數(shù)學(xué)模型案例分析庫

1、數(shù)學(xué)模型案例分析庫目錄TOC o 1-1 h u HYPERLINK l _Toc24677 數(shù)學(xué)模型案例1雨中行走問題 PAGEREF _Toc24677 h 2 HYPERLINK l _Toc18937 數(shù)學(xué)模型案例2動物的身長與體重問題 PAGEREF _Toc18937 h 4 HYPERLINK l _Toc3845 數(shù)學(xué)模型案例3實(shí)物交換問題 PAGEREF _Toc3845 h 6 HYPERLINK l _Toc10207 數(shù)學(xué)模型案例4森林救火模型 PAGEREF _Toc10207 h 8 HYPERLINK l _Toc4961 數(shù)學(xué)模型案例5導(dǎo)彈核武器競賽 PAGER

2、EF _Toc4961 h 11 HYPERLINK l _Toc10561 數(shù)學(xué)模型案例6鋪瓷磚問題 PAGEREF _Toc10561 h 12 HYPERLINK l _Toc21328 數(shù)學(xué)模型案例7工廠地址選擇的數(shù)學(xué)模型 PAGEREF _Toc21328 h 13 HYPERLINK l _Toc30001 數(shù)學(xué)模型案例8倉庫地址選擇的圖論模型 PAGEREF _Toc30001 h 18 HYPERLINK l _Toc30848 數(shù)學(xué)模型案例10隨機(jī)性決策模型 PAGEREF _Toc30848 h 26 HYPERLINK l _Toc7565 數(shù)學(xué)模型案例12隨機(jī)型存儲模型

3、 PAGEREF _Toc7565 h 28 HYPERLINK l _Toc24661 數(shù)學(xué)模型案例13投資組合問題 PAGEREF _Toc24661 h 34 HYPERLINK l _Toc14045 數(shù)學(xué)模型案例庫14微分方程模型 PAGEREF _Toc14045 h 43 HYPERLINK l _Toc30175 數(shù)學(xué)模型案例15活動性分析問題 PAGEREF _Toc30175 h 46 HYPERLINK l _Toc7143 數(shù)學(xué)模型案例16食物配料問題 PAGEREF _Toc7143 h 47 HYPERLINK l _Toc13144 數(shù)學(xué)模型案例17血樣的分組檢驗(yàn)

4、 PAGEREF _Toc13144 h 49數(shù)學(xué)模型案例1雨中行走問題類比法是建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)常見而有力的方法.作法是把問題歸結(jié)或轉(zhuǎn)化為我們熟知的模型上去給以類似的解決：這個(gè)問題與我們熟悉的什么問題類似?如果有類似的問題曾被解決過，我們的建模工作便可省去許多麻煩.實(shí)際上，許多來自不同領(lǐng)域的問題在數(shù)學(xué)模型上看確實(shí)具有相類似的甚至相同的結(jié)構(gòu).利用幾何圖示法建模.有不少實(shí)際問題的解決只要從幾何上給予解釋和說明就足以了，這時(shí)，我們只需建立其圖模型即可，我們稱這種建模方法為圖示法.這種方法既簡單又直觀，且其應(yīng)用面很寬.1雨中行走問題雨中行走問題的結(jié)論是：（1）如果雨是迎著你前進(jìn)的方向落下，即，那么全

5、身被淋的雨水總量為這時(shí)的最優(yōu)行走策略是以盡可能大的速度向前跑.（2）如果雨是從你的背后落下，即. 令，則. 那么全身被淋的雨水總量為這時(shí)你應(yīng)該控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.從建模結(jié)果看，“為了少些淋雨，應(yīng)該快跑”，這個(gè)一般的“常識”被基本上否定，那么根據(jù)何在？由此提出了建模目的：減少雨淋程度. 而為減少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”這個(gè)目標(biāo)函數(shù)C，而C=C（v），于是問題便歸結(jié)為確定速度v，使C（v）最小本模型的關(guān)鍵建模步驟便得以確定.有了確定的建模目的，自然引出與C（v）有關(guān)的量的設(shè)定與簡化假設(shè). 一般地，開始時(shí)不要面面俱到地把所有相關(guān)量都涉及到，往

6、往只需考慮幾個(gè)主要量，甚至?xí)簳r(shí)舍棄某個(gè)主要量，以求盡快建立模型.尤其對初學(xué)者，這樣做有助于建模信心的增強(qiáng).自不必說建模過程往往如此，更有模型尚有的進(jìn)一步修改和推廣的主要步驟.而一旦建立起簡單模型后，其進(jìn)一步的改善也相對容易多了.這就是本模型只所以建立了兩個(gè)模型的原因，是符合人們的認(rèn)識規(guī)律的.另外，為了檢驗(yàn)所建模型的合理性，建模后用較為符合實(shí)際的幾組數(shù)據(jù)對模型加以檢驗(yàn)是重要的，它既是對所建模型是否基本符合實(shí)際的檢測，也是進(jìn)一步完善模型的需要.例1 在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng).據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如圖2-1）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動.臺

7、風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？問題分析與假設(shè) 1. 根據(jù)問題解決目的：問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲，以及臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形的假設(shè)，只要求出以臺風(fēng)中心（動點(diǎn)）為圓心的圓的半徑r，這個(gè)圓的半徑劃過的區(qū)域自然是侵襲范圍. 2. 臺風(fēng)中心是動的，移動方向?yàn)橄蛭髌?，速度?0km/h，而當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，即半徑的增加速度為，t為時(shí)間.于是只要，便是城 圖2-1市O受到侵襲的開始.模型I 如圖2-2建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.在時(shí)刻t(h)臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為此時(shí)臺風(fēng)

8、侵襲的區(qū)域是 其中r(t)=10t+60. 圖2-2若在t時(shí)刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有 即 整理可得 由此解得 12t24，即12小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.模型II 設(shè)在時(shí)刻t(h)臺風(fēng)中心為（如圖2-2），此時(shí)臺風(fēng)侵襲的圓形半徑為10t+60，因此，若在時(shí)刻t城市O受到臺風(fēng)侵襲，應(yīng)有由余弦定理知注意到 故因此 即 解得 數(shù)學(xué)模型案例2動物的身長與體重問題在生豬收購站或屠宰場工作的人們，有時(shí)希望由生豬的身長估計(jì)它的體重.試建立數(shù)學(xué)模型討論四足動物的軀干的長度（不含頭、尾）與它的體重的關(guān)系，（1）問題分析眾所周知，不同種類的動物，其生理構(gòu)造不盡相同，如果對此問題陷入對生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的

9、研究，就很難得到我們所要求的具有應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型并導(dǎo)致問題的復(fù)雜化.因此，我們舍棄具體動物的生理結(jié)構(gòu)討論，僅借助力學(xué)的某些已知結(jié)果，采用類比方法建立四足動物的身長和體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.類比法是依據(jù)兩個(gè)對象的已知的相似性，把其中一個(gè)對象的已知的特殊性質(zhì)遷移到另一對象上去，從而獲得另一個(gè)對象的性質(zhì)的一種方法. 它是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)的方法，而不是一種論證的方法，它是建立數(shù)學(xué)模型的一種常見的、重要的方法. 類比法的作用是啟迪思維，幫助我們尋求解題的思路.，而它對建模者的要求是具有廣博的知識，只有這樣才能將你所研究的問題與某些已知的問題、某些已知的模型建立起聯(lián)系. （2）模型

10、假設(shè)與求解 我們知道對于生豬，其體重越大、軀干越長，其脊椎下陷越大，這與彈性梁類似. 為了簡化問題，我們把動物的軀干看作圓柱體，設(shè)其長度為l、直徑為d、斷面面積為S（如圖23）. 將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，這樣就可以借助力學(xué)的某些結(jié)果研究動物的身長與體重的關(guān)系.圖23 設(shè)動物在自身體重（記為f）的作用下，軀干的最大下垂度為b，即彈性梁的最大彎曲. 根據(jù)對彈性梁的研究，可以知道 .又由于Sl(體積)，于是 .b是動物軀干的絕對下垂度，b/l是動物軀干的相對下垂度.b/l太大，四肢將無法支撐動物的軀干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費(fèi)，因此，

11、從生物學(xué)角度可以假定，經(jīng)過長期進(jìn)化，對于每一種動物而言，b/l已經(jīng)達(dá)到其最適宜的數(shù)值，換句話說，b/l應(yīng)視為與動物尺寸無關(guān)的常數(shù)，而只與動物的種類有關(guān).因此，又由于,故.即四足動物的體重與軀干長度的四次方成正比.這樣，對于某種四足動物（如：生豬），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定上述比例系數(shù)k后，就可以依據(jù)上述模型，由軀干的長度估計(jì)出動物的體重了.（3）模型評注在上述模型中，將動物的軀干類比作彈性梁是一個(gè)大膽的假設(shè)，其假設(shè)的合理性，模型的可信度應(yīng)該用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行仔細(xì)檢驗(yàn).但這種思考問題、建立數(shù)學(xué)模型的方法是值得借鑒的.在上述問題中，如果不熟悉彈性梁、彈性力學(xué)的有關(guān)知識，就不可能把動物軀干類比作彈性梁，就不可能

12、想到將動物軀干長度和體重的關(guān)系這樣一個(gè)看來無從下手的問題，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)有明確研究成果的彈性梁在自重作用下的撓曲問題.例2 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，通過類比推測或聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新命題、新解法并不少見.諸如，由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類似地推測分式的性質(zhì)；由直線與圓的位置關(guān)系推測圓與圓的位置關(guān)系；由一次函數(shù)、一次方程、一次不等式的某些性質(zhì)和解法，推測二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的某些類似的性質(zhì)與解法等.情形1 已知：中，AC=BC=1，BD是AC邊上的中線，E點(diǎn)在AB邊上，且.求的面積.如圖2-4，引，易證類比 若去掉情形1中直角這一特性，是否會產(chǎn)生類似命題呢？由此想到 圖2-4情形2 已知中(圖2-5)，BD是AC邊上的中

13、線，E點(diǎn)在AB上，且，求.類似情形1的證法，易證得；當(dāng)時(shí)，與情形1結(jié)果相同. 圖2-5類比 若保留情形1中的直角條件，去掉等腰三角形這一特殊性，可以類似地得到.情形3 已知中，AC=2BC=2，BD是AC邊上中線，交BD于H，求.同樣可證.這里，若在情形3中令A(yù)C=2BC=1，也有，與情形1結(jié)論相同；情形3是由情形1類比而來，最自然的想法是求，為了增加變換方式獲得新命題，本情形求的是.數(shù)學(xué)模型案例3實(shí)物交換問題實(shí)物交換是人類發(fā)展史上一種重要的交換方式，在當(dāng)今的社會生活中也是屢見不鮮的，這種實(shí)物交換問題可以出現(xiàn)在個(gè)人之間或國家之間的各種類型的貿(mào)易市場上. 例如：甲乙二人共進(jìn)午餐，甲帶了很多面包，

14、乙有香腸若干，二人希望相互交換一部分，達(dá)到雙方滿意的結(jié)果.顯然，交換的結(jié)果取決于雙方對兩種物品的偏愛程度和需要程度，而對于偏愛程度很難給出確切的定量關(guān)系.因此可以采用圖示的方法建立實(shí)物交換的數(shù)學(xué)模型，確定實(shí)物交換的最佳交換方案.圖26下面依據(jù)等價(jià)交換準(zhǔn)則確定最佳交換方案. 等價(jià)交換準(zhǔn)則是指兩種物品用同一種貨幣衡量其價(jià)值，進(jìn)行等價(jià)交換.不失一般性，設(shè)交換前甲占有數(shù)量為x0的物品X，乙占有數(shù)量為y0的物品Y；交換后甲所占有的物品X，Y的數(shù)量分別記為x,y；單位數(shù)量的物品X，Y的價(jià)值（價(jià)格）設(shè)為p1,p2.由等價(jià)交換準(zhǔn)則，x,y滿足方程 容易證明，在此直線上的點(diǎn)進(jìn)行交換均滿足等價(jià)交換準(zhǔn)則。在等價(jià)交換

15、準(zhǔn)則下雙方均滿意的交換方案必是此直線與曲線AB的交點(diǎn)（如圖26）. 無差別曲線概念的提出是用圖形方法建立實(shí)物交換模型的基礎(chǔ)，確定這種曲線需要收集大量的數(shù)據(jù)，還可以研究無差別曲線的解析表達(dá)式及其性質(zhì).例3 消費(fèi)者的選擇在本章中討論實(shí)物交換模型時(shí)，引進(jìn)了無差別曲線描述人們對兩種物品的滿意和偏愛程度，用圖形的方法確定兩個(gè)人進(jìn)行實(shí)物交換時(shí)應(yīng)遵循的途徑. 本例要利用無差別曲線族的概念討論，一個(gè)消費(fèi)者用一定數(shù)額的錢去購買兩種商品時(shí)應(yīng)作怎樣的選擇，即他應(yīng)該分別用多少錢去買這兩種商品.記甲乙兩種商品的數(shù)量分別是q1和q2，當(dāng)消費(fèi)者占有它們時(shí)的滿意程度，或者說它們給消費(fèi)者帶來的效用，用q1、q2 的函數(shù)，記作U

16、（q1,q2），經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為效用函數(shù)（Utility function）. 圖2-7U（q1,q2）=c（常數(shù)）的圖形就是無差別曲線族，如圖2-7是一族單調(diào)降、下凸、互不相交的曲線.在每一條曲線上，對于不同的點(diǎn)，效用函數(shù)U（q1,q2）的值不變.而隨著曲線向右上方移動，U（q1,q2）的值增加（圖中l(wèi)2上的U值高于l1上的U值）.曲線下凸的具體形狀則反映了消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛情況.這里假定消費(fèi)者的效用函數(shù)U（q1,q2），即他的無差別曲線族已經(jīng)完全確定了.設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)分別是p1和p2（元），消費(fèi)者有s(元)錢.當(dāng)消費(fèi)者用這些錢買這兩種商品時(shí)所作的選擇，即分別用多少錢買甲和乙，應(yīng)該

17、使效用函數(shù)U（q1,q2）達(dá)到最大，即得到最大的滿意度.經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱這種最優(yōu)狀態(tài)為消費(fèi)者平衡.因?yàn)楫?dāng)消費(fèi)者對兩種商品的購買量分別為q1和q2時(shí)，他用的錢分別為p1q1和p1q2，于是問題歸結(jié)為在條件 p1q1+p2q2=s (2.1)下求比例p1q1/p2q2，使效用函數(shù)U（p1,q2）達(dá)到最大.這是二元函數(shù)的條件極值問題，用拉格朗日乘子法不難得到最優(yōu)解應(yīng)滿足 （2.2）當(dāng)效用函數(shù)U（q1,q2）給定后，由（2.2）式即可確定最優(yōu)比例p1q1/p2q2.上述問題也可用圖形法求解.約束條件（2.1）在該圖上是一條直線MN.MN必與無差別曲線族U（q1,q2）=c中的某一條曲線相切（圖中是與l2相切

18、），則q1,q2的最優(yōu)值必在切點(diǎn)Q處取得.圖解法的結(jié)果與（2.2）式是一致的.因?yàn)樵谇悬c(diǎn)Q處直線MN與曲線l2的斜率相同，而MN的斜率是KMN=- p1/p2，l2的斜率是，在Q點(diǎn)處，即給出（2.2）式.經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱為邊際效用，即商品購買量增加一個(gè)單位時(shí)效用函數(shù)的增量.（2.2）式表明，消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的價(jià)格之比時(shí)達(dá)到.從以上討論可見，建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵是確定效用函數(shù)U（q1,q2）.下面列舉幾個(gè)常用的效用函數(shù)，并分析消費(fèi)者均衡狀態(tài)，即最優(yōu)比例p1q1/p2q2的實(shí)際含義.（1）若效用函數(shù)為 （2.3）根據(jù)（2.2）式可以求得最優(yōu)比例p1q1/p2q2為

19、（2.4）結(jié)果表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例，與商品價(jià)格比的平方根成正比.同時(shí)與效用函數(shù)U（q1,q2）中的參數(shù)、有關(guān)：越大購買商品甲的錢越少，越大購買商品甲的錢越多.這說明在（2.3）式給出的效用函數(shù)中，參數(shù)和分別表示消費(fèi)者對商品甲和乙的偏愛程度.于是調(diào)整和可以改變消費(fèi)者對兩種商品的愛好傾向，或者說可以改變無差別曲線的具體形狀.（2）若效用函數(shù)為 （2.5）根據(jù)（2.2）式可以求得最優(yōu)比例p1q1/p2q2為 （2.6）這表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例與價(jià)格無關(guān)，而參數(shù)和分別表示消費(fèi)者對商品甲和乙的偏愛程度.（3）設(shè)效用函數(shù)為 （2.7）對（2.7）式的求解及結(jié)果分析留給讀者

20、.應(yīng)用這個(gè)模型時(shí)，可以根據(jù)上面的分析決定選用哪一種形式的效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù).數(shù)學(xué)模型案例4森林救火模型 森林失火了！消防站接到火警后，立即決定派消防隊(duì)員前去救火.一般情況下，派往的隊(duì)員越多，火被撲滅的越快，火災(zāi)所造成的損失越小，但是救援的開支就越大；相反，派往的隊(duì)員越少，救援開支越少，但滅火時(shí)間越長，而且可能由于不能及時(shí)滅火而造成更大的損失，那末消防站應(yīng)派出多少隊(duì)員前去救火呢？（1）問題分析 如題中所述，森林救火問題與派出的消防隊(duì)員的人數(shù)密切相關(guān)，應(yīng)綜合考慮森林損失費(fèi)和救援費(fèi)，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)來確定派出的消防隊(duì)員的人數(shù)使總費(fèi)用最小.救火的總費(fèi)用由損失費(fèi)和救援費(fèi)兩部分組成.損失費(fèi)

21、由森林被燒毀的面積大小決定 ，而燒毀面積與失火、滅火（指火被撲滅）的時(shí)間（即火災(zāi)持續(xù)的時(shí)間）有關(guān)，滅火時(shí)間又取決于參加滅火的隊(duì)員的數(shù)目，隊(duì)員越多滅火越快.救援費(fèi)除與隊(duì)員人數(shù)有關(guān)外，也與滅火時(shí)間長短有關(guān).救援費(fèi)可具體分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗及消防隊(duì)員的薪金等，與隊(duì)員人數(shù)及滅火時(shí)間均有關(guān)；另一部分是運(yùn)送隊(duì)員和器材等一次性支出，只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān).設(shè)火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻為t=0，開始救火時(shí)刻為t=t1，滅火時(shí)刻為t=t2，t時(shí)刻森林燒毀面積為B（t），則造成損失的被燒毀的森林的面積為B（t2），而是森林被燒毀的速度，也表示了火勢蔓延的程度.從火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻開始到火被撲滅的過程中，被燒毀的森林的面積是不

22、斷擴(kuò)大的，因而B（t）應(yīng)是時(shí)間t的單調(diào)非減的函數(shù)，即.從火災(zāi)發(fā)生到消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢是越來越大的，即.開始救火以后，即時(shí)，如果隊(duì)員滅火能力足夠強(qiáng)，火勢會越來越小，即，并且當(dāng)t=t2時(shí)，.在建立數(shù)學(xué)模型之前，需要對燒毀森林的損失費(fèi)、救援費(fèi)及火勢蔓延程度作出合理的假設(shè).（2）模型假設(shè) = 1 * GB3 森林中樹木分布均勻，而且火災(zāi)是在無風(fēng)的條件下發(fā)生的； = 2 * GB3 損失費(fèi)與森林燒毀面積B（t2）成正比，比例系數(shù)為c1，即燒毀單位面積的損失費(fèi)為c1； = 3 * GB3 從失火到開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢蔓延程度與時(shí)間t成正比，比例系數(shù)為，稱之為火勢蔓延速度，即 = 4

23、 * GB3 派出消防隊(duì)員x名，開始救火以后（），火勢蔓延速度降為（線性化），其中可視為每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，且有，因?yàn)橐獡錅缟执蠡穑瑴缁鹚俣缺仨毚笥诨饎萋拥乃俣?，否則火勢將難以控制； = 5 * GB3 每個(gè)消防隊(duì)員單位時(shí)間費(fèi)用為c2（包括滅火器材料的消耗及消防隊(duì)員的薪金等），救火時(shí)間為t2-t1，于是每個(gè)隊(duì)員的救火費(fèi)用為c2(t2-t1)；每個(gè)隊(duì)員的一次性支出為c3(運(yùn)送隊(duì)員、器材等一次性支出).對于假設(shè)3可作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災(zāi)是在無風(fēng)條件下發(fā)生的，因而火勢可看作以失火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r與時(shí)間t成正比，又因?yàn)闊龤娣eB與r2成正

24、比，故B與t2成正比，從而與t成正比.（4）模型建立 總費(fèi)用由森林損失費(fèi)和救援費(fèi)組成.由假設(shè)2，森林損失費(fèi)等于燒毀面積B（t2）與單位面積損失費(fèi)c1的積，即c1B(t2)；由假設(shè)5，救援費(fèi)為c2x(t2-t1)+c3x，因此，總費(fèi)用為.由假設(shè)3，4，火勢蔓延速度在內(nèi)線性地增加，t1時(shí)刻消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火，此時(shí)火勢用b表示，而后，在內(nèi)，火勢蔓延的速度線性地減少（如圖26），即 因而有 .燒毀面積為恰為圖26中三角形的面積. 圖26 與時(shí)間t的關(guān)系由b的定義有，于是所以，其中只有派出的消防隊(duì)員的人數(shù)是未知的.問題歸結(jié)為如下的最優(yōu)化問題：（5）模型求解這是一個(gè)函數(shù)極值問題.令，容易解得.（6）模

25、型分析與改進(jìn) = 1 * GB3 應(yīng)派出的（最優(yōu)）消防隊(duì)員人數(shù)由兩部分組成，其中是為了把火撲滅所必須的最低限度,因?yàn)槭腔饎萋铀俣龋敲總€(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，同時(shí)也說明這個(gè)最優(yōu)解滿足約束條件，結(jié)果是合理的. = 2 * GB3 派出的隊(duì)員數(shù)的另一部分，即在最低限度基礎(chǔ)之上的人數(shù)，與問題的各個(gè)參數(shù)有關(guān).當(dāng)隊(duì)員滅火速度和救援費(fèi)用系數(shù)c3增大時(shí)，隊(duì)員數(shù)減少；當(dāng)火勢蔓延速度、開始救火時(shí)的火勢b及損失費(fèi)用系數(shù)c1增加時(shí)，消防隊(duì)員人數(shù)增加；當(dāng)救援費(fèi)用系數(shù)增大時(shí)，隊(duì)員人數(shù)也增大. = 3 * GB3 改進(jìn)方向： = 1 * roman i 取消樹木分布均勻、無風(fēng)這一假設(shè)，考慮更一般情況； = 2 * ro

26、man ii 滅火速度是常數(shù)不盡合理，至少與開始救火時(shí)的火勢有關(guān)； = 3 * roman iii 對不同種類的森林發(fā)生火災(zāi)，派出的隊(duì)員數(shù)應(yīng)不同，雖然（火勢蔓延速度）能從某種程度上反映森林類型不同，但對相同的兩種森林，派出的隊(duì)員也未必相同； = 4 * roman iv 決定派出隊(duì)員人數(shù)時(shí)，人們必然在森林損失費(fèi)和救援費(fèi)用之間作權(quán)衡，可通過對兩部分費(fèi)用的權(quán)重來體現(xiàn)這一點(diǎn).數(shù)學(xué)模型案例5導(dǎo)彈核武器競賽 美國和前蘇聯(lián)都深感自己需要一定數(shù)量的洲際彈道導(dǎo)彈，以對付對方的“核訛詐”,其基本想法是當(dāng)自己在遭到對方的突然襲擊后能有足夠的導(dǎo)彈幸存下來，以便給予對方以“致命打擊”. 為此雙方展開了一場競爭,方法有

27、: (1)努力增加自己的核武器，從數(shù)量上壓倒對方.但這樣作下去雙方都感到負(fù)擔(dān)過重. (2)引進(jìn)反彈道導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈. (3)加固導(dǎo)彈庫或建造核潛艇來保護(hù)導(dǎo)彈,使之不易受到攻擊. 究竟用什么方法為好,在對方采取不同的策略時(shí),自己又將如何對付？為此展開了一場激烈的軍備競賽.由于核武器種類繁多，性能各異,問題比較復(fù)雜，所知信息又少。因此下面建立一個(gè)簡單的圖解模型，以便幫助闡明其中某些問題. 把討論的兩國稱為甲方和乙方.用x,y分別表示甲方和乙方擁有的導(dǎo)彈數(shù).由于x,y很大,把x和y看作實(shí)數(shù). 假設(shè)兩方擁有的導(dǎo)彈相同，而且具有同等的防護(hù)能力. 甲方為了安全，其擁有的核彈頭數(shù)x要隨乙方的彈頭數(shù)y的增長

28、而增長。可以假設(shè)存在增函數(shù)f,當(dāng)xf(y)時(shí)甲方才感到安全,x=f(y)稱為甲方的安全線,同樣y=g(x)是乙方的安全線,即當(dāng)yg(x)時(shí)乙方才感到安全.圖1610乙方安全區(qū)甲方安全區(qū)B0CA由圖1610可知甲方的安全區(qū)和乙方的安全區(qū).二者的公共部分雙方都感到安全，即軍備競賽的穩(wěn)定區(qū)域(圖中陰影部分).兩條安全線的交點(diǎn)為競爭的平衡點(diǎn)。問題在于當(dāng)?shù)谝淮未驌舨豢赡艽輾Ψ降募僭O(shè)下，這樣的穩(wěn)定區(qū)域存在嗎？換言之，兩條單調(diào)增加的曲線x=f(y)和y=g(x)相交嗎？這要求證明并進(jìn)而討論,當(dāng)反導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈這類武器出現(xiàn)時(shí)，對于平衡點(diǎn)A()將產(chǎn)生什么影響？ 為了證明x=f(y)和y=g(x)相交,我們采

29、用如下方法:證明從原點(diǎn)出發(fā)的任一直線y=rx(r0)必與曲線x=f(y)相交,其中x=f(y)從(,0)開始，以遞增到無窮的斜率向上彎曲.0 Y = rxxY因?yàn)椴徽撘曳綋碛械暮藦楊^數(shù)y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毀滅甲方，也就是說在乙方y(tǒng)=rx枚核彈頭的襲擊下,甲方一枚彈頭保存下來的概率p(r)仍然大于零(盡管可以很小),那么甲方只需要擁有 枚彈頭,就可以感到安全.正是直線y=rx和曲線x=f(y)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以y=rx與甲方安全線x=f(y)相交.如圖16-11所示.同理,y=rx必與曲線y=g(x)相交.y=g(x)從 圖1611(0,y)開始,起斜率遞減到零.

30、這樣曲線x=f(y)與y=g(x)相交于A()點(diǎn),這是x和y的最小穩(wěn)定值. 下面我們要討論，如果某一方使用加固導(dǎo)彈庫,反彈道導(dǎo)彈或其他一些手段,兩條安全曲線和穩(wěn)定點(diǎn)A()將如何變化呢? 如果甲方由于使用加固導(dǎo)彈庫,反彈道導(dǎo)彈或其他一些手段，則它的導(dǎo)彈更不容易遭受突然襲擊，這將使甲方任一枚導(dǎo)彈逃脫突然襲擊的概率p(r)增大，所以曲線f(y)向左移動，在圖16-10中用虛線表示.點(diǎn)不變,此時(shí)曲線的形狀稍有改變.為了保持穩(wěn)定，雙方只需要更少的導(dǎo)彈，穩(wěn)定點(diǎn)為B. 如果甲方用某種設(shè)施，例如反彈道導(dǎo)彈來防護(hù)它的城市，這時(shí)乙方要對甲方進(jìn)行致命的打擊，就需要比更多的導(dǎo)彈，于是g(x)向上移動.在圖16-10中

31、用“ ”線表示.我們可以看出，要保持穩(wěn)定，雙方都需要更多的導(dǎo)彈，穩(wěn)定點(diǎn)為C.圖1612BAyxx=f(y) 0如果使用多彈頭導(dǎo)彈，此時(shí)情況將變得更加復(fù)雜.例如,甲方將它的每枚導(dǎo)彈的單彈頭改裝為N個(gè)彈頭,那么它所需要的能逃脫偷襲的導(dǎo)彈數(shù)可以更少些(需要的數(shù)大約是).這樣x=f(y)就向左移動。乙方在一次被偷襲中將面臨N倍之多的彈頭.所以，從乙方的觀點(diǎn)來看，X軸的比例尺變化了一個(gè)因子N，因而乙方將要更多的導(dǎo)彈。曲線g(x)將向上移動.由圖2.10可知,甲方需要的導(dǎo)彈比原來要少些.至于曲線彎曲形狀變化的細(xì)節(jié)，應(yīng)該用概率模型來代替圖解模型，或者把二者結(jié)合起來，這就要求對導(dǎo)彈的效能作出更精確的假設(shè)，在此

32、不作討論.數(shù)學(xué)模型案例6鋪瓷磚問題 要用40塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖16-17所示圖形的地面,但當(dāng)時(shí)商店只有長方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊.一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面,結(jié)果弄來弄去始終無法完整鋪好. 問題在于用20塊長方形瓷磚正好鋪成圖16-17所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才談得上用什么方法鋪的問題. 為此,在圖16-17上白、黑相間的染色.然后仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)共有19個(gè)白格和21個(gè)黑格.一塊長方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格,所以鋪上19塊長方形瓷磚.(無論用什么方法),總要剩下2個(gè)黑格沒有鋪.而一塊長方形瓷磚是無法蓋住2個(gè)黑格的,唯一的辦法是把最后一塊瓷磚一斷為二. 解決鋪瓷

33、磚問題中所用方法在數(shù)學(xué)上稱為“奇偶校驗(yàn)”,即是如果兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，則稱具有相同的奇偶性.如果一個(gè)數(shù)是奇數(shù),另一個(gè)數(shù)是偶數(shù),則稱具有相反的奇偶性.在組合幾何中會經(jīng)常遇到類似的問題. 在鋪瓷磚問題中,同色的兩個(gè)格子具有相同的奇偶性,異色的兩個(gè)格子具有相反的奇偶性長方形瓷磚顯然只能覆蓋具有相反奇偶性的一對方格.因此，把19塊長方形瓷磚在地面上鋪好后,只有在剩下的兩個(gè)方格具有相反的奇偶性時(shí),才有可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上.由于剩下的兩個(gè)方格具有相同的奇偶性,因此無法鋪上最后一塊長方形瓷磚這就從理論上證明了用20塊長方形瓷磚鋪好如圖16-17所示地面是不可能的.任何改變鋪設(shè)方式的努力都是徒勞的.

34、數(shù)學(xué)中許多的著名的不可能的證明都要用到奇偶校驗(yàn),例如歐幾里德證明著名的結(jié)論是無理數(shù)，就是用的奇偶性(讀者不妨自己動手做一下).奇偶校驗(yàn)在粒子物理學(xué)也有很重要的作用，1957年美籍華人楊振寧和李政道推翻了“宇稱守恒定理”，由此獲得了諾貝爾獎，其中就是運(yùn)用了奇偶校驗(yàn)方法。由上可以看出,奇偶校驗(yàn)方法巧妙而簡單,極富創(chuàng)造力.在估計(jì)事情不可能成立時(shí),可考慮使用奇偶性這一方法來論證.數(shù)學(xué)模型案例7工廠地址選擇的數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)代工廠地址的選擇，關(guān)系到工業(yè)布局及經(jīng)濟(jì)效益的重大決策,涉及到經(jīng)濟(jì)和非經(jīng)濟(jì)的多種因素,因此在選址時(shí),應(yīng)對幾個(gè)被選廠址的各種不同因素的優(yōu)劣進(jìn)行綜合平衡，根據(jù)各種不同的選址標(biāo)準(zhǔn)，選出最佳廠址.

35、 選址時(shí),我們主要考慮兩大類因素,一是定量因素，二是定性因素. 定量因素主要是指經(jīng)濟(jì)效益,即考慮工廠的成本和收入.成本包括三個(gè)方面: (1)生產(chǎn)成本:由物料、能源、信息等基本因素所確定. (2)社會成本:工廠對環(huán)境的污染應(yīng)賠償?shù)膿p失費(fèi)等. (3)分配成本:工廠把產(chǎn)品發(fā)送到消費(fèi)地點(diǎn),應(yīng)付的運(yùn)輸費(fèi)用及其他周轉(zhuǎn)費(fèi). 生產(chǎn)成本,社會成本,分配成本與廠址的選擇有直接關(guān)系,對廠家的成本起決定性的作用.它們可用數(shù)字表示,因而稱為定量因素. 廠址的選擇不僅要考慮定量因素,而且還要考慮復(fù)雜的不易定量化的定性因素.如國家的方針政策,當(dāng)?shù)氐目蒲泻凸I(yè)力量、文化背景和教育情況、生活條件、群眾對建廠的態(tài)度等.在定性因素

36、中,尤為重要的是國家的方針政策.比如關(guān)于工業(yè)布局,保護(hù)自然資源,控制城市和旅游區(qū)污染,開發(fā)工業(yè)落后地區(qū),大區(qū)工業(yè)配套以及引進(jìn)外資等方面的方針政策,這些因素對工廠選址往往是極其重要的約束條件. 先決因素(先決條件)是在上述的定量和定性因素中,任何被選地址都必須滿足的若干因素.如戰(zhàn)備需要,工業(yè)布局,某些工業(yè)劃定在特定地區(qū)興辦,某些工業(yè)必須接近原料產(chǎn)地和能源等. 最佳廠址是在滿足先決條件的備選廠址中,按照一定標(biāo)準(zhǔn)挑選出最滿意的廠址. 廠址選擇的準(zhǔn)則數(shù)學(xué)模型如下: 第一類為簡化模型，以工廠投產(chǎn)后年度總支出(年度總成本加均攤的基建費(fèi))為基礎(chǔ)進(jìn)行比較. 假設(shè) (1)在各備選地址建廠,其規(guī)模、經(jīng)濟(jì)壽命期都相

37、同,并且保持均衡生產(chǎn),年產(chǎn)量不變,因而可按年度總成本進(jìn)行比較. (2)在各備選地址建廠基建工期均較短,不考慮基建投資年度分配的差異,因而可以按基建總投資進(jìn)行比較.準(zhǔn)則1 最佳廠址的基建投資年等價(jià)額，年度生產(chǎn)成本，年度分配成本之和最小，即年度總支出最小，經(jīng)濟(jì)效益最高。用V表示基建投資,n表示工廠經(jīng)濟(jì)壽命期(單位 年),s表示經(jīng)濟(jì)壽命期終了時(shí)工廠的殘余價(jià)值,表示工廠滿額生產(chǎn)時(shí)年度生產(chǎn)成本, 表示工廠年度分配成本,i表示基建貸款的年利率.A表示基建投資的年等價(jià)額,即把基建投資加上相應(yīng)的利息，按工廠收益期(經(jīng)濟(jì)壽命期)每年均勻償付的數(shù)額,其計(jì)算公式如下: (1) 準(zhǔn)則1的數(shù)學(xué)模型為 (2)足碼j表示年

38、度總支出是地址j的函數(shù). 年度生產(chǎn)成本包括材料費(fèi),公共服務(wù)費(fèi)(水、電、氣、設(shè)備維修),職工工資,經(jīng)常費(fèi)(管理費(fèi),財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)金及各種雜支),即 =+ (3) 將(2.5)代入(2.4),準(zhǔn)則1的數(shù)學(xué)模型為 (4) 如果由于建廠給社會帶來損失(如占用良田或造成土質(zhì)惡化使農(nóng)業(yè)減產(chǎn)),(4)中還應(yīng)記入社會成本,由于建廠給社會帶來的附加收益(如改善了道路減少了運(yùn)輸費(fèi)),則應(yīng)作為負(fù)值記入社會成本(4).當(dāng)然，這是從國家角度考慮,對于企業(yè)，社會附加收益并不能收回. 準(zhǔn)則2 最佳廠址是年度總支出和各定性因素保持最佳平衡(即綜合優(yōu)點(diǎn)最大)的廠址. 在備選廠址中,如果定性因素差別很大,就不能忽視.然而定性因素不好比

39、較.為此引入一個(gè)新概念“優(yōu)度”,即分別表示各廠址兩類因素在全部備選廠址中的相對優(yōu)點(diǎn)(相對價(jià)值).優(yōu)度最小值為零,表示該因素對比評價(jià)結(jié)果無優(yōu)點(diǎn);優(yōu)度最大值為1，表示該因素相對地具有100%的優(yōu)點(diǎn).分別求出各地兩類因素優(yōu)度的加權(quán)和,其加權(quán)值最大的地址為最佳廠址. 令表示第j個(gè)地址定量因素的優(yōu)度, 表示第j個(gè)地址定性因素的優(yōu)度,a表示的權(quán)值,. 準(zhǔn)則2的數(shù)學(xué)模型為 (5) 定量因素優(yōu)度的計(jì)算方法: 如果有n個(gè)備選廠址進(jìn)行比較,則 令表示第j個(gè)廠址相應(yīng)的年度總支出,則其倒數(shù)表示第j個(gè)廠址諸定量因素綜合優(yōu)點(diǎn)的一種絕對尺度.所以第j個(gè)廠址的定量因素優(yōu)度為 (6) 定性因素優(yōu)度的計(jì)算方法： 根據(jù)各定性因素的

40、相對重要性，在m個(gè)定性因素中，給予第k個(gè)因素以適當(dāng)?shù)臋?quán)值,并使. 在n個(gè)備選廠址中，給予第j個(gè)廠址的第k個(gè)因素以適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)，表示該因素在n個(gè)廠址中的相對優(yōu)點(diǎn)，并使。所以，第j個(gè)廠址的定性因素優(yōu)度為 ， （7） 而 。 將（6）、（7）代入（5），得準(zhǔn)則2的數(shù)學(xué)模型為 （8） 定量因素優(yōu)度計(jì)算舉例。 設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)廠址，估計(jì)甲廠的年度總支出=200（萬元），乙廠的年度總支出（萬元），丙廠的年度總支出(萬元)。則其優(yōu)度值分別為 由此可以看出甲廠址的定量因素優(yōu)度值大。 定性因素優(yōu)度計(jì)算舉例。 設(shè)在定性因素中我們考慮：（1）國 的工業(yè)布局方針政策：（2）當(dāng)?shù)氐纳顥l件好壞；（3）當(dāng)?shù)氐奈幕逃隣顩r

41、；（4）當(dāng)?shù)乜蒲辛α康膹?qiáng)弱。我們分別賦權(quán)值：方針=0.3，生活=0.3，文化教育=0.2，科研=0.2。對三個(gè)廠址的各定性因素打分如表16-2所示。 表16-2地址 =0.3=0.3=0.2=0.2 123 由此可以看出第三廠址的定性因素優(yōu)度值大。 決策者對各定性因素所賦予的權(quán)值應(yīng)給定，但對各項(xiàng)定性因素在給每個(gè)廠址打分時(shí)，各人由于認(rèn)識不同，打分不一樣。我們可以用體育比賽的評分方法，將幾個(gè)打分中的最高分和最低分舍去，剩下的中間分?jǐn)?shù)取其平均值作為該項(xiàng)的記分，這樣就比較客觀了。 準(zhǔn)則3 最隹廠址是先決條件下年度總支出最低的廠址。 某地址滿足先決條件時(shí)，其優(yōu)度為1，表示該地址可以作為備選廠址。不滿足先

42、決條件時(shí)，其優(yōu)度為零，表示該地址不能作為備選 廠址，沒有中間情況。先決條件總優(yōu)度為各個(gè)先決條件優(yōu)度之積。 令表示第j個(gè)地址的先決條件總優(yōu)度（設(shè)有r個(gè)先決條件）。表示第j個(gè)地址第q個(gè)先決條件的優(yōu)度。則 (9)把（9）同（4）結(jié)合起來，準(zhǔn)則3的數(shù)學(xué)模型為 (10)準(zhǔn)則4 最佳廠址是滿足先決條件下定量因素和定性因素保持最佳平衡的廠址。把（9）同（8）結(jié)合起來，得準(zhǔn)則4的數(shù)學(xué)模型 (11) （11）是第一類選址準(zhǔn)則的完整的表達(dá)式，前面三個(gè)準(zhǔn)則都 是準(zhǔn)則4的特例。 第二類為通用模型，在一般情況下，各備選地址的建廠期并不相同，受益有早有晚，在建設(shè)期內(nèi)每年投資分配也不相同，付息不等，投產(chǎn)后生產(chǎn)能力要逐步發(fā)揮

43、。維修費(fèi)逐步增加，加之其它原因，年度總支出是變動的。為了與實(shí)際更加接近，我們以工廠在經(jīng)濟(jì)壽命期內(nèi)總受益的現(xiàn)值為基礎(chǔ)進(jìn)行比較。 令T表示基本建設(shè)工期（單位年），V表示基本建設(shè)投資的等價(jià)現(xiàn)值，表示第t年基本建設(shè)投資額。則 (12) 如果在T年內(nèi)每年投資額相同，均為,則（12）式為 (13)令表示工廠第t年總收入，表工廠第t年的總成本，則工廠在經(jīng)濟(jì)壽命期內(nèi)盈利的等 價(jià)現(xiàn)值為 (14)如果 基建費(fèi)年度分配相同，則（14）變?yōu)?(15)在n個(gè)備選 廠址中，第j個(gè)地址的優(yōu)度為 ，并且 。準(zhǔn)則5 最佳廠址在經(jīng)濟(jì)壽命期內(nèi)總受益（盈利）最大。其數(shù)學(xué)模型為 max (16)準(zhǔn)則6 最佳廠址是總受益和定性因素保持最

44、佳平衡的廠址。其數(shù)學(xué)模型為 max （17）準(zhǔn)則7 最佳廠址要求在滿足先決條件下總受益最大。其數(shù)學(xué)模型為 max （18）準(zhǔn)則8 最佳廠址要求在滿足先決條件下總受益和定性因素保持最佳平衡。其數(shù)學(xué)模型為 max （19） 選址總是由大致范圍的普查逐步縮小，直到具體定點(diǎn)，凡不符合先決條件之一者，在選址過程中被排除，不會進(jìn)入最后比較之列。所以，上述8個(gè)數(shù)學(xué)模型中，理論上表達(dá)完整的是（10）、（11）、（18）、（19），而實(shí)際應(yīng)用的則是（4）、（8）、（16）、（17）。 過去有些決策者在選擇工廠地址時(shí)，也權(quán)衡了各種利弊得失，但多是估計(jì)性質(zhì)的。特別是對于定性因素就更難說清兩個(gè)地址的優(yōu)劣比較。以上的選

45、址數(shù)學(xué)模型為決策者選址提供了理論依據(jù)。特別是用優(yōu)度的方法把定性因素?cái)?shù)量化，對于每個(gè)地址的優(yōu)劣從數(shù)量上有了較精確的區(qū)分，這幫助我們準(zhǔn)確選址，充分發(fā)揮經(jīng)濟(jì)效益起了很好的作用。數(shù)學(xué)模型案例8倉庫地址選擇的圖論模型問題的提出某鄉(xiāng)有十二村A，B，C、L，如圖，兩村連線上數(shù)字表示兩村間的距離（單位：千米）.各村上繳糧食數(shù)量依次為70、80、60、30、65、100、20、40、30、45、35、20噸.現(xiàn)計(jì)劃在村內(nèi)或道路上建一倉庫來儲存這些糧食.現(xiàn)要求如下：（1），若整個(gè)公路上的運(yùn)費(fèi)為1.5元/噸*千米，確定建立倉庫的位置，使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最少.（2）， 若公路BF、FE、ED、DG、GH上的運(yùn)費(fèi)為2元/噸

46、*千米，而其余公路上的運(yùn)費(fèi)為1.5元/噸*千米，各村的建庫費(fèi)分別為5100、5000、5200、5150、5400、5300、5200、5250、5400、5110、5010、5120元，而公路上的建庫費(fèi)與最近的村相同.設(shè)計(jì)確定使總費(fèi)用之和最少的倉庫位置的方案. C 10 I8 3 4 3 A 5 B D 3 G 2 H J 3 L 6 5 5 5 F 2 E 8 K考慮的一般都為費(fèi)用問題，如何建倉庫才能使農(nóng)民較容易上繳，不用花那么多費(fèi)用上繳必須的糧食，為農(nóng)民省點(diǎn)錢，這樣農(nóng)民也不會抱怨太大，所以考慮在什么位置建倉庫，才能使各個(gè)村去繳糧食的路程最短，這樣才能減少運(yùn)費(fèi)，使所有村上繳糧食的總費(fèi)用最少

47、，有時(shí)還要考慮建立倉庫的費(fèi)用. 本問題的實(shí)質(zhì)就是用圖論的方法，在圖中找一個(gè)位置建庫，求出各村到建庫點(diǎn)的最短路，并找出使總費(fèi)用最少的建庫點(diǎn)，顯然這是一個(gè)最短路問題，圖論中找最短路的方法很多，我們可以把幾種方法結(jié)合起來，就可簡單地找出最短路.，使得運(yùn)輸糧食的總費(fèi)用最少.模型的假設(shè)不考慮在各村建的倉庫的經(jīng)濟(jì)壽命期相同.假設(shè)各村之間可以隨意經(jīng)過.假設(shè)建庫費(fèi)僅指建倉庫的原材料費(fèi).不考慮各村之間可以隨意經(jīng)過.符號約定：從A 村到 A村的最短路距離.：各村上繳的糧食量.（i=112） ：分別表示十二各村A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，L.C ：整個(gè)公路上的運(yùn)費(fèi)（1.5元/噸千米）. ：從A 村到

48、 A村的最少公路運(yùn)費(fèi).（千米）. ：各村的建庫費(fèi).：運(yùn)輸糧食的總費(fèi)用.W ：建庫費(fèi)也與總運(yùn)費(fèi)的總和.模型的建立與求解4.1 如果整個(gè)公路的運(yùn)費(fèi)相同，則確定建庫位置，使總運(yùn)費(fèi)最少.對此問題，我們采用分析法建立數(shù)學(xué)模型，糧食運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用應(yīng)等于村（i=111）到村糧食運(yùn)費(fèi)運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用之和.而村到村的糧食運(yùn)費(fèi)應(yīng)該等于村到村的距離，村上繳的糧食數(shù)量和每噸千米的運(yùn)費(fèi)C的乘積.故此問題的目標(biāo)函數(shù)為： min （j=112）根據(jù)上面的表達(dá)式可知，因?yàn)镃,均為常數(shù)，只有為變量，所以要使運(yùn)輸糧食的總費(fèi)用最少，必須使村到村的距離最短，故我們現(xiàn)在要找最短路，由于本題的圖形是比較簡單的，所以我們采用了人工與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的

49、方法，尋找各個(gè)村到選定村的最短路.通過對它們比較分析，我們找到了運(yùn)輸糧食的最少費(fèi)用為，同時(shí)選出了需要最少運(yùn)費(fèi)的位置在E點(diǎn)及相應(yīng)的路線.找最短路的算法如下：（1）先定點(diǎn)，找出其他十一個(gè)點(diǎn)， 到 的最短路,.（2）根據(jù)運(yùn)輸糧食的總費(fèi)用的表達(dá)式算出其他十一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn) 的運(yùn)費(fèi)之和. （3）同理，算出到點(diǎn)，的運(yùn)費(fèi)分別是,（4）對,進(jìn)行比較，找出運(yùn)費(fèi)最少的，即為運(yùn)輸糧食的總費(fèi)用的最優(yōu)解現(xiàn)在已經(jīng)確定了建立倉庫的位置在E點(diǎn)，運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用（單位：元）最少為 各個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)E（）的最短線如下圖：（假如E村（=0）的糧食運(yùn)費(fèi)為零） C I 3 3 G 2 J 5 B D 4 LA 5 5 H 5 3 F 2 E 8 K由

50、圖可知各個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離（單位：千米）分別如下=12，=7，=8，=5，=2，=8=10， =14，=13，=8，=16圖中邊的賦權(quán)表示兩個(gè)村之間的距離.現(xiàn)設(shè)在任意兩個(gè)村，之間建倉庫，它們需要上繳的糧食數(shù)量分別為噸，如圖 x y1 y2 L設(shè)倉庫位置距的距離為x千米，兩村的距離L 為千米，則兩村上繳糧食的總運(yùn)費(fèi)為：w=+=由上式可得當(dāng)時(shí)，x=0，W達(dá)到最小值CL（在點(diǎn)）當(dāng) 時(shí)，x=L時(shí)（在點(diǎn)），W達(dá)到最小值當(dāng) 時(shí)，x取任意值，W都為CL，故可取在兩個(gè)端點(diǎn)由上可知，無論什么情況，倉庫都沒有必要建在公路上，所以不用考慮它的總費(fèi)用.只在村內(nèi)建倉庫就可以了.上述已經(jīng)證明了，只在村內(nèi)建倉庫，所以我們還

51、可以采用物理模擬法解此問題.如圖所示. 先任意選定某一個(gè)點(diǎn)，比如選在L點(diǎn)，則可求出其他各個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)L的最短距離，然后用模擬法，做一個(gè)帶有坐標(biāo)刻度的板面，在相應(yīng)村所在的坐標(biāo)位置處鉆洞，通過每一個(gè)洞穿過一條繩子，一端垂在板下并吊一個(gè)砝碼，其重量與村需上繳的糧食數(shù)量相對應(yīng)，另一端都在板面上，且與同一個(gè)小環(huán)相連，最后小環(huán)停留下來的平衡位置，就是使總費(fèi)用最少的那個(gè)位置，即建立倉庫的位置.4.2 若公路BF，F(xiàn)E，ED，DG，GH上的運(yùn)費(fèi)改變了，為2元/噸千米，運(yùn)輸總費(fèi)用也發(fā)生了變化，由于這只是在局部路段的費(fèi)用發(fā)生了變化，如果從某個(gè)村到建倉庫的地點(diǎn)沒有經(jīng)過這些路段，則在整個(gè)路程中每千米每噸糧食的運(yùn)費(fèi)仍為1.

52、5元，否則若經(jīng)過了某個(gè)路段，則運(yùn)費(fèi)分為兩部分，一部分是經(jīng)過這個(gè)路段的運(yùn)費(fèi)，另一部分為經(jīng)過的其它路段的費(fèi)用.此問題還要考慮建庫費(fèi)，故我們的目標(biāo)函數(shù)為： min此問題的關(guān)鍵也是求最短路問題，我們用類似問題1的方法找最短路.通過比較得出了使總費(fèi)用最少的建庫位置是在E點(diǎn)，運(yùn)輸糧食總費(fèi)用與建庫費(fèi)的總和最少為：各個(gè)村到點(diǎn)的最短路線如下圖： C(60) I(30) 4.5 5 7.5 B(80) D(30) G(20) 4 H(40) 4.5 L(20) A(70) 10 10 6 J(45) 7.5 F(80) 4 E 12 K(35)圖中邊的賦權(quán)即為此路段的路程與其每千米每噸的運(yùn)費(fèi)乘積，頂點(diǎn)的權(quán)為相應(yīng)村

53、所需上繳的糧食數(shù)量（單位：噸）.由上圖可得各個(gè)村到村E的最少公路運(yùn)費(fèi)（單位：元）如下： 這里設(shè)村E（）的糧食運(yùn)費(fèi)為 =0元所以糧食運(yùn)輸費(fèi)與建庫費(fèi)的總和（單位：元）最少為： 找各個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)E（ ）的最少公路費(fèi) （i=1.12）的算法如下：把題目中的圖的邊賦權(quán)為經(jīng)過這兩點(diǎn)之間的公路運(yùn)費(fèi)，然后找出其它各點(diǎn)到點(diǎn)A()的最少公路運(yùn)費(fèi) (I=1.12)同理，找出其它各點(diǎn)的最少公路運(yùn)費(fèi).比較十二個(gè)點(diǎn)的最少公路運(yùn)費(fèi) ,與其相應(yīng)的建庫費(fèi)的和，得出值最小的那個(gè)就是糧食運(yùn)輸費(fèi)與建庫費(fèi)總和的最小值.最后得出糧食運(yùn)費(fèi)與建庫費(fèi)總和最少的為，即應(yīng)該把倉庫建在E點(diǎn)，才能使總費(fèi)用最少.證明不必要把倉庫建在公路上的方法與問題1的方

54、法一樣，這里就不再證明了.所以只要考慮在村內(nèi)建倉庫的情況就可以了.數(shù)學(xué)模型案例9遺傳模型1問題分析 所謂常染色體遺傳，是指后代從每個(gè)親體的基因中各繼承一個(gè)基因從而形成自己的基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和B控制的，那么就有三種可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金魚草是由兩個(gè)遺傳基因決定它開花的顏色，AA型開紅花，AB型的開粉花，而BB型的開白花.這里的AA型和AB型表示了同一外部特征(紅色)，則人們認(rèn)為基因A支配基因B，也說成基因B對于A是隱性的.當(dāng)一個(gè)親體的基因型為AB，另一個(gè)親體的基因型為BB，那么后代便可從BB型中得到基因B，從AB型中得到A或B，且是等可能性地得到.問題

55、：某植物園中一種植物的基因型為AA，AB和BB.現(xiàn)計(jì)劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，試預(yù)測，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況. 2模型假設(shè)（1）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的,即有雙親體基因型的所有可能結(jié)合使其后代形成每種基因型的概率分布情況如表51.表5-1下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21(2) 以和分別表示第n代植物中基因型為AA，AB和BB的植物總數(shù)的百分率，表示第n代植物

56、的基因型分布，即有 (5 .1)特別當(dāng)n=0時(shí)，表示植物基因型的初始分布(培育開始時(shí)所選取各種基因型分布)，顯然有3模型建立注意到原問題是采用AA型與每種基因型相結(jié)合，因此這里只考慮遺傳分布表的前三列.首先考慮第n代中的AA型，按上表所給數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為即第n-1代的AA與AA型結(jié)合全部進(jìn)入第n代的AA型，第n-1代的AB型與AA型結(jié)合只有一半進(jìn)入第n代AA型，第n-1代的BB型與AA型結(jié)合沒有一個(gè)成為AA型而進(jìn)入第n代AA型，故有 (5 .2)同理，第n代的AB型和BB型所占有比率分別為 (5 .3) (5 .4)將(.2)、(.3)、(.4) 式聯(lián)立，并用矩陣形式表示，得到

57、(5 .5)其中利用(5 .5)進(jìn)行遞推，便可獲得第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型 (5 .6)(5.6)式明確表示了歷代基因型分布均可由初始分布與矩陣M確定.4模型求解這里的關(guān)鍵是計(jì)算.為計(jì)算簡便，將M對角化，即求出可逆陣P，使，即有從而可計(jì)算 其中為對角陣，其對角元素為M的特征值，P為M的特征值所對應(yīng)的特征向量.分別為 ，故有即得于是 或?qū)憺橛缮鲜娇梢?，?dāng)時(shí)，有即當(dāng)繁殖代數(shù)很大時(shí)，所培育出的植物基本上呈現(xiàn)的是AA型，AB型的極少，BB型不存在.5模型分析 （1）完全類似地，可以選用AB型和BB型植物與每一個(gè)其它基因型植物相結(jié)合從而給出類似的結(jié)果.特別是將具有相同基因植物相結(jié)合，并利用前表的第1、

58、4、6列數(shù)據(jù)使用類似模型及解法而得到以下結(jié)果：這就是說，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情形下，后代僅具有基因AA與BB，而AB消失了.（2）本例巧妙地利用了矩陣來表示概率分布，從而充分利用特征值與特征向量，通過對角化方法解決了矩陣n次冪的計(jì)算問題，可算得上高等代數(shù)方法應(yīng)用于解決實(shí)際的一個(gè)范例.例2 血友病也是一種遺傳疾病，得這種病的人由于體內(nèi)沒有能力生產(chǎn)血凝塊因子而不能使出血停止很有意思的是，雖然男人及女人都會得這種病，但只有女人才有通過遺傳傳遞這種缺損的能力若已知某時(shí)刻的男人和女人的比例為1：1.2，試建立一個(gè)預(yù)測這種遺傳疾病逐代擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型解 假設(shè)有%的人患有血友病，并假設(shè)下一代

59、與上一代雖人數(shù)可能不等，但所生男女比例一樣基于這樣一個(gè)假設(shè)，不妨設(shè)下一代男女與上一代相同，設(shè)初始第一代男女分別占總?cè)藬?shù)的比例占總?cè)藬?shù)的比例為 a0，b0，由題設(shè)，a0：b0=1：1.2注意到只有女人遺傳血友病，由此，第一代將有個(gè)女人及個(gè)男人有血友病，血友病占總?cè)藬?shù)的百分比為 同理，第二代將有個(gè)女人及個(gè)男人有血友病，血友病占總?cè)藬?shù)的百分比為 依次類推，第n代將有個(gè)女人及個(gè)男人有血友病，血友病占總?cè)藬?shù)的百分比為 令，則數(shù)學(xué)模型案例10隨機(jī)性決策模型決策是人們在政治、經(jīng)濟(jì)、軍事和日常生活等多方面普遍存在的一種選擇方案的行為. 決策按環(huán)境而言，可以分為確定型，不確定型和風(fēng)險(xiǎn)型，其中風(fēng)險(xiǎn)型決策的決策類型

60、是最常見的，.所謂風(fēng)險(xiǎn)型決策是指在作出決策時(shí)，往往有某些隨機(jī)性的因素影響，而決策者對于這些因素的了解不足，但是對各種因素發(fā)生的概率已知或者可估算出來，因此這種決策因存在一定的風(fēng)險(xiǎn).1風(fēng)險(xiǎn)決策模型的基本要素(1) 決策者 進(jìn)行決策的個(gè)人、委員會或某個(gè)組織.在問題比較重大和嚴(yán)肅時(shí)，通常應(yīng)以后者形式出現(xiàn).(2) 方案或策略 參謀人員為決策者提供的各種可行計(jì)劃和謀略. 如漁民要決定出海打魚與否便是兩個(gè)方案或稱兩個(gè)策略.(3) 準(zhǔn)則 衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn).作為風(fēng)險(xiǎn)型決策，采用的比較多的準(zhǔn)則是期望效益值準(zhǔn)則，也即根據(jù)每個(gè)方案的數(shù)學(xué)期望值作出判斷.對收益講，期望效益值越大的方案越好；反之對于損失來講，期