初等數(shù)論開課

1、初等數(shù)論開課第1頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學分支。是數(shù)論的一個最古老的分支。它以算術方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、不定方程、同余式等。第2頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論。）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結構的方法研究數(shù)論）。 第3頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家畢達哥拉斯:古希臘,初等數(shù)論的先驅(qū)。大約生于公元前580年-500 年。最大貢獻“畢達哥拉斯定理”（勾股定理）。第4頁

2、，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家 歐幾里德:公元前4世紀，幾何原本通過102個命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關于“素數(shù)有無窮多個”的證明，被認為是數(shù)學證明的典范。第5頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家拉格朗日:法國數(shù)學家、物理學家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出。第6頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家歐拉:1707年出生在瑞士。18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家，也是歷史

3、上最偉大的數(shù)學家之一，被稱為“分析的化身”。第7頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家費馬:16011665 ，法國著名數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王” 、“費馬大定理 ”、“費馬小定理 ”。第8頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家劉徽，生于公元250年左右，三國時期數(shù)學家，是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，著九章算術注10卷；海島算經(jīng)；九章重差圖.割圓術求圓面積和圓周率.第9頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家祖沖之，429500，數(shù)學家，科學家，算出在3.1415926和3.14159

4、27之間，求球體積公式著有綴術.天文歷法和機械方面的成就略。 第10頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家秦九韶約12021261，著數(shù)書九章,最重要的數(shù)學成就“大衍總數(shù)術”一次同余組解法與“正負開方術”高次方程數(shù)值解法，在中世紀世界數(shù)學史上占有突出地位。 李冶11921279, 著測圓海鏡，主要目的就是說明用開元術列方程的方法?！伴_元術”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似。楊輝1250前后，是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規(guī)律的數(shù)學家。著詳解九章算法,日用算法等。第11頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一中外數(shù)論科學家朱世杰1300

5、前后，著算學啟蒙和四元玉鑒。算學啟蒙是一部通俗數(shù)學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學的發(fā)展。四元玉鑒則是中國宋元數(shù)學高峰的又一個標志，其中最杰出的數(shù)學創(chuàng)作有“四元術”多元高次方程列式與消元解法、“垛積法”高階等差數(shù)列求和與“招差術”高次內(nèi)插法。 第12頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一素數(shù) (質(zhì)數(shù)) ： 所謂素數(shù)，就是一個正整數(shù)，它除了本身和 1 以外并沒有任何其他因子。素數(shù)就好象是正整數(shù)的原子一樣，著名的高斯唯一分解定理說，任何一個整數(shù)?？梢詫懗梢淮|(zhì)數(shù)相乘的積。但是至今仍然沒有一個一般的特別使用的式子可以表示所有的素數(shù)。第13頁，共38頁，2022年，5月20日

6、，13點34分，星期一1、哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)“所有的大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個素數(shù)”。第14頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一哥德巴赫猜想有兩個內(nèi)容：第一部分叫做偶數(shù)的猜想;第二部分叫做奇數(shù)的猜想。 偶數(shù)的猜想是說，大于等于6的偶數(shù)一定是兩個奇素數(shù)的和。奇數(shù)的猜想指出，任何一個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)的和。第15頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一例如：第16頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一哥德巴赫猜想的歷程1920年，挪威的布朗證明了 “9+9 ”。1924年，德國的拉特馬

7、赫證明“7+7 ”。1932年，英國的埃斯特曼證明了 “6+6 ”。 1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”第17頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一1938年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃證明“5+5 ”。1940年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃證明了“4+4 ”。1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+c ”，其中c是一很大的自然數(shù)。1957年，中國的王元先后證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。1956年，中國的王元證明了 “3+4 ”。第18頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)

8、的巴爾巴恩證明了 “1+5 ”，中國的王元證明了“1+4 ”。1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及 意大利的朋比利證明了“1+3 ”。1966年，中國的陳景潤證明了 “1+2 ”。第19頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一2、孿生素數(shù)猜想： 所謂孿生素數(shù)指的就是這種間隔為 2 的相鄰素數(shù)，它們之間的距離已經(jīng)近得不能再近了，就象孿生兄弟一樣。第20頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一最小的孿生素數(shù)是 (3, 5) 在 100 以內(nèi)的孿生素數(shù)還有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43),

9、 (59, 61) 和 (71, 73)，總計有 8 組。第21頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 孿生素數(shù)猜想：存在無窮多個素數(shù) p, 使得 p+2 也是素數(shù)。第22頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 截至2002年底，人們發(fā)現(xiàn)的最大的孿生素數(shù)是： (332189252169690-1, 332189252169690+1)第23頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一在證明孿生素數(shù)猜想上的成果大體可以分為兩類。 第一類是非估算性的結果，這一方面迄今最好的結果是一九六六年由已故的我國數(shù)學家陳景潤利用篩法 所取得的。陳景潤證明了

10、：存在無窮多個素數(shù) p, 使得 p+2 要么是素數(shù)，要么是兩個素數(shù)的乘積。第24頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一有無窮多個素數(shù)： 這個古老的命題最初是由古希臘數(shù)學家歐幾里德在他的不朽著作幾何原本里給出的。第25頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一證明（反證法）： 假設命題不真，則只有有限多個素數(shù)，設所有的素數(shù)是2=a1a2ai(i=1,2n).無論是哪種情況，都將和假設矛盾。這個矛盾就完成了我們的證明，所以確實有無窮多個素數(shù)！第26頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一親和數(shù)： 如果兩個數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b,b的

11、所有真因數(shù)之和等于a,則稱a,b是一對親和數(shù)。第27頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一220和284 220的因數(shù)除去本身之外，有1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110。把這些數(shù)相加1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。它們的和正好等于284嘛！284也一樣，因數(shù)（不包含本身）有1、2、4、71、142，把這5個數(shù)加起來就是220。難道這不奇妙嗎？第28頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 又如1184和1210，它們也是一對相親數(shù)。18世紀著名數(shù)學家歐拉，就曾經(jīng)一次向大家公布了60對相親數(shù)。第29

12、頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 完全數(shù): 如果一個數(shù)除去這個數(shù)本身不算外，其他所有因數(shù)的和還等于這個數(shù)，就把這個數(shù)叫做完全數(shù)。完全數(shù)是一些特殊的自然數(shù)。比如6，就是一個完全數(shù)。因為6的因數(shù)是1、2、3、6。除去6不算，1+2+3=6。這證明了6是最小的完全數(shù)。第30頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 28、496、8128、130816、33550336.這些都是完全數(shù)?，F(xiàn)在數(shù)學家們用電子計算機來驗算，已經(jīng)找到有好幾萬位的數(shù)值非常大的完全數(shù)。事實上，至今，人類只發(fā)現(xiàn)了44個完全數(shù)。第31頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期

13、一費馬(Fermat):數(shù)論大師費馬大定理： n2是整數(shù)，則方程xn+yn=zn沒有滿足xyz0的整數(shù)解。這個是不定方程，它已經(jīng)由美國數(shù)學家證明了(1995年)，證明的過程是相當艱深的！第32頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一費馬小定理： 假如p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么 a (p-1) 1（mod p） 假如p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么 a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1 。第33頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 成果：(1)全部素數(shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式。 (2)形如4n+1的素數(shù)能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數(shù)之和。(3)沒有一個形如4n+3的素數(shù)，能表示為兩個平方數(shù)之和。第34頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一 (4)形如4n+1的素數(shù)能夠且只能夠作為一個直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。第35頁，共38頁，2022年，5月20日，13點34分，星期一(5)邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)。(