剛體的平面運(yùn)動(dòng)

1、剛體的平面運(yùn)動(dòng)第1頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 什么是剛體的平面運(yùn)動(dòng)？ 請(qǐng)先看三個(gè)動(dòng)畫 ：動(dòng)畫1第2頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 動(dòng)畫2第3頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 動(dòng)畫3 沿直線軌道滾動(dòng)的車輪，曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿的運(yùn)動(dòng)以及行星齒輪機(jī)構(gòu)中行星輪的運(yùn)動(dòng)都是剛體的平面運(yùn)動(dòng)。它們的運(yùn)動(dòng)都有一個(gè)共同的特點(diǎn)： 剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體內(nèi)任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離。剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng)。 第4頁(yè)，共2

2、3頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 剛體平面運(yùn)動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化 先看動(dòng)畫 ： 結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。 第5頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 1.平面運(yùn)動(dòng)的分解 運(yùn)動(dòng)的合成和分解的概念也可應(yīng)用于剛體的運(yùn)動(dòng)。以車輪滾動(dòng)為例說(shuō)明。 上述方法可用來(lái)研究任何平面圖形的運(yùn)動(dòng)。 第6頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 于是，圖形S的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)（對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)）是所研究的平面運(yùn)動(dòng),它的相對(duì)

3、運(yùn)動(dòng) （對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)）是繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)，它的牽連運(yùn)動(dòng)（動(dòng)系對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)）則是以基點(diǎn)A為代表的平動(dòng)。因此，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。 14.1. 3 平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 請(qǐng)看動(dòng)畫。在平面圖形上任取一點(diǎn)A為平動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)xy的原點(diǎn)，A點(diǎn)稱為基點(diǎn)。 第7頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本概念 14.1. 3 平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 2平面運(yùn)動(dòng)的分解與基點(diǎn)選擇的關(guān)系 請(qǐng)看動(dòng)畫。平面圖形S在時(shí)間間隔t內(nèi)由位置運(yùn)動(dòng)至位置。 這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可以這樣認(rèn)為：平面圖形S首先以A點(diǎn)為基點(diǎn)平動(dòng)到位置，而后再繞A1點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)至位置；也

4、可以認(rèn)為是：平面圖形S先以B點(diǎn)為基點(diǎn)平動(dòng)到B1A1位置，而后再繞B1點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)至位置。上述兩種看法都可表達(dá)出平面圖形S某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，得到相同的運(yùn)動(dòng)結(jié)果。但是，選取不同的基點(diǎn)，其平動(dòng)部分在時(shí)間間隔t內(nèi)走的位移不相同，當(dāng)然平動(dòng)速度也就不相同；而在同一時(shí)間間隔t內(nèi)，不論基點(diǎn)如何選取，平面運(yùn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角位移是相同的，所以平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度都是相同的。即剛體平面運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)速度與基點(diǎn)的選取有關(guān)，而剛體平面運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。第8頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 1 基點(diǎn)法 如圖所示，已知某瞬時(shí)平面

5、圖形S上A點(diǎn)的速度vA和平面圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，求圖形S上任一點(diǎn)B的速度。 取點(diǎn)A為基點(diǎn)。由于平面圖形S的運(yùn)動(dòng)可看成隨基點(diǎn)A的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）和繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合成?？梢杂命c(diǎn)的速度合成定理求解。即 即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。這就是基點(diǎn)法，或稱平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法，是求平面運(yùn)動(dòng)圖形上任一點(diǎn)速度的基本方法。 (a)因 ，代如（a)式，得：（14.1）第9頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 1 基點(diǎn)法 例14.1 發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA長(zhǎng)為r = 200 m

6、m,以勻角速度2 rad/s繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿AB長(zhǎng)為l = 990 mm。試求當(dāng)OAB90時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。 解： （1）選連桿AB為研究對(duì)象，連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)。由于連桿上點(diǎn)A速度已知，所以選點(diǎn)A為基點(diǎn)。(2)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可視為隨基點(diǎn)A的平移與繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。 式中，vA=r= 2002 = 400 mm/s , 方向垂直O(jiān)A。 vAB垂直AB，指向和大小未知。 B點(diǎn)絕對(duì)速度vB沿水平方向。作出速度平行四邊形。 由基點(diǎn)法 ：第10頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 1 基點(diǎn)法 方向如圖所示

7、。 由幾何關(guān)系得 ：，其方向?yàn)樗椒较颉?連桿AB的角速度為 ：，其轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉?第11頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 上式表明，在該瞬時(shí)平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可看成繞點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)。這個(gè)速度恰好為零的點(diǎn)，稱為平面圖形在該瞬時(shí)的速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心或瞬心。 平面圖形在其自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中任意一點(diǎn)M的速度滿足下式： 式中， 表示基點(diǎn)的速度。由于基點(diǎn) 的選擇是任意的，若在平面圖形（或其延伸部分）能找到這樣一點(diǎn)C，其在該瞬時(shí)的速度vc= 0,取該點(diǎn)為基點(diǎn)，則上式具有如下的形式，即 ：第

8、12頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 方向與CM垂直且順著的轉(zhuǎn)向。這種應(yīng)用速度瞬心來(lái)求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的方法，稱為速度瞬心法。 以車輪為例近一步理解速度瞬心的概念。 那么,某瞬時(shí)平面圖形上是否存在速度為零的點(diǎn)呢？如果存在的話，我們?nèi)绾握业剿?？?qǐng)看推導(dǎo) 。 可見(jiàn)，只要找到平面圖形在某一瞬時(shí)的瞬心位置，則圖形內(nèi)其它各點(diǎn)在此瞬時(shí)的絕對(duì)速度就等于它們繞瞬心C轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。以點(diǎn)M為例。若該點(diǎn)到瞬心C的距離為 ,則其速度大小為: 第13頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14.

9、 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。下面分別加以討論：(1) 如圖所示，物體沿固定面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)（純滾動(dòng)）。此時(shí)，物體與固定面的相互接觸點(diǎn)的速度相同。由于固定面的速度為零，故物體上與固定面相接觸的點(diǎn)C的速度也為零，因此該點(diǎn)即為此瞬時(shí)的瞬心。 第14頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(2)如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)的速度 、 的方向，則通過(guò)這兩點(diǎn)分別作速度 、 的垂線，

10、這兩條垂線的交點(diǎn)C,就是此瞬時(shí)的瞬心。第15頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(3)如圖所示， A、B兩點(diǎn)的速度 、 大小不等、方向互相平行且都垂直于AB連線，則瞬心必在AB連線或AB的延長(zhǎng)線上。此時(shí)，須知道A、B兩點(diǎn)速度的大小才能確定瞬心的具體位置。如圖所示，瞬心C位于 、 兩矢量終點(diǎn)連線與AB直線的交點(diǎn)處。 第16頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一(4)如圖所示， 任意兩點(diǎn)A、B的速度 、 相互平行，且 = ，則該瞬時(shí)圖

11、形的瞬心C在無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)圖形的角速度為零，圖形上各點(diǎn)的速度都相同。這種情況稱為瞬時(shí)平移。 14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。第17頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一14. 2 平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 當(dāng)剛體作瞬時(shí)平移時(shí)，雖然此瞬時(shí)的角速度為零，各點(diǎn)速度相同，但各點(diǎn)的加速度并不相同，角加速度不等于零，故下一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度便不再相同，剛體也不再作瞬時(shí)平移。 必須指出，剛體在作平面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，作為瞬心的那一點(diǎn)的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。 例14.2例14.3補(bǔ)充例題1補(bǔ)充例題2第18頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15