初中數(shù)學(xué)專題：旋轉(zhuǎn)問題

1、專題二旋轉(zhuǎn)_學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：出題位置：選擇、填空最后一道題和倒數(shù)第二道題，壓軸題最后兩道“旋轉(zhuǎn)”在蘇教版中是一個(gè)獨(dú)立章節(jié)，在中考和平時(shí)的考試張經(jīng)常出現(xiàn)，結(jié)合三角形，四邊形等基本圖形考察學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。同時(shí)，旋轉(zhuǎn)對(duì)解決動(dòng)點(diǎn)問題有極大的幫助。一、基本圖形一：將ZAOB旋轉(zhuǎn)至ZAOB,圖、分別可以得到結(jié)論？旋轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)有一組對(duì)角相等（考題規(guī)律,如果已知條件為較小的角度相等,則題目一定需要較大的角相等；如果條件給出較大的角相等,則一定需要較小的角相等）二、基本圖形二：將厶AOB旋轉(zhuǎn)至AOB，連接AA與BB，分別在圖、中證明0AA與厶OBB相似。旋轉(zhuǎn)后連接得到的兩個(gè)三角形相似。因?yàn)樾D(zhuǎn)的兩個(gè)三角形全等

2、，連接后出現(xiàn)等腰三角形，頂角相等；則底角亦相等；或根據(jù)夾角成比例證明相似三、解題步驟（1）第一步：找旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，角相等；（2）第二步：證全等、相似；（3）第三步：利用全等、相似得到邊、角條件。:-*模塊精講例1在銳角厶ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45,將厶ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到Aq.（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段CA的延長線上時(shí)，如圖1,求ZCCA的度數(shù)；111（2）如圖2,AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接AA1，Cq,若厶ABA1的面積為4,求厶CBC勺面積；（3）點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在厶AbC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P,求線段EP1

3、長度的最大值與最小值.1例2.已知ABC是等邊三角形.（1）將厶ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0岡180），得到ADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)0.如圖a，當(dāng)=20時(shí)，AABD與厶ACE是否全等？（填“是”或“否”），ZB0E=度；當(dāng)ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求ZB0E的度數(shù)；（2）如圖c,在AB和AC上分別截取點(diǎn)B和C,使AB=AB，,AC=AC，連接BC,將厶ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0180）,得到ADE.BD和EC所在直線相交于點(diǎn)0,請(qǐng)利用圖c探索ZB0E的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.例3（一）如圖，在ABC和厶ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90.當(dāng)點(diǎn)D

4、在AC上時(shí)，如圖（1）,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你猜想的結(jié)論；將圖（1）中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0角（0VaV90），如圖（2），線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.（二）當(dāng)厶ABC和厶ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立?不必說明理由.甲：AB：AC=AD：AE=1,ZBAC=ZDAE90；乙：AB：AC=AD：AE1,ZBAC=ZDAE=90；丙：AB：AC=AD：AEM1,ZBAC=ZDAEM90.例42016揚(yáng)州】已知正方形ABCD的邊長為4,一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別

5、與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F,連接EF。設(shè)CE=a,CF=b。（1）如圖1,當(dāng)ZEAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；當(dāng)AAEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；如圖3，探索ZEAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由。例5.2016淮安】問題背景：如圖，在四邊形ADBC中，ZACB=ZADB=90,AD=BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AAED處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處(如圖)，易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=血D.圖圖圖圖圖

6、簡單應(yīng)用：在圖中，若AC=，BC=2血，則CD=.如圖，AB是O0的直徑，點(diǎn)C、D在O0上，弧若AB=13，BC=12，求CD的長。拓展延伸：CpCA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=AC，如圖，ZACB=ZADB=90,AD=BD，若AC=m,BC=n(mn)，求cd的長(用含m,n的代數(shù)式表示)(4)AC的數(shù)量關(guān)系是.例6【2016宿遷】已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，將ACAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a得到CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).如圖1,當(dāng)a=90時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連

7、接GF.求證：GFAC；如圖2,當(dāng)90WaW180時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM,求ZCMD的度數(shù)；設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)a從90變化到180時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.課堂練習(xí),ZA=ZA=30.將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中ZACB=ZACB=90將圖中的AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得圖，點(diǎn)P是AR與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是ARBC的交點(diǎn)，求證：CPCQ；在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？如圖，在BC上取一點(diǎn)E,連接BE、PE，設(shè)BC=1，當(dāng)BE丄PB時(shí)，求PBE面積的最大值.1111圖圖圖課后鞏固習(xí)題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3,4)，將0A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)90

8、至0A,則點(diǎn)A，的坐標(biāo)是.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，MBz0由4ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(第2題圖)(第3題圖)如圖，在RtAABC中，ZACB=90,ZB=60,BC=2，AZBzC可以由ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)AB，,且A,B，,A，在同一條直線上，則AA的長為.把二次函數(shù)y=(x1)2+2的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后得到的圖象的表達(dá)式為.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，RtAABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(2,2),B(0,5),C(0,2).將厶ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180，得到A1B1C，請(qǐng)畫出厶的圖形.

9、平移ABC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A坐標(biāo)為(一2,6)，請(qǐng)畫出平移后對(duì)應(yīng)的厶ABC的圖形.2222若將A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到A2B2C2,請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).（第5題圖）如圖，將ABC繞點(diǎn)C（O,1）旋轉(zhuǎn)180得到AA，B，C,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b）,則點(diǎn)A，的坐標(biāo)為（）AE再B0HA.（a，b）B.（a，b1）C.（a，b1）D.（a，b2）第6題圖）（第7題圖）（第8題圖）如圖是厶AOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40。后得到的圖形，若點(diǎn)C恰好落在AB上，且ZAOD的度數(shù)為90,則ZB的度數(shù)是（）如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的頂點(diǎn)E固定在正方形ABCD的對(duì)稱中心位

10、置，正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為S,旋轉(zhuǎn)的角度為S與。的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）9如圖，把一個(gè)斜邊長為2且含有30過程中這個(gè)三角尺掃過的圖形的面積是(D)3n3B.3C.+亍角的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到厶A1B1C，則在旋轉(zhuǎn)A.n11n3D.!T+4(第9題圖)(第10題圖)在RtAABC中，已知ZC=90,ZB=50，點(diǎn)D在邊BC上,BD=2CD.把厶ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m(0VmV180)度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RtAABC的邊上，那么m=.如圖，等腰RtAABC中，zACB=90,AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將ABC繞點(diǎn)A順

11、時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置可得到點(diǎn)p1，此時(shí)ap12；將位置的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn)p2,此時(shí)ap2=1+72；將位置的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn)P3,此時(shí)AP3=2+邁；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2016為止則AP=2016P(第11題圖)在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2；0的正方形AEFG按圖位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.小明發(fā)現(xiàn)DG丄BE，請(qǐng)你幫他說明理由.如圖，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)幫他求出此時(shí)BE的長.如圖，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼

12、續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H,寫出GHE與厶BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由.rGrc,jj:D仃/:IJI)(第12題圖)在一次科技活動(dòng)中，小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描實(shí)驗(yàn).如圖，表盤是ABC,其中AB=AC,ZBAC=120。，在點(diǎn)A處有一束紅外光線AP,從AB開始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15，到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)1s,此時(shí)光線AP交BC邊于點(diǎn)M,BM的長為(20：?20)cm.求AB的長.從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，若旋轉(zhuǎn)6s,此時(shí)光線AP與BC邊的交點(diǎn)在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014s,交點(diǎn)又在什么位置？請(qǐng)說明理由.(第13題圖)如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90,ZB=ZE=30.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC,使厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空:線段DE與AC