剛體的動(dòng)量與角動(dòng)量

1、剛體的動(dòng)量與角動(dòng)量2022/9/3鄭建洲1第1頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲25- 1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 剛體rigid body 剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，無(wú)論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。2、剛體的平動(dòng)：translation of a rigid body 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。第2頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一剛體的平動(dòng)過(guò)程bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第3頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期

2、一剛體的平動(dòng)過(guò)程bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第4頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bcab剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第5頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第6頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第7頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第8頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第9頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第10頁(yè)，共7

3、6頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第11頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲12 剛體在平動(dòng)時(shí)，在任意一段時(shí)間內(nèi)，剛體中所質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)第12頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一3. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)rotation of a rigid body around

4、 a fix axis 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。第13頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲14特點(diǎn)：角位移，角速度和角加速度均相同；質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位移角速度角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的角量描述:第14頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲154. 角速度矢量 angular velocity vector角速度 角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。角速度矢量 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸

5、方向。第15頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲165、角量與線量的關(guān)系:對(duì)時(shí)間微分方向?qū)τ趧蚣铀俎D(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:第16頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲17(1) 滑輪的角加速度。(2) 開(kāi)始上升后,5秒末滑輪的角速度(3) 在這5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。(4) 開(kāi)始上升后,1秒末滑輪邊緣上 一點(diǎn)的加速度(不打滑) 。解: (1) 輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與 物體的加速度相等 ar例題5-1:一條纜索繞過(guò)一定滑論拉動(dòng)一升降機(jī),滑論半徑為0.5m, 如果升降機(jī)從靜止開(kāi)始以 a=0.4m/s2 勻加速上升,求：

6、第17頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲18(2)(3)(4)ar合加速度的方向與輪緣切線方向夾角已知at=a=0.4m/s2第18頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲19*例題5-2 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻 地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。（1）求角加速度a 和飛輪從制動(dòng)開(kāi)始到靜止所轉(zhuǎn)過(guò) 的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動(dòng)開(kāi)始后t=25s 時(shí)飛 輪的加速度 ；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速 度和加速度。角速度0vanatarO解 （1）設(shè)初角度為0方向如圖所示

7、，第19頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲20 量值為0=21500/60=50 rad/s，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S 時(shí)刻 =0 ，代入方程=0+at 得角速度 從開(kāi)始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為第20頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲21角速度 （2）t=25s 時(shí)飛輪的角速度為第21頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲22（3）t=25s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P 的速度。的方向與0相同 ； 的方向垂直于 和 構(gòu)

8、成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為角速度由第22頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲23邊緣上該點(diǎn)的加速度 其中 的方向與 的方向相反， 的方向指向軸心， 的大小為 的方向幾乎和 相同。角速度第23頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲24例題5-3 一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用表示為 at+bt3-ct4將此式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為角加速度是角速度對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，因此得由此可見(jiàn)飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)

9、動(dòng)。角速度第24頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲255-2 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 Work and energy in the rotation 1.力矩的功 work done by torque 力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。 力 對(duì)P 點(diǎn)作功：00 第25頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲26因力矩作功： 對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。力矩的功00 第26頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/

10、9/3鄭建洲27A、所謂力矩的功，實(shí)質(zhì)上還是力的功，并無(wú)任何關(guān)于力矩的功的新的定義，只是在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，用力矩和角位移的積來(lái)表示功更為方便而己。B、對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過(guò)程中均為零。（內(nèi)力成對(duì)，大小相等方向相反，一對(duì)內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；內(nèi)力矩的功總和為零。另一角度，內(nèi)力的功 相對(duì)位移為零 .）C、功率： 當(dāng) M 與 同方向，A 和P 為正 當(dāng) M 與 反方向， A 和P 為負(fù)說(shuō)明：第27頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲281).剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的,第 i 小塊質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能總動(dòng)能:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

11、rotational kinetic energy of a rigid body第28頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲292).轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:rotational inertia (moment of inertia)如果剛體是連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義平動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能動(dòng)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)：角動(dòng)量可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度第29頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲30說(shuō)明： A、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理也與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中講的動(dòng)能定理 相同，只是動(dòng)能的表示形式不同而己， B、對(duì)剛體，內(nèi)力的功總和在

12、任何過(guò)程中都為零。3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律rotational kinetic energy theorem把質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理應(yīng)用到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，由于剛體內(nèi)各個(gè)質(zhì)元間相互不作功，Ainr=0, 而Aext=Md.則剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。第30頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲314、剛體的重力勢(shì)能:xyzoC第31頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲32質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫成積分形式5.3 轉(zhuǎn)

13、動(dòng)慣量的計(jì)算Calculation of moment of inertia (Calculation of rotational inertia)按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有第32頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲33轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算區(qū)別：平動(dòng)： 平動(dòng)動(dòng)能 線動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)： 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 角動(dòng)量第33頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一例題5.4 P146,均勻圓環(huán) ：dmC R第34頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲35轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例題

14、5.5 求圓盤對(duì)于通過(guò)中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、 寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的 質(zhì)量dm= 2rdr ?？傻玫?5頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲36例5.5 : 計(jì)算質(zhì)量為m, 半徑為R, 厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 軸與盤面垂直并通過(guò)盤心。l解: 圓盤可以認(rèn)為由許多圓環(huán)組成。實(shí)心圓柱對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量R0第36頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲37例題5.6 求質(zhì)量為m、長(zhǎng)

15、為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直； *（3）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn) 并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh第37頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲38llOxdxA解 如圖所示，在棒上離軸x 處，取一長(zhǎng)度元dx，如棒的質(zhì)量線密度為，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=dx。 （1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)，我們有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算第38頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲39因=m/ l ，代入得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（2）當(dāng)

16、轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并和棒垂直時(shí)，我們有l(wèi)xdxA第39頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲40轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂 直時(shí)，我們有 這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。lOxdxABh第40頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲41哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？第41頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲42轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與材料性質(zhì)有關(guān)平行軸定理:剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,等于對(duì)過(guò)中心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

17、、 與二軸間的垂直距離d的平方和剛體質(zhì)量的乘積之和。證明略，見(jiàn)例題5.6（3）第42頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲43 定軸（相當(dāng)于 ） 剛體所受到的對(duì)于給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律微分形式：5.4 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律 law of rotation of a rigid body兩邊除以dt:第43頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲44ammmRMh例題5.8. 已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計(jì)，求：物體由靜止開(kāi)始下落h 高度時(shí)的速度和滑輪的角速度。T1T2mgT1=T

18、2=T 0+）第44頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲45m1Rm2*例5.9. 物體 m1m2，滑輪（R，m）。阻力 矩Mf ， 繩子質(zhì)量忽略，不伸長(zhǎng)、不打滑。 求重物的加速度及繩中張力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf第45頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲461.不計(jì)軸上摩擦 Mf=0第46頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲473.不計(jì)軸上摩擦、不計(jì)滑輪質(zhì)量(Mf=0, m=0)2.不計(jì)滑輪質(zhì)量 m=0第47頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20

19、日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲48解：外力：重力、軸的作用力重力勢(shì)能的減少1)、例5.9：一勻質(zhì)細(xì)桿（l，m）繞光滑水平軸在豎直面內(nèi) 轉(zhuǎn)動(dòng),初始 時(shí)在水平位置，靜止釋放，求: 1)、豎直位置時(shí)重力所作的功; 2)、下落角 時(shí)的角加速度、角速度; *3)、豎直位置時(shí)軸端所受的力。mg 2）、由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：第48頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲49l2l2lll2l2由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A和中心點(diǎn)C的速度分別為第49頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲50*3、轉(zhuǎn)動(dòng)mgNC質(zhì)心運(yùn)

20、動(dòng)mg llll第50頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲51質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：因vi垂直于Ri,，所以Li的大小為剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。L并不和OZ 方向一致。感興趣的OZ的分量Lz,叫做剛體繞定軸的角動(dòng)量，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J一、剛體的角動(dòng)量angular momentum of a rigid body5.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒law of conservationof angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis第51頁(yè)，共76頁(yè)，20

21、22年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis 轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量-角動(dòng)量定理。 所以 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律第52頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一 當(dāng)物體所受合外力矩等于零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。-角動(dòng)量守恒定律若則由角動(dòng)量定理三、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律law of conservation of angular momentum of a rotational

22、rigid body around a fix axis角動(dòng)量守恒定律：第53頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲54討論：a.對(duì)于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，因J 保持不變， 當(dāng)合外力矩為零時(shí)，其角速度恒定。J=恒量第54頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲55b.若系統(tǒng)由若干個(gè)剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時(shí),系 統(tǒng)的角動(dòng)量依然守恒。J 大 小,J 小 大。c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生，若對(duì)某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第55頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20

23、日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲56LABABCC常平架上的回轉(zhuǎn)儀應(yīng)用事例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律精確制導(dǎo)第56頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲57應(yīng)用事例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律直升飛機(jī)第57頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲58直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第58頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲59例5.10 一長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。

24、當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0 的子彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過(guò)程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無(wú)外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第59頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲60(2)子彈隨桿一起繞軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)

25、能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：由角動(dòng)量守恒，得： (1)勢(shì)能零點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第60頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲61由機(jī)械能守恒，E=E0, 代入q=300，得：將上式與 聯(lián)立，并代入J 值，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第61頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲62例5.11：圓盤（R，M），人（m）開(kāi)始靜止，人走一 周，求盤相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度 解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒人 ，盤第62頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲63例題5-12*

26、圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J= 2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對(duì)于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問(wèn)噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u-uL0Lg解 把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為m?？梢哉J(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第63頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲64所以原來(lái)系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近

27、似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即 在噴氣過(guò)程中，以dm表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dm r(u+v)，方向與飛船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率v(= r) ，所以此角動(dòng)量近似地等于dm ru。在整個(gè)噴氣過(guò)程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第64頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲65當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即為在整個(gè)噴射過(guò)程中，系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒，即L0=L1 ，由此得即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

28、剛體的角動(dòng)量守恒定律第65頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲66于是所需的時(shí)間為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第66頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲67例題5-13* 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為m，可繞通過(guò)其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度h，并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解： 這個(gè)問(wèn)題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階

29、段是棒自由擺落的過(guò)程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能CO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第67頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲68零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則（1） 第二階段是碰撞過(guò)程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則（2）式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的

30、角動(dòng)量守恒定律第68頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲69第三階段是物體在碰撞后的滑行過(guò)程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為（3）由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得（4）亦即由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第69頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲70亦即l6s；當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為亦即l 6s 棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求結(jié)果為當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為(6)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第70頁(yè)，共76頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)58分，星期一2022/9/3鄭建洲71例題4-14 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2 。開(kāi)始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合