線性代數(shù)練習(xí)題

1、 填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè) 都是4維列向量,且4階行列式則4階行列式_ 已知線性相關(guān),不能由線性表示則線性_ 設(shè)是階矩陣 ,是階矩陣,且,則的取值范圍是_4.設(shè)是43矩陣,且的秩且則_-5.設(shè)0是矩陣的特征值,則_-6.設(shè)是正定二次型,則的取值區(qū)間為 7.矩陣對應(yīng)的二次型是_8. 設(shè)相似于對角陣,則 9.設(shè)為3階方陣,為伴隨矩陣,則=_ 10.設(shè)是不可逆矩陣,則_ (8分)計算行列式三.(8分) 三階方陣滿足關(guān)系式:,且 ,求四.(10分)設(shè)求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組.五. (12分)問常數(shù)取何值時, 方程組無解,有唯一解,或有無窮多解,并在有無窮多解時寫出其一般解.六. (16

2、分)求正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)形.七. (8分)設(shè)都是階矩陣,且可逆,證明與有相同的特征值八. (8分)設(shè)向量組線性無關(guān),向量可由向量組線性表示,而向量不能由向量組線性表示.證明:個向量必線性無關(guān). 填空題 (每小題3分，滿分30分)1. 設(shè)A、B為4階方陣，且，則 A是矩陣，其秩rank=1, , 則rank= _ 6.7.設(shè)方陣A有一特征值為，則的特征值為 。8. 9.線性代數(shù)試卷（3）一.填空題(每小題3分,滿分30分)1.設(shè)是3階矩陣,且,其中均為3維行向量, ,則行列式 2.已知方陣滿足(為常數(shù)),則 3.設(shè),則應(yīng)滿足_.4.設(shè)線性相關(guān), 線性無關(guān),則線性_關(guān).5.

3、設(shè)線性相關(guān),則滿足關(guān)系式_6.設(shè)A滿足,則A有特征值_7.設(shè)A為n階方陣,且是的三個線性無關(guān)的解向量, 則的一個基礎(chǔ)解系為_.8.二次型正定,則滿足條件 _.9.設(shè)方陣相似于對角矩陣,則_.10.設(shè)A是矩陣,則_二.(8分)計算行列式三(8分)設(shè),矩陣滿足關(guān)系式:,求四.(10分)設(shè)求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組.五. (14分)對參數(shù)討論方程組的解,有解時,求出其解.六. (16分)設(shè)實對稱矩陣 求正交矩陣使為對角矩陣.并寫出對角陣七. (8分)設(shè)向量線性無關(guān),且證明向量組線性無關(guān). 八.(6分)已知三階矩陣的特征值為,設(shè)矩陣,求矩陣B 的特征值及其相似對角陣線性代數(shù)試卷（4）填空題(每小題

4、3分,滿分30分) 設(shè)都是5階矩陣,且,則 已知,則 (其中I是n階單位陣),已知矩陣A的秩r(A)=2,則 ,又是的代數(shù)余子式,則 5.若一向量組只有唯一的極大無關(guān)組,則該向量組 6.設(shè)是正定二次型,則的取值區(qū)間為 7.設(shè)是階正交矩陣,則 8. 設(shè)相似于對角陣,則 9.設(shè)非齊次線性方程組的兩個解為的秩為,則的一般解 . 的秩為2,則 .(8分)計算n階行列式 (8分)求矩陣滿足四.(10分)設(shè)求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組.五. (12分)問常數(shù)各取何值時, 方程組無解,有唯一解,或有無窮多解,并在有無窮多解時寫出其一般解.六. (16分)求正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)形.七.

5、 (8分)設(shè)向量線性無關(guān),且證明向量組線性無關(guān). 八. (8分)為n階方陣,且與均不可逆.試討論是否相似于對角陣,并說明理由線性代數(shù)試卷（5） 填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè)都是階方陣,且則 . 設(shè)是階方陣,則的伴隨矩陣= 若向量組可由向量組線性表示,且線性無關(guān),則與的大小關(guān)系為_實二次型相應(yīng)的實對稱矩陣大于0的特征值個數(shù)為 5. 設(shè)是階方陣,均為方程組的解,且,則_6.設(shè)都是階方陣,且則_7.已知均為3維向量,且滿足,則內(nèi)積_8.設(shè)是正定矩陣,則的取值為_.9設(shè)是階方陣且與階單位矩陣等價則線性方程組的解的個數(shù)為 10.行列式_二.計算題(每題8分,共48分)1. 計算4階行列式2.求下列

6、矩陣的秩,并指出該矩陣的一個最高階非零子式 3.設(shè),求4.設(shè),把表示成三個初等矩陣的乘積.5.設(shè)是階方陣的屬于特征值的特征向量,是可逆矩陣,求的屬于特征值的一個特征向量.6.設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)為3階方陣.已知,且,求的值 設(shè)都為階方陣,已知與相似,與D相似證明與相似四求一個正交變換,使下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形線性代數(shù)試卷（6）一.填空題(每小題3分,滿分30分) _。 二.(8分)計算n階行列式三(8分)已知矩陣滿足關(guān)系式： 其中, 求四(10分)設(shè)向量組問(1)為何值時，向量組線性無關(guān)。（2）為何值時，向量組線性相關(guān)，并求其秩及一個極大無關(guān)組。五(14分)對參數(shù)討論方程組的解,有解時,求

7、出其無窮多解。六(16分)設(shè) 求可逆矩陣使得為對角矩陣，并求。七. (8分)設(shè)為3維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：。八.(6分)已知矩陣與相似，其中 求和。線性代數(shù)解答（07）一、選擇題（每小題3分，共計15分）1設(shè)均為階方陣，則 (C) (A)； (B)； (C)； (D)2設(shè)，則必有 (C) (A)； (B)； (C)； (D)3設(shè)向量組滿足：（1）；（2）。則向量組的秩為 (B) (A)3； (B)4； (C)5； (D)前三個都不對4設(shè)是矩陣且，則下列說法錯誤的是 (D) (A)齊次線性方程組有無窮多解； (B)非齊次線性方程組的增廣矩陣的行所成的向量組線性無關(guān)； (C)非齊次線性

8、方程組一定有無窮多解；(D)非齊次線性方程組可能無解5設(shè)是階實對稱矩陣，則下列說法正確的是 (A) (A)一定有個線性無關(guān)的特征向量； (B)的特征值一定為正； (C)的任意兩個不同的特征向量一定是正交的； (D)一定有個不同的特征值二、填空題（每小題4分，共計20分）已知，則 0 . 2若向量組線性相關(guān)，則_2_3設(shè)是階方陣，若有非零矩陣使，則0 _4設(shè)是階矩陣且，是的一個特征值，則必有一個特征值是_1_5若階矩陣的特征值為，矩陣與相似，則n! 三、計算題（共計39分）1（13分）設(shè)滿足，其中，求解 由得 2（13分）設(shè)非齊次線性方程組 問：、取何值時，此方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并

9、在有無窮多解時求其通解解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣： 所以，（1） 當(dāng)時，此時方程組有唯一解（2）當(dāng)，時，此時方程組無解（3）當(dāng)，時，此時方程組有無窮多解，時，增廣矩陣的行最簡形矩陣為通解為：3（13分）設(shè)二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求的值并求出該正交變換 解 二次型的矩陣及標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別為， 因為，所以有 ，即由此得而且矩陣的三個特征值分別為特征值對應(yīng)的單位特征向量為特征值對應(yīng)的單位特征向量為特征值對應(yīng)的單位特征向量為令： 得該正交變換為 四、（共計26分）1（6分）設(shè)為階矩陣，且滿足，問：矩陣是否可逆？證明你的結(jié)論解 所以，不可逆。2（6分）設(shè)是階可逆矩陣，是的伴隨矩

10、陣。求：； 解 （1）（2）3（6分）設(shè)三階方陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為 ，。 又設(shè)向量，求解法一： = p2且A p2 =2 p2， A2 p2 =22 p2， ，An p2 =2n p2An=2n =。解法二：， ，。，。4（4分）設(shè)階矩陣的每行元素之和為，求矩陣的一個特征值和特征向量解 ，則，所以是的一個特征值，對應(yīng)的特征向量為。5（4分）設(shè)是階正定矩陣，是階反對稱矩陣，即，問：是否是正定矩陣？證明你的結(jié)論 解 。設(shè)，則 是正定矩陣，所以時，。故時。是正定矩陣。線性代數(shù)試題b(07)一、判斷題（正確的填T，錯誤的填F。每題3分，共18分）1與為階方陣，。 （ ）2向量組線性無關(guān)，

11、則也線性無關(guān)。 （ ）3方陣一定不可逆。 （ ）4若,是同階可逆矩陣，則與有相同的特征值。 （ ）5方陣為正定矩陣的充分必要條件是。 （ ）6與為階方陣，若，則。 ( )二、 選擇題（每題4分，共12分）1兩個階初等矩陣的乘積一定為（ ）。（A）初等矩陣； （B）單位矩陣；（C）可逆陣；（D）不可逆陣。2與相似的對角矩陣共有（ ）。（A）0個； (B)1個； （C）3個； （D）6個。3已知線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣，且的行向量組線性無關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（ ）。（A）的列向量組線性無關(guān)； （B）線性方程組的增廣矩陣的任意四個列向量線性無關(guān)；（C）線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無關(guān)；（D

12、）線性方程組的增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)。三、 填空題（每題4分，共12分）若向量組線性相關(guān)，則_2滿足什么條件 時，方程組有非零解。3若方陣的每行的元素的和均為，則的一個特征值為 ，一個特征向量為 。四、計算下列各題（每題8分，共32分）1已知，其中，求。2已知向量組，。求該向量組的秩以及一個極大無關(guān)組。3取什么值時，線性方程組無解？有唯一解？有無窮多個解？并在有無窮多解時求其通解。4求正交變換 ，用此正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。五、解答下列各題（每題8分，共16分）1 已知方陣滿足，判斷，是否可逆？如果可逆，求它們的逆矩陣。2設(shè)矩陣，其中線性無關(guān)，,向量求線性方程組的通解。六、證明題（每題

13、5分，共10分）1已知均為階對稱陣，證明：。2三階方陣，證明：矩陣的秩。線 性 代 數(shù) 試 卷(A) 一、選擇題（每題3分，共15分）1.2.3.設(shè)是維列向量,階方陣,，則在的個特征值中,必然_(A) 有個特征值等于1 (B) 有個特征值等于1(C) 有1個特征值等于1 (D) 沒有1個特征值等于14.5. 一定無解 可能有解 一定有唯一解 一定有無窮多解二、填空題（每題3分，共15分）1.設(shè)是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則 =_2. D中第二行元素的代數(shù)余子式的和=_ ,其中D = 3. 已知實二次型正定,則實常數(shù)的取值范圍為_ 4. 2階行列式 ,其中階矩陣 5. 設(shè)A=而2為正整數(shù)，則三

14、、計算題(每題9分,共54分)1. 計算階行列式 2. 求矩陣使 3. 設(shè)非齊次線性方程組有三個解向量 ， ， 求此方程組系數(shù)矩陣的秩,并求其通解(其中為已知常數(shù))4. 已知實二次型 =經(jīng)過正交變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形,求實參數(shù)及正交矩陣5. 設(shè)線性方程組為 ，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解6. 在四元實向量構(gòu)成的線性空間中,求使為的基,并求由基的過渡矩陣,其中 四、證明題(每題8分,共16分)1. 設(shè) 是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明:也是的標(biāo)準(zhǔn)正交基2. 設(shè)是元實二次型,有維實列向量,使，, 證明:存在維列實向量,使=0線 性代 數(shù) 試 卷（B） 一、選

15、擇題（每題3分，共15分）設(shè)階行列式=，是中元素的代數(shù)余子式，則下列各式中正確的是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 2. 階實對稱矩陣和相似的充分必要條件是 (A) 與都有個線性無關(guān)的特征向量；(B) ；(C) 和的主對角線上的元素的和相等；(D) 與的個特征值都相等3. 設(shè),是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則下列向量組中不再是的基礎(chǔ)解系的為_(A) ,+,+,+；(B) +,+,+,-；(C) +,-,+,+；(D) +,+,+,+4. 設(shè)方程組有無窮多組解，則必有_(A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 25. 設(shè)向量組是向量組的線性無關(guān)的部分向量組，則_ _(A) 向量組是

16、的極大線性無關(guān)組(B) 向量組與的秩相等(C) 當(dāng)中向量均可由線性表出時，向量組，等價(D) 當(dāng)中向量均可由線性表出時，向量組，等價二、填空題（每題3分，共15分）1設(shè) ，5，是矩陣的特征值，則= ，對應(yīng)三個特征值的特征向量是 ,且 （選填；線性無關(guān)，線性相關(guān)，相互正交，相互不正交）2設(shè)為階可對角化矩陣,且,則A必有特征值 ；且其重數(shù)為 ，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有 個3已知實二次型= 是正定二次型，則參數(shù)的取值范圍為 4設(shè)，已知，都是齊次線性方程組的解，則矩陣 （答案不唯一）5設(shè)A 為階可逆陣，且，則= 三、計算題（每題9分，共54分）1. 試求行列式 ，其中，為 階方陣，已知線性方程組，

17、（1）常數(shù)取何值時，方程組有無窮多解、唯一解、無解？（2）當(dāng)方程組有無窮多解時，求出其通解3設(shè)4階方陣滿足方程 ，試求矩陣，其中4求正交變換，用此正交變換將以下實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形=5設(shè)已知非齊次線性方程組 的三個解為， ， ，求：(1) 齊次線性方程組的通解；(2) 非齊次線性方程組的通解6設(shè)線性空間中的向量組為=，=，=，=，=，=（1）求由,生成的子空間L(,)的維數(shù)與一個基；（2）從,中選出屬于L(,)的向量，并求出它們在（1）中所選的基下的坐標(biāo)。四、證明題（每題8分，共16分）1設(shè)和是階正定矩陣，證明：合同于2設(shè) 是齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系，向量滿足，證明：向量組 線性無關(guān)。線 性

18、代 數(shù)試 卷(C) 一、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)矩陣，則行列式 (A)； (B)； (C)； (D)2.設(shè)三階矩陣，已知伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 3.設(shè)是維非零實列向量,矩陣,，則_(A) 至少有1個特征值為1； (B) 恰有個特征值為1；(C) 只有1個特征值為1； (D) 沒有1個特征值為14.(A) ； (B) ；(C) ； (D) 5.已知解向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，以下解向量組中，也是的基礎(chǔ)解系的是 ； ； ； 二、填空題（每題3分，共15分）1設(shè)4階方陣的伴隨矩陣為，且它們的秩為，則秩 _；2. 設(shè)階向量，；矩陣 ,且，

19、則_ _； 3. 已知實二次型正定,則實常數(shù)的取值范圍為_； 4. 設(shè)向量和都是矩陣對應(yīng)特征值的特征向量，且向量，則向量 ；5. 設(shè)為階實矩陣，且，則行列式 三、計算題(每題9分,共54分)1. 計算5階行列式： 2. 設(shè)4階方陣滿足方程 ，試求矩陣，其中3. 已知為三階實對稱矩陣，,是對應(yīng)特征值的特征向量，試求：（1）的另一個特征值及其特征向量； （2） 矩陣4. 已知實二次型 =求正交變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交變換 5. 設(shè)的兩個基，；， （1） 求由基 的過渡矩陣； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐標(biāo)6. 設(shè)線性方程組為，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無

20、窮多解時求出其通解四、證明題(每題8分,共16分)1設(shè)為階矩陣，且滿足，證明：2. 設(shè)是階實矩陣,證明：為正定矩陣的充分必要條件為存在階正定矩陣，使線性代數(shù)試卷答案（1）線性代數(shù)試卷答案（2）線性代數(shù)試卷答案（3）線性代數(shù)試卷答案（4） 單位化得正交矩陣 線性代數(shù)試卷答案（5）線性代數(shù)試卷答案（6） 填空題:1.; 2.; 3.; 4.相關(guān);5.; 6.; 7.; 8.0;9.; 10.;二.三.,.四.五.六. 可逆矩陣,七.只需證八.利用相似矩陣有相同的行列式及相同的特征值. 線性代數(shù)（07）B解答一、F F T T F T 二、C C C 三、 _2_； 或； 特征值為，特征向量為。四、

21、計算下列各題（每題8分，共32分）1解：2解：所以該向量組的秩為3，而線性無關(guān)，為其一個極大無關(guān)組。3解：線性方程組的增廣矩陣為當(dāng)，即時，線性方程組有唯一解；當(dāng)時，或a=1,b 1/2 時，線性方程組無解；當(dāng) a =1,b = 1/2時，線性方程組有無窮多個解，此時 線性方程組的通解為, k R。4解：二次型的矩陣為 其特征值為解，得所對應(yīng)的特征向量為解，得所對應(yīng)的特征向量為三個特征向量是相互正交的。正交變換矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為五、1 解：由得，知，可逆，且，。 2解：由得線性方程組的特解。 由線性無關(guān)，知，線性方程組的基礎(chǔ)解系含有個解向量。而，的基礎(chǔ)解系為。 的通解為。六、1證明：2證明：由三階

22、方陣得，故。 若，則的基礎(chǔ)解系只含有一個解向量，但即，為的解。但，的秩為2，即的基礎(chǔ)解系至少含有兩個解向量，矛盾。故。線性代數(shù)考試A參考答案一、選擇題1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空題1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.三、計算題1. 解 各列加到第一列，提出公因式= 8分= 9分2. 3分 9分3. 由題設(shè)條件知,是的三個解，因此， 是對應(yīng)的齊次線性方程組的線性無關(guān)解向量,因此,系數(shù)矩陣的秩2又中有二階子式，2，因此2 3分因此，為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系。由此可得線性方程組的通解： ， 為任意常數(shù) 9分4.的矩陣有特征值 由2分 A對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量， ， 5分 A對應(yīng)的單位正交特征向量 ， 8分 于是正交變換X = QY中的正交矩陣 = 9分 5. 3分 當(dāng)4時，方程組有唯一解當(dāng)4，2時，方程組無解5分當(dāng)4，2時，3 4，方程組有無窮多組解,其通解為， 為任意常數(shù) 9分6. 解： 2分設(shè),則 ， 4分設(shè) ,則 9分四、證明題證：因為4分 所以是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 8分2. 證:是不定二次型,設(shè)的正慣性指數(shù)為P,的秩為r，則, 2 分可經(jīng)非退化線性變換化為規(guī)范形= 4分取 ,則有 使= 8分線性代數(shù)期末考試B參考答案一、選擇題1C； 2D； 3D； 4A； 5D；二、填空題