中性風險中性的假設是求解Black-Scholes微分方程的人為假設，獲得的方程的解對于所有世界都是成立的，而不僅僅是風險中性的世界。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型（6）Black-Scholes期權定價公式f=max（ST-K，0）（12-29）C=e-r（T-t）Emax（ST-k，0）（12-30）C=SN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）（12-31）d1= （12-32）d2=d1- （12-33）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型3）期權定價理論存在的問題（1）期

11、權是基礎證券（2）期權的有效期長于股票期權。（3）期權通常會含有復雜的條款。12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型4）期權定價中的波動率計算（1）通過從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中獲取的股價標準差來計算波動率（2）通過從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中獲取收益率的標準差來計算波動率12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型= （12-34）年=周 （12-35）12.2布萊克-斯科爾斯（B-S）模型12.3.1模型的假定（1）某種股票的現(xiàn)行市場價格為S0。（2）一段時間后，股票的價格可能出現(xiàn)兩種變化：上漲（Su）或者下降（Sd）。假定未來的價格變化只有以上這兩種可能。在看漲期權到期時，期權的價值有可能增加或減少：C上

12、（股價上漲）或C下（股價下跌）。如果期權的協(xié)定價格為K，則有：C上=max（Su-K，0）（12-36）C下=max（Sd-K，0）（12-37）12.3二項式定價模型12.3.2定價原理構造一份無風險資產(chǎn)組合：以無風險利率r，借入數(shù)額為L的資金，用于購買N股股票。這份資產(chǎn)組合的價值就可以表達為：V0=NS0-L（12-38）股票期權到期時，有兩種可能：12.3二項式定價模型C上=NSu-L（1+r）（12-39）C下=NSd-L（1+r）（12-40）N= （12-41）L= （12-42）C0=NS0-L=S0 - （12-43）12.3二項式定價模型C：股票的歐式看漲期權的價格。P：股票

13、的歐式看跌期權的價格。C：股票的美式看漲期權的價格。P：股票的美式看跌期權的價格。12.4期權價格上下限12.4.1期權價格的上限歐式看漲期權或美式看漲期權的持有者有權以某一確定的價格購買一股股票。在任何情況下，期權的價值都不會超過股票的價值。因此，股票價格是期權價格的上限：CS和CS。歐式看跌期權或美式看跌期權的持有者有權以K的價格出售一股股票。無論股票價格變得多么低，期權的價值都不會超過K。因此，PK和PK。對于歐式期權來說，我們知道在T時刻，期權的價值都不會超過K。因此現(xiàn)在期權的價值不會超過K的現(xiàn)值：PKe-r（T-t）（12-44）12.4期權價格上下限12.4.2不付紅利的歐式看漲期

14、權的下限不付紅利的歐式看漲期權的下限是：CmaxS-Ke-r（T-t），0（12-45）證明如下：我們考慮下面兩個組合：組合1：一個歐式看漲期權加上金額為Ke-r（T-t）的現(xiàn)金。組合2：一股股票。12.4期權價格上下限在不存在套利機會的情況下，下列等式是成立的：C+Ke-r（T-t）S（12-46）CS-Ke-r（T-t）（12-47）由于對于一個看漲期權來說，可能發(fā)生的最壞情況是期權到期價值為零，這意味著期權的價值必須為正值，即C0。因此有：CmaxS-Ke-r（T-t），0（12-48）12.4期權價格上下限12.4.3不付紅利的歐式看跌期權的下限對于一個不付紅利股票的歐式看跌期權來說，

15、其價格的下限為：PmaxKe-r（T-t）-S，0（12-49）證明如下：我們考慮下面兩個組合：組合3：一個歐式看跌期權加上一股股票。組合4：金額為Ke-r（T-t）的現(xiàn)金。12.4期權價格上下限在不存在套利機會時，組合3的現(xiàn)在價值一定高于組合4的現(xiàn)在價值。因此：P+SKe-r（T-t）（12-50）PKe-r（T-t）-S（12-51）由于對于一個看跌期權來說，可能發(fā)生最壞情況是期權到期價值為零，所以期權的價值必須為正值，即P0。這意味著：PmaxKe-r（T-t）-S，0（12-52）12.4期權價格上下限12.4.4不付紅利的歐式期權的上下限結合上面的多種情況，我們有以下結論：SCmax

16、S-Ke-r（T-t），0（12-53）Ke-r（T-t）PmaxKe-r（T-t）-S，0（12-54）12.4期權價格上下限12.4.5不付紅利的美式看漲期權的提前執(zhí)行首先，我們給出一個結論：提前執(zhí)行不付紅利的美式看漲期權是不明智的。證明如下：考慮以下兩個組合：組合5：一個美式看漲期權加上金額為Ke-r（T-t）的現(xiàn)金。組合6：一股股票。12.4期權價格上下限在期權到期時，組合5中的現(xiàn)金的價值為K。在此之前的時刻t，其價值為Ke-r（T-t）。如果看漲期權在t時刻執(zhí)行，組合5的價值為：S-K+Ke-r（T-t）（12-55）因此同一種不付紅利股票的美式看漲期權的價值與相同股票的歐式看漲期權

17、的價值相同：C=C（12-56）12.4期權價格上下限由前面的公式，可以證明：CS-Ke-r（T-t）（12-57）再由：CC，有：CS-Ke-r（T-t）（12-58）12.4期權價格上下限12.4期權價格上下限圖12-1股價為S的不付紅利股票的美式看漲期權的價格變化圖12.4.6不付紅利的美式看跌期權的提前執(zhí)行提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權可能是明智的。事實上，在期權有效期內的任意給定的時刻，如果看跌期權的市值額很大，則應該提前執(zhí)行。12.4期權價格上下限假定執(zhí)行價格為10美元，股票價格接近于0。通過立即執(zhí)行期權，投資者可立即獲得10美元，如果投資者等待，則執(zhí)行期權的盈利可能低于10美元，但是

18、由于股票價格不會為負，所以盈利不會超過10美元。另外，現(xiàn)在收到10美元比未來收到10美元要好。這說明期權應立即執(zhí)行。12.4期權價格上下限理論證明如下：考慮下面兩個組合：組合7：一個美式看跌期權加上一股股票。組合8：金額為Ke-r（T-t）的現(xiàn)金。12.4期權價格上下限歐式看跌期權的下限：PKe-r（T-t）-S（12-59）PK-S（12-60）12.4期權價格上下限12.4期權價格上下限圖12-2股價為S的不付紅利股票的美式看跌期權的價格變化圖圖12-3股價為S的不付紅利股票的歐式看跌期權的價格變化圖12.5.1歐式看漲看跌期權平價關系1）看漲看跌期權平價推導過程（1）若STK，在期權到期

19、日t=T時刻，所持有的股票看跌期權不被執(zhí)行，該時點股票看跌期權價值PT=0，看漲期權價值CT=ST-K，上述資產(chǎn)組合在t=T時刻總價值為ST+PT-CT=ST+0-（ST-K）=K。（2）若STP，因此有：PC+Ke-r（T-t）-S（12-67）同時我們知道，C=C，所以有：PC+Ke-r（T-t）-S（12-68）12.5看漲看跌期權平價即為：P-CKe-r（T-t）-S（12-69）或者有：C-PP+S（12-71）因為C=C，所以有：C+KP+S（12-72）C-PS-K（12-73）綜合上面的C-PS-Ke-r（T-t），得出如下結論：S-KC-PS-Ke-r（T-t）（12-74）

20、12.5看漲看跌期權平價【例12-6】考慮不付紅利股票的美式看漲期權，執(zhí)行價格為20，到期期限為5個月，期權價格為1.5，則同一股票相同執(zhí)行價格和到期期限的歐式看漲期權的價格也是如此。假定股票的現(xiàn)價為19，無風險年利率為10%。那么，根據(jù)前面的公式，執(zhí)行價格為20，到期期限為5個月的歐式看跌期權的價格為：12.5看漲看跌期權平價P=C+Ke-r（T-t）-S=1.5+20e-0.10.4167-19=1.68那么有：S-KC-PS-Ke-r（T-t）19-20C-PP-C0.1812.5看漲看跌期權平價12.6.1看漲期權和看跌期權的下限12.6.2美式期權提前執(zhí)行的情況12.6.3看漲與看跌期權之間的平價關系12.6期權定價的紅利因素12.6.1看漲期權和看跌期權的下限組合11：歐式看漲期權加上金額為D+Ke-r（T-t）的現(xiàn)金。組合12：一股股票。經(jīng)過與上文類似的推導過程，能夠得出：CS-D-Ke-r（T-t）（12-75）組合13：歐式看跌期權加上一股股票。組合14：金額為D+Ke-r（