經(jīng)濟數(shù)學（第六版）第6章定積分

1、經(jīng)濟數(shù)學 （第六版）1第1章函數(shù)2第2章極限與連續(xù)3第3章導數(shù)與微分4第4章導數(shù)的應用5第5章不定積分6第6章定積分目錄CONTENTS7第7章多元函數(shù)的微積分CHAPTER06第6章定積分在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看做人類精神的最高勝利了.如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里。恩格斯06學習目標知識目標了解定積分的概念及幾何意義.0102掌握定積分的基本公式和運算法則,以及定積分的計算方法,能利用Mathematica軟件計算定積分；能運用定積分解決經(jīng)濟活動中的求總函數(shù)、優(yōu)化、生產(chǎn)者剩余和消費者剩余等問題.03培養(yǎng)學生精益求

2、精、勇于探索的科學精神.技能目標素養(yǎng)目標06PART6.1定積分的概念點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本首先我們從求曲邊梯形的面積開始討論.所謂曲邊梯形就是由三條直線與一條曲線所圍成的圖形,形成其邊界的兩條直線互相平行且與第三條直線垂直,而兩條平行直線中的每一條跟曲線至多相交于一點(如圖6-1(a)所示).平行直線中的一條或兩條可能會縮成一點(如圖6-1(b)、圖6-1(c)所示),這些可看成是曲邊梯形的特殊情形.如果是矩形或一般的直角梯形,那么我們由直接的公式可以求得其面積.而對于上述這種曲邊梯形,我們可以用下面的方法來求得其面積.引例6. 1. 1點擊添加文本點擊添加文本點擊

3、添加文本點擊添加文本引例6. 1. 1【例6-1】求由曲線y=x2,直線x=1以及x軸所圍成的曲邊梯形(如圖6-2所示)的面積A的近似值.解：略點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的定義6. 1. 2在【例6-1】中,我們將求曲邊梯形的面積的問題歸結為求某種和式的極限.在很多實際問題中,都會出現(xiàn)類似的解決問題的思想方法和步驟.由此我們給出下面的定義.定義6-1設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有定義,用點a=x0 x1x2xn=b將區(qū)間a,b任意分成n個小區(qū)間xi-1,xi(i=1,2,n),其長度為xi=xi-xi-1,在每個小區(qū)間xi-1,xi上任意取一點i(xi-1ixi),

4、作和式 ,如果極限 存在,且此極限與a,b的分法以及i的取 法無關,則稱函數(shù)f(x)在a,b上是可積的,并稱此極限值為f(x)在 a,b上的定積分,記做 ,即:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的定義6. 1. 2關于定積分的定義有三點說明:(1)如果函數(shù)f(x)在a,b上可積,則定積分 的值與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間a,b有關,而與積分變量用什么字母表示無關,即:(2)定義中假定ab,如果ba,我們規(guī)定 ,特別地,當a=b時,規(guī)定(3)若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),或f(x)在a,b上有界,且只有有限個間斷點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積.點擊添加文本點擊添加文本點

5、擊添加文本點擊添加文本定積分的幾何意義6. 1. 3將被積函數(shù)y=f(x)(axb)看做曲邊梯形的曲邊方程,當f(x)0時,定積分 f(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)和三條直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積(如圖6-3(a)所示);當f(x)0時,由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定積分 f(x)dx在幾何上表示對應曲邊梯形面積的負值(如圖6-3(b)所示).若規(guī)定x軸上方圖形的面積取正值,x軸下方圖形的面積取負值,則一般函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的定積分 f(x)dx在幾何上表示x軸上方圖形的面積與x軸下方圖形的面積的代數(shù)和(

6、如圖6-3(c)所示).06PART6.2定積分的性質點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本假設函數(shù)f(x),g(x)在所討論的區(qū)間上都是可積的.性質1常數(shù)因子可以提到積分號前,即:性質2兩個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和,即:性質3如果積分區(qū)間a,b被點c分成兩個小區(qū)間a,c與c,b,即若acb,則:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本性質4當被積函數(shù)f(x)為1時,則定積分的值等于積分區(qū)間的長度,即:性質5如果在區(qū)間a,b上f(x)g(x),則:性質6如果函數(shù)f(x)在a,b上的最大值與最小值分別為M和m,則:性質7(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a

7、,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點,使得:06PART6.3定積分和不定積分的關系點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本積分上限函數(shù)及其導數(shù)6.3.1設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),且設x為a,b上的任意一點.顯然f(x)在部分區(qū)間a,x上可積,考察f(x)在部分區(qū)間a,x上的定積分 ,式中,x既表示定積分的上限,又表示積分變量.因為定積分與積分變量的符號無關,為避免引起混淆,我們把積分變量x換成t,于是f(x)在a,x上的定積分改寫成:定理6-1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則積分上限的函數(shù) 在a,b上可導,并且它的導數(shù)等于函數(shù)f(x),即:點擊添加文本點擊添加文本點擊添

8、加文本點擊添加文本積分上限函數(shù)及其導數(shù)6.3.1【例6-2】【例6-3】點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本牛頓萊布尼茲公式6.3.2定理6-2 (微積分基本定理)設f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則有:這就是著名的牛頓-萊布尼茲(Newton-Leibnitz)公式,又稱為微積分基本公式.【例6-2】06PART6.4定積分的換元積分法與分部積分法點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本牛頓-萊布尼茲公式給出了一個計算連續(xù)函數(shù)f(x)的定積分 的有效、簡便的方法,即求函數(shù)f(x)的原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量.它反映了定積分計算與不定積分計算有

9、著密切的聯(lián)系.因此在一定的條件下,不定積分中的換元法在定積分的計算中同樣可以應用.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的換元積分法6.4.1【例6-2】點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的換元積分法6.4.1一般地,有下面的定理:定理6-3設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),令x=(t),如果:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的換元積分法6.4.1由定理6-2及例6-10可知,在運用換元法計算定積分時應注意以下兩點:21用變量代換x=(t)把原來變量x代換成新變量t時,積分限一定要換成相應于新變量t的積分限;求出f(t)(t)的一個原函

10、數(shù)F(t)后,不需要再把t變換成原來變量x的函數(shù),而只需把新變量t的上、下限分別代入F(t)中,然后求出增量即可.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的換元積分法6.4.1【例6-11】點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的換元積分法6.4.1【例6-12】點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本定積分的分部積分法6.4.2設函數(shù)u=u(x),v=v(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)導數(shù),則有(uv)=uv+uv,即uv=(uv)-uv,等式兩端在a,b上的定積分為 ，即:這就是定積分的分部積分公式.【例6-15】點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加

11、文本定積分的分部積分法6.4.2【例6-16】【例6-17】06PART6.5廣義積分點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本前面我們是在有限區(qū)間上討論有界函數(shù)的定積分.但是,無論在理論研究還是實際應用中,往往會遇到無窮區(qū)間上的函數(shù)積分問題和無界函數(shù)的積分問題,我們稱這種類型的積分為廣義積分.本節(jié)僅介紹無窮區(qū)間上的廣義積分.定義6-2點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本【例6-18】【例6-19】06PART6.6定積分的應用點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平面圖形面積的計算6.6.11)曲邊梯形的面積由定積分的幾何意義可知,曲線y=f(x)(f(x)0),

12、直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形(如圖6-3(a)所示)的面積為:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平面圖形面積的計算6.6.1【例6-21】計算由曲線y=-x2+4x-3與x軸所圍成的平面圖形的面積.解:由曲線y=-x2+4x-3與x軸所圍成的平面圖形如圖6-5所示,求出曲線與x軸的交點坐標為(1,0),(3,0).所求面積為:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平面圖形面積的計算6.6.12)兩條曲線所圍成的平面圖形的面積若平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)以及直線x=a,x=b所圍成(如圖6-9所示),則其面積的計算公式

13、為:即所求平面圖形面積可看做由曲線y=f(x),直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積與由曲線y=g(x),直線x=a,x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積之差.點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平面圖形面積的計算6.6.1【例6-24】計算由曲線y=x2+1,直線y=2x-2,x=-1和x=2所圍成的平面圖形的面積.解:所求平面圖形如圖6-10所示.根據(jù)(6.13)式,f(x)=x2+1,g(x)=2x-2,可知所求平面圖形面積為:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本經(jīng)濟上的應用6.6.2在第4章中,我們介紹過邊際函數(shù)及其在經(jīng)濟上的應用.例如,收益函數(shù)R(

14、Q)的導函數(shù)R(Q)為邊際收益,成本函數(shù)C(Q)的導函數(shù)C(Q)為邊際成本.由于積分運算與微分運算的互逆關系,定積分在經(jīng)濟以及商務上的應用也相當廣泛.這里我們就定積分在已知邊際函數(shù)求原經(jīng)濟函數(shù)、已知邊際函數(shù)求最大利潤以及消費者剩余和生產(chǎn)者剩余等問題上的應用作一些簡單的介紹.1)已知邊際函數(shù)求原經(jīng)濟函數(shù)的問題利用牛頓-萊布尼茲公式 ,我們可以對已知的邊際函數(shù)F(x)在區(qū)間0,x求定積分,從而得到原經(jīng)濟函數(shù):點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本經(jīng)濟上的應用6.6.2【例6-28】已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x個單位時的邊際收益為R(x)=100-2x(元/單位),求生產(chǎn)40個單位時的總收益,并求出再

15、增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收益.解:由(6.17)式可知,生產(chǎn)40個單位時的總收益為:再增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收益為:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本經(jīng)濟上的應用6.6.22)已知邊際函數(shù)求最大利潤問題【例6-31】設某生產(chǎn)企業(yè)的固定成本為20,邊際成本為C(x)=0.4x+2,邊際收益為R(x)=18,試求其最大利潤.解:首先求出獲得最大利潤的產(chǎn)量.由利潤最大化原則可知,邊際收益與邊際成本相等,即R(x)=C(x).所以有18=0.4x+2,解得x=40.由于L(x)=R(x)-C(x)=18-(0.4x+2)=16-0.4x,L(x)=-0.40,又因為僅有一個

16、極值點,所以在x=40時,企業(yè)獲得最大利潤,最大利潤為:點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本經(jīng)濟上的應用6.6.23)消費者剩余與生產(chǎn)者剩余前面我們曾介紹過市場經(jīng)濟中的需求曲線和供給曲線,它表示生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商品的供給與需求曲線來描述.對大多數(shù)生產(chǎn)者和消費者來說,商品的價格必定是被看做自變量的,因為它一般是由總的市場來確定的,生產(chǎn)者和消費者都無法改變它.于是,供給量和需求量就被看做依賴于價格的.換言之,數(shù)量被當成是價格的函數(shù).可是,雖然在這里我們把價格當成是一個自變量,但經(jīng)濟學上習慣于把價格作為縱軸,而把商品數(shù)量作為橫軸.圖6-15給出了典型的需求曲線與供給曲線的圖形.06PART6.7Mathematica軟件介紹點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本本節(jié)介紹在Mathematica軟件中如何求定積分. 命令格式:Integrate