多元函數(shù)微積分學

1、1第六章多元函數(shù)微積分學6.1空間解析幾何習題6-1在空間直角坐標系中，指出下列各點所在的卦限:A(-2,2,3);B(6,2,4);C(1,5,3);D(3,2,4);E(4,3,2);F(2,3,1);G(3,3,5);H(1,2,3).寫出坐標面上和坐標軸上的點的坐標的特征，并指出下列各點的位置:A(2,0,3);B(0,2,4);C(0,0,3);D(0,2,0);求點M(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標面；(2)各坐標軸；坐標原點的對稱點的坐標.求以點0(1,3,2)為球心，且通過坐標原點的球面方程.5求與原點和M(2,3,4)的距離之比為1:2的點的全體所構(gòu)成的曲面的方程，它表示0怎樣

2、的曲面？指出下列方程組所表示的曲面x2+y2+z2=4；指出下列方程組所表示的曲線:(1)X2+y2+z2=25x=3x2+y2一2z=0；x2y2=0；x2+y2=0；(5+胃y2x225=1;(7)yJ5z=0；(10)z2一x2一y2=0.6.2多元函數(shù)的基本概念習題6-2二x2y2，求f(x,y).2.已知函數(shù)f(u,v,w)二uw+wu+v，試求f(x-y,x+y,xy).3.求下列各函數(shù)的定義域:(1)z=ln(y22x+1)；z=x；yarcsin(3-x2-y2)(3)z=寸4x2y2+x2+y2一1(5)z=ln(y-x)+x1x2y2z(6)u=arccosx2+y24.求

3、下列各極限:lim竺+ey)xTl耳,x2+y2ytOlim2rxy+4(x,y)T(0,0)xylim上匯xT0 x2+y2yT05.證明下列極限不存在:limx2+y2sinx2+y2xT0yT0J(x2+y2)3(3)lim(x2+y2)e(x+y);xT+ayT+a；lim1C0S(x2+y2)xT0yT0(X2+y2)ex2y2lim2x2一y2；(x,y)t(0,0)3x2+2y2lim(l+xy)x+y；xtOytO(3)lim(x,y)t(0,0)xy+11x+y6.研究下列函數(shù)的連續(xù)性:(1)f(x,y)=十；y22x(2)f(x,y)二xyln(x2+y2).7設(shè)f(x,y

4、)=丄yex22y2ex2+10,x北0,訊壬忌，討論f(x,y)在(0,0)處的連續(xù)性.x=0,y任意6.3偏導(dǎo)數(shù)習題6-31.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):(1)z=x3y+3x2y2一xy3；z二2xyz=Jln(xy)；(4)Z=xsiny;(5)z二(1+xy)y；(6)z=ex(cosy+xsiny)；(7)z=sin(xy)+cos2(xy)；(8)z=lntan；y(9)u=sin(x2+y2+z2)；1+丄比dz2.設(shè)zeIxy丿，證明x2+y2=2z.oxoy3.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求f(x,1).yx4.設(shè)f(x,y)=(x2+y)sin=,(x,y)豐(0

5、,0)x2+y2，求f(0,0)，f(0,0).xy(x,y)=(0,0)0,x2+y2z=4在點(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少?、y=4d2zd2zd2z6求下列函數(shù)的亦，麗和応:z=xln(x+y)；(2)z=x2yexy；(3)z二yx.7.設(shè)f(x,y,z)二xy2+yz2+zx2，求f(0,0,1)f(1,0,2)，f(0,-1,0)及xxxzyzf(2,0,1).zzxTOC o 1-5 h zy2dzdz8設(shè)z=+9(xy)，其中函數(shù)(u)可導(dǎo)，證明x2+y2=xy3xdxdyd3zd3z9設(shè)z=xln(xy)，求亍及亍廠.dx2dydxdy26.4全微分及其應(yīng)

6、用習題6-4求下列函數(shù)的全微分:xy(1)z=3x2y+；(2)z=sin(xcosy)；(3)z=.；(4)u=xyz.yJx2+y2求函數(shù)z二ln(2+x2+y2)在x=2,y=1時的全微分.3.設(shè)f(x,y,z)=zy，求df(1,1,1).求函數(shù)z=在x=2,y=1,Ax=0.1,Ay=-0.2時的全增量Az和全微分dz.x求下列函數(shù)在各點的線性化.(1)f(x,y)=x2+y2+1,(1,1)；(2)f(x,y)=excosy,(0,“2).計算(1.02)3+(1.97)3的近似值.計算(1.007)2.98的近似值.已知邊長為x=6m與y=8m的矩形，如果x邊增加2cm，而y邊減

7、少5cm，問這個矩形的對角線的近似值怎樣變化？9用某種材料做一個開口長方體容器，其外形長5m，寬4m，高3m，厚20cm，求所需材料的近似值與精確值.V10.由歐姆定律，電流I,電壓V及電阻R有關(guān)系R=-.若測得V=110V，測量的最大絕對誤差為2V，測得I=20A，測量的最大絕對誤差為0.5A問由此計算所得到的的最大絕對誤差和最大相對誤差是多少？6.5復(fù)合函數(shù)微分法習題6-5TOC o 1-5 h zydz1.設(shè)z=，而x=et,y=1-e2t，求.xdtdz2.設(shè)z=ex-2y，而x二sint,y二t3，求一.dtxQz6乙3.設(shè)z=u2lnv，而u=，v=3x一2y，求，yQxQy4設(shè)z

8、二(x2+y2)xy，求字，；QxQydz5.設(shè)z=arctan(xy)，y二ex，求一.dt6.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)):(l)u二f(x2-y2,xy)；(3)u=f(x,xy,xyz).(2)ufIy空-2空+空=0.7設(shè)z=頁七，其中f為可導(dǎo)函數(shù),驗證1?+丄害=-xQxyQyy28設(shè)函數(shù)u二f(x+y+z,x2+y2+z2)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求Au=Q2uQ2u+Qx2Qy2Q2uQz2Q2z9設(shè)z=心一y，ySinx)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求麗Q2zQ2zQ2z10求下列函數(shù)的，(其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)).Qx2QxQyQy2(yu=f(

9、xy,y);(2)u二f-,x2y.Ix丿11設(shè)z=f(x,y)二次可微，且x=eucosv，y二e“sinv，試證:Q2zQx2Q2z+Qy2rQ2zQ2z、=e-2u+、Qu2Qv2丿12設(shè)u=Ap(x+y)+)4(x+y)，其中函數(shù)申,具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，驗證:ox2oxoyoy26.6隱函數(shù)微分法習題7-61.已知In：x2+y2=arctan，求dy.CzCyxdx2.設(shè)x+2y+z-2Qxyz=0，求竺,cx3.設(shè)函數(shù)z(x,y)由方程Fx+,y+=0所確定，證明czczxox+yoy=z-xy(z)4設(shè)x2+y2+z2=yf-Iy丿，其中f可導(dǎo)，求字，字cxcy5.設(shè)(u,v)具有

10、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程(cx-az,cy-bz)=0所確定的隱函數(shù)TOC o 1-5 h zz=f(x，y)滿足af+b=c-cxoyo2zo2z6設(shè)z3-2xz+y=0，求，ox2oy2設(shè)z5-xz4+yz3C2z=1，求oxcy(0,0)8設(shè)x+y+z=01Ix2+y2+z2=1dx求d?dydz9.設(shè)f+y+z+z2=00，求岸Ix+y2+z+z3=0dxdydxIx=eu-usinv10設(shè)Iy=eu-ucosv求翌,CxovCuCv11.設(shè)ex+y=xy，證明:d2y=-y(x1)2+(y巴dx2x2(y-1)36.7多元函數(shù)的極值及其求法習題6-71求函數(shù)f(X,y)二x3+y3-3

11、xy的極值.2.求函數(shù)f(x,y)二(x2+y2)2-2(x2-y2)的極值.3求函數(shù)f(x,y)二e2x(x+y2+2y)的極值.4.求函數(shù)f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y),0 x兀,y的極值.厶5.求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10二0確定的函數(shù)z=f(x,y)的極值.欲圍一個面積為60m2的矩形場地，正面所用材料每米造價10元，其余三面每米造價5元，求場地的長、寬各為多少米時，所用材料費最少？.將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱體，問矩形的邊長各為多少時，才能使圓柱體的體積最大？拋物面z二x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到此橢圓的

12、最長與最短距離.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A與B，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品A與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品B的總費用是400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）（元）.求取得最大利潤時兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量.為了測定刀具的磨損速度，按每隔一小時測量一次刀具厚變的方式，得如下表所示的實測數(shù)據(jù)順序編號，01234567時間t（小時）i01234567刀具厚度y（毫米）i2726.826.526.326.125.725.324.8試根據(jù)這組實測數(shù)據(jù)，建立變量y和t之間的經(jīng)驗公式y(tǒng)=f（t）.6.8二重積分的概念與性質(zhì)D0 x1,0y1；I二JJsin2xsin2ydb，其中D=x,y)I=JJ(x

13、+y+1)da，其中D=x,y)I=JJ(x2+4y2+9)db，其中D=0 xK,0yk;0 x1,0y2；(x,y)x2+y24.習題6-8-1x1,-2y2,又1設(shè)I=JJ(x2+y2)da,其中D=,y)11D10 xlye.JJln(x+y)db和JJln(x+y)3db，其中D=DD4.利用二重積分的性質(zhì)估計下列積分的值I=JJxy(x+y)do，其中D=x,y)(8)D6.9二重積分的計算(一)習題6-91.計算下列二重積分：|y|1；(1)JJ(x2+y2)de，其中D:DJJ(3x+2y)de，其中區(qū)域D由坐標軸以及x+y=2圍成；D(3)JJ(x3+3x2y+y3)de，其

14、中D:0 x1,0y1；DJJxcos(x+y)de其中D是頂點分別為(0,0)，5,0)和(兀,兀)的三角區(qū)域.D畫出積分區(qū)域并計算二重積分：(1)(2)(3)(4)JJxjydb，其中D是由y=x2,y=lx圍成的閉區(qū)域；DJJxy2de,其中D是圓周x2+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域；DJJ(x2-y2)de，其中D:0ysinx,0 x2兀DJJex+yde，其中D:卜|+D|y|1;(6)(7)JJ(x2+y2-x)de,其中D是由y=2,y=x及y=2x所圍成的閉區(qū)域;DJJde，其中D由y=x,y=,x=2所圍成;x2DJJxde,其中D由y=x2+1,y=2x,x=0圍成;

15、y+1Dx2JJde，其中D由xy=2,y=1+x2,x=2圍成;y2(9)JI6x2y2dxdy,其中D由y二x,y二-x,y二2-x2圍成的在x軸上方的區(qū)aaayD域.改變下列二次積分的次序：J1dyJyf(x,y)dx；00J2dyJ2yf(x,y)dx0y2(3)J1dyj1丄f(x,y)dx；0-1-y2J2dx2x-x2f(x,y)dy;12-xJedxJlnxf(x,y)dy；10J兀dxJsinxf(x,y)dy；0-sin工2J1dxJxf(x)dy+J2dxJ2-xf(x)dy.0010證明：J1dyJyeyf(x,y)dx=J1(e-ex2)f(x)dx.000如果二重積

16、分JJf(x,y)dxdy的被積函數(shù)f(x,y)是兩個函數(shù)f(x)及f(y)12D的乘積，即f(x,y)=f(x)-f(y)，積分區(qū)域D=l(x,y)|axb,cya)圍成的區(qū)域，證明：JbdxJxf(x,y)dy=JbdyJbf(x,y)dx.設(shè)f(x)在o,l上連續(xù)，并且J1f(x)dx=A，求J1dxf1f(x)f(y)dy.00 x用二重積分表示由曲面z二0,x+y+z二1,x2+y2二1所圍成的立體體積.計算由四個平面x=0,y=0,x+y=1所圍成的柱面被平面z二0及拋物面x2+y2=6-z所截得的立體體積.10.求由曲面z二x2+2y2,z二6-2x2-y2圍成的立體體積.6.1

17、0二重積分的計算(二)習題6-101.把JJf(x,y)dxdy化為極坐標形式的二次積分，其中積分區(qū)域D為:D(2)a2x2+y2b2(0ab)；(1)x2+y20)；(3)x2+y22x；(4)0y1-x,0 x1.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分(1)J1dxJ1f(x,y)dy；00(3)J1dxJ，1-x2f(x,y)dy；01-x(2)(4)J2dxJ3xf(x,y)dy；0 xJ1dxJx2f(x,y)dy.00J1dxJx(x2+y2)-2dy；0 x2化下列積分為極坐標形式并計算積分值(2)(1)J2adxJ2ax-x2(x2+y2)dy；00(3)JadyJa2-y2(x

18、2+y2)dx.00計算下列二重積分：JJex2+y2db，其中D是由x2+y2二4所圍成的閉區(qū)域；JJln(l+x2+y2)db，其中D是由圓周x2+y2二1及坐標軸所圍成的在第一象限D(zhuǎn)內(nèi)的閉區(qū)域；JJarctan-de,其中D是由x2+y2二4,x2+y2二1及直線y=0,y=x所圍成x的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；JJJx2+y2do，其中D是由x二a,y二x+a,y二a,y=3a及x軸圍成;DJJ(x+y)dxdy.x2+y20)所圍成的閉區(qū)域；D(4)(5)(6)+y2db，其中D是由圓環(huán)形閉區(qū)域：a2x2+y2b2；(x+y)db，其中D:x2+y2-2ax0,y0)所圍成的閉區(qū)域.7.

19、做適當變量代換證明等式：J!f(x+y)dxdy=f1f(u)du,其中閉區(qū)域D:-1DIx|+|y|0)的定義域.2.求下列極限:/(1、(1)lim1+_x+y；x丿yTalimx+yxTax2xy+y2yTax2y3.試判斷極限lim是否存在.xt0 x4+y2yt04.討論二元函數(shù)f(x,y)=(x+y)cos丄，x豐0 x在點(0,0)處的連續(xù)性.x=00,5.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):(1)z=ixye-12dt；0(2)u二arctan(x-y)z.2r6.設(shè)r=x2+y2+z2,證明：+ox2oyo2ro2r2+=2oz2rz7.求函數(shù)u=arcsinx2+y2的全微分.8.求u(x

20、,y,z)二xyyzzx的全微分.9設(shè)z=(x2+y2)e-arc噸，求dz,-.oxoy10.設(shè)f(x,y)=x2y,x2+y2豐0 x2+y20,x2+y2=0，求f(x,y)及fy(xy)xy11設(shè)f(x,y)=x2+y2丨0,sin(x2+y2),討論f(x,y)在點(0,0)處的可微性.12.設(shè)f(x,y)=(x2+y2)sin-x2+y20,問在點(0,0)處，偏導(dǎo)數(shù)是否存在？偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？是否可微？說明理由.cosx，求dx13.設(shè)u=(y_z)，y=asinx，za2+1ydz8z14.設(shè)z=xy+xF(u)，而u=,F(u)為可導(dǎo)函數(shù)，證明+y=z+xy.xexcyC2z1

21、5設(shè)z=f(u,x,y)，u=xey，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求CxCyem+nzcxmcynm，n為自然數(shù)).x+y16.設(shè)u=(x豐y)，求x-yTOC o 1-5 h z17設(shè)z=z(x,y)為由方程xyz+Jx2+y2+z2=丫2所確定的隱函數(shù)，求舟和f.CxcyCzCzCxCyxy、Cz18.設(shè)方程F=0確定了函數(shù)z=z(x,y)，求亍,Izz丿CxC2z19設(shè)z為由方程f(x+y,y+z)=0所確定的函數(shù)，求dz，.Cx220設(shè)z3-3xyz二a3，求C-L.CxCy21設(shè)f=x2+y2，求字，dz.Ix2+2y2+3z2=20dxdx22.求函數(shù)f(x,y)=ln(1+x2+y2)+1-15-的極值.23將正數(shù)a分成三個正數(shù)x,y,z，使f=xmynzp最大，其中m,n,p均為已知數(shù).某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為p和p，銷售量分別為12q和q，需求函數(shù)分別為q=24-0.2p和q=10-0.05p，總成本函數(shù)為121122C=35+40(q+q).試問:廠家如何確定商品在兩個市場的售價，才能使獲得的總利潤最12大？最大總利潤為多少？某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種產(chǎn)品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R(萬元)與電臺廣告費用x(萬元)及報紙廣告費用x(萬元)之間的關(guān)系有如下的1