高中數(shù)學(xué)必修二 專(zhuān)題6.3 平面向量的數(shù)量積-同步培優(yōu)專(zhuān)練

1、 專(zhuān)題6.2 平面向量的數(shù)量積知識(shí)儲(chǔ)備一兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作a，b，則AOB(0)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)0時(shí)，a與b同向；當(dāng)時(shí)，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱(chēng)a與b垂直，記作ab.二向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為，數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.【思考】若a0，且ab0，是否能推出b0.【答案】在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab0，則b0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab0，不能推出b0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于b.三

2、投影向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作a，b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為，則與e，a，之間的關(guān)系為|a|cos e.四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為，e是與b方向相同的單位向量.則(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)當(dāng)ab時(shí)，ab特別地，aa|a|2或|a|(4)|ab|a|b|.五平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.abba(交換律).2.(a)b(ab)a(b)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(ab)cacbc(分配律).【思考】若abbc，是否可以得出結(jié)論ac?【答案】不可以.已知實(shí)數(shù)

3、a，b，c(b0)，則abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如圖，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.能力檢測(cè)姓名：_ 班級(jí)：_ 得分：_注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共16題答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1（2020全國(guó)高三學(xué)業(yè)考試）已知向量滿(mǎn)足，則（ ）A4B3C2D0【答案】B【解析】因?yàn)椋?所以，故選：B.2（2020北京高一期末）設(shè)

4、，均為單位向量，且，則（ ）A3BC6D9【答案】B【解析】，均為單位向量，且，則.故選B3（2020浙江高二開(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，所以， 又因?yàn)閱挝幌蛄?，所以，所以向量的夾角為，且，所以，故選：C.4（2021安徽高三期末（文）如圖，則（ ）AB1CD【答案】C【解析】由，所以.故選：C5（2021安徽池州市高三期末（理）已知向量，滿(mǎn)足，且與反向，則（ ）A36B48C57D64【答案】A【解析】因?yàn)榕c反向，所以，又，所以，.故選：A6（2021北京高三期末）在中，且，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】，且，當(dāng)時(shí)，取得最小

5、值為，則取得最小值為.故選A.7（2020廣東佛山市高三月考）已知p是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊BC上的一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A2，6B2，4C(2，4)D(0，4)【答案】B【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，當(dāng)在時(shí)，在方向上的投影最大，當(dāng)在時(shí)，在方向上的投影最小，的取值范圍是2，4，故答案為：B.8（2020全國(guó)高三月考（理）已知等邊的面積為，動(dòng)點(diǎn)在的邊上，若線段為內(nèi)切圓的一條直徑，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，解得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，可知當(dāng)點(diǎn)在的頂點(diǎn)位置時(shí)，有最大值，此時(shí)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在

6、每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分9（2021江蘇高一）若、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（ ）AB若，則C若，則D若，則【答案】ACD【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯(cuò)，若，則與方向相反，B對(duì)，若，則，即，不能推出，C錯(cuò)，若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯(cuò)，故選ACD.10（2020膠州市教育體育局教學(xué)研究室高三期中）在中，則（ ）ABCD【答案】BCD【解析】因?yàn)樗?，所以，故正確；所以，所以，故不正確；因?yàn)?，故正確；，故正確.故選：BCD11（2020遼寧高一期末）在RtABC中，BD為斜邊A

7、C上的高，下列結(jié)論中正確的是（ ）ABCD【答案】AD【解析】對(duì)于A，故A正確；對(duì)于B，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，,故D正確.故選AD.12（2020全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理）已知平面向量，滿(mǎn)足.若，則的值可能為（ ）ABC0D【答案】BCD【解析】， ，則，所以的值可能為，故選：三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）13（2021上海市西南位育中學(xué)高二期末）已知，與的夾角為90，則_【答案】【解析】因?yàn)榕c的夾角為90，所以因?yàn)?，所?4（2021安徽蚌埠市高三二模（文）已知單位向量滿(mǎn)足：，則向量與向量的夾角_【答案】【解析】，即，

8、即又，15（2021湖南株洲市高三一模）在直角邊長(zhǎng)為3的等腰直角中，E、F為斜邊上的兩個(gè)不同的三等分點(diǎn)，則_.【答案】4【解析】設(shè)是接近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則，又，16（2021北京順義區(qū)高三期末）已知單位向量滿(mǎn)足，則與夾角的大小為_(kāi)；的最小值為_(kāi).【答案】 【解析】（1），；（2） ，當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值是.三、解答題（本大題共4小題，共70分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（本小題滿(mǎn)分10分）（2020山東省五蓮縣第一中學(xué)高一月考）已知，向量與向量夾角為45，求使向量與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍.【解析】，與夾角為45，而，要使向量與的夾角是銳角，

9、則，且向量與不共線，由得，得或.由向量與不共線得所以的取值范圍為：18（本小題滿(mǎn)分12分）（2021南昌市江西師大附中高一期末）在中，.（1）用和表示；（2）求.【解析】（1）如圖所示，因?yàn)?，所?（2）過(guò)點(diǎn)作于D，則，.因?yàn)?，所以，從?19（本小題滿(mǎn)分12分）（2021貴州畢節(jié)市高一期末）已知向量與的夾角為，.（1）若；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值.【解析】（1）向量與的夾角為，；（2），即，解得.20（本小題滿(mǎn)分12分）已知中，為角平分線（1）求 的長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于不同兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的值，并說(shuō)明理由【解析】（1）根據(jù)角平分線定理：，所以，所以所以：，所以.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.21（本小題滿(mǎn)分12分）在如圖所示的平面圖形中，已知，點(diǎn)A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)（1）試用，表示；（2）若，且，的夾角，試求的取值范圍【解析】（1）連接AB，則，A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)，則（2)，將，代入，則，則，故22（本小題滿(mǎn)分12分）（2020上海嘉定區(qū)高二期中）已知向量，滿(mǎn)足，且.（1）試用表示，并求出的最大值及此時(shí)與的夾角的值.（2）當(dāng)，取