函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）0 右側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極大值; (2):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極小值.解方程f/(x)=0.當(dāng)f/(x)=0時(shí):第11頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一 x(-,-a) -a(-a,0)(0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(

2、x) 極大值-2a 極小值2a 故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.例2:求函數(shù) 的極值.解:函數(shù)的定義域?yàn)榱?,解得x1=-a,x2=a(a0).當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表:第12頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一練習(xí)1:求函數(shù) 的極值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時(shí), ,y的變化情況如下表: x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值-3 極小值3 因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時(shí)有極小值,并且,y極小值

3、=- 3.第13頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值. (2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜 率為k,試討論k-1成立的充要條件 . 解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.由于當(dāng)x0時(shí), 故當(dāng)x=0時(shí),f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等價(jià)于當(dāng) 時(shí),-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對(duì)一切 恒成立.由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.反之,當(dāng)a1時(shí)

4、,g(x)0對(duì)一切 恒成立.所以,a1是k-1成立的充要條件. 第14頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 由表可得 ,即 .第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值 極大值 由表

5、可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根x=1,故3+2a+b=0.又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或當(dāng)a=-3,b=3時(shí), ,此時(shí)f(x)在x=1處無(wú)極值,不合題意.當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/11x1時(shí), ,此時(shí)x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一第二課時(shí)第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年

6、，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一一、復(fù)習(xí):1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0 附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x) 的一個(gè)極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函 數(shù)值都小,我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值.極 大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方 法是: (1):如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么,f(x0)是極大值; (2):如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么,f(x0)是極小值.3.理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，

7、9點(diǎn)38分，星期一(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi) 部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn).(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值.(3)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系,即極大值不 一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是 有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值 點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn). 一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn) 是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不

8、是 充分條件.第20頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期一例1:已知函數(shù) f(x)滿足條件:當(dāng)x2時(shí), ;當(dāng) x2,由條件可知 ,即:當(dāng) 時(shí),x20,故 有不相等的兩實(shí)根、,設(shè).又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的圖象開(kāi)口向下,g(x)的值在的右正左負(fù),在的左正右負(fù).注意到 與g(x)的符號(hào)相同,可知為極小值點(diǎn),為極大值點(diǎn).第23頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，