函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)講稿

1、關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函

2、數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級(jí)數(shù)的基本概念。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂判別法。第二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié) 冪 級(jí) 數(shù)一. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二. 冪級(jí)數(shù)及其斂散性三. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算第三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 可以利用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的知識(shí)來處理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的收斂點(diǎn) .的發(fā)散點(diǎn) .第六張，PPT共四十九

3、頁，創(chuàng)作于2022年6月它的收斂域, 記為 D .它的發(fā)散域 .第七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).第八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)之和為其部分和：不論級(jí)數(shù)在點(diǎn)處是否收斂, 均可寫出其部分和.如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂, 則有第九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法, 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用.第十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月并求其收斂域.即原級(jí)數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是絕對(duì)收斂的.所求收斂域?yàn)榻饫?第十一張，

4、PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月的斂散性, 并求其收斂域.這是等比級(jí)數(shù).故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 要打開思路!解例2第十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個(gè)問題在級(jí)數(shù)一致收斂的條件下, 以上兩個(gè)問題的答案是: 肯定成立 .第十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一致收斂性的定義由定義: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂則必收斂.第十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)以及和函數(shù)都是定義在收斂域 D 上的函數(shù), 故可以運(yùn)用函數(shù)極限中的柯西準(zhǔn)則來判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性.請(qǐng)看書中的柯西收斂原理!第十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)

5、作于2022年6月 魏爾斯特拉斯利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法創(chuàng)建了一個(gè)十分有用和十分重要的一致收斂判別法魏爾斯特拉斯判別法.魏爾斯特拉斯判別法關(guān)鍵!第十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證例3第十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 其中, 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).1. 冪級(jí)數(shù)的定義二. 冪級(jí)數(shù)及其斂散性第十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級(jí)數(shù)的一般形式為第十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí), 由可知, 不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜, 我們可以用多項(xiàng)式來近似它. 當(dāng) n 的值充分大時(shí), 這種代替可達(dá)到相當(dāng)?shù)木?第二十張，PPT共

6、四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由此可聯(lián)想到什么？2. 冪級(jí)數(shù)的斂散性首先進(jìn)行分析：則由收斂的必要條件 , 有而有極限的量必有界 , 故第二十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月它是收斂的, 結(jié)論:第二十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）收斂以上分析結(jié)論的圖示:第二十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）發(fā)散若在外部一點(diǎn)收斂, 會(huì)怎么樣？若在內(nèi)部一點(diǎn)收斂, 會(huì)怎么樣？不怎么樣推出第二十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月則由上面的分析可知, 所有滿足這與假設(shè)矛盾. 該矛盾說明: 當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散 .第二十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由以上的分析

7、發(fā)現(xiàn)：既有收斂點(diǎn), 又有發(fā)散點(diǎn), 則從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸往右(左)走, 最初只可能遇到它的收斂點(diǎn) ,然后就會(huì)只遇到它的發(fā)散點(diǎn), 這兩部分的分界是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的, 冪級(jí)數(shù)在分界點(diǎn)處可能收斂, 也可能發(fā)散.現(xiàn)將以上的分析用圖表示出來.第二十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）收發(fā)冪級(jí)數(shù)在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間內(nèi)收斂, 在此區(qū)間外發(fā)散 , 在區(qū)間端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)可能收斂 , 也可能發(fā)散 .當(dāng)冪級(jí)數(shù)僅在第二十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 現(xiàn)在請(qǐng)你回想并歸納一下我們剛才進(jìn)行的分析工作, 給出你的結(jié)論.第二十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月阿貝爾定理第二十九

8、張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級(jí)數(shù)斂散性定理都存在一個(gè)非負(fù)第三十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級(jí)數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負(fù)數(shù) R 為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 如何求收斂半徑？第三十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月求收斂半徑的定理 你能證明嗎? 有點(diǎn)像達(dá)朗貝爾判別法？第三十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由達(dá)朗貝爾判別法：討論要證第三十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月故此時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散, 僅當(dāng)?shù)谌鶑?，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于202

9、2年6月例3解綜上所述, 得:第三十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月誰的收斂半徑？例4解第三十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法, 可知此時(shí)級(jí)數(shù)收斂.第三十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解第四十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 可知綜上所述, 第四十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月這是一個(gè)缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù), 不能直接運(yùn)用求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式. 今后遇到這類級(jí)數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的情形處理, 通常是采用達(dá)朗貝爾判別法.例6解第四十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的解析運(yùn)算三. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算第四十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)則有以下運(yùn)算規(guī)則第四十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 加、減法第四十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 乘 法 ( 對(duì)角線法 )第四十