初中數(shù)學專題：旋轉問題

1、專題二旋轉_學習要點與方法點撥：出題位置：選擇、填空最后一道題和倒數(shù)第二道題，壓軸題最后兩道“旋轉”在蘇教版中是一個獨立章節(jié)，在中考和平時的考試張經常出現(xiàn)，結合三角形，四邊形等基本圖形考察學生對旋轉的應用。同時，旋轉對解決動點問題有極大的幫助。一、基本圖形一：將ZAOB旋轉至ZAOB,圖、分別可以得到結論？旋轉點會有一組對角相等（考題規(guī)律,如果已知條件為較小的角度相等,則題目一定需要較大的角相等；如果條件給出較大的角相等,則一定需要較小的角相等）二、基本圖形二：將厶AOB旋轉至AOB，連接AA與BB，分別在圖、中證明0AA與厶OBB相似。旋轉后連接得到的兩個三角形相似。因為旋轉的兩個三角形全等

2、，連接后出現(xiàn)等腰三角形，頂角相等；則底角亦相等；或根據夾角成比例證明相似三、解題步驟（1）第一步：找旋轉點，角相等；（2）第二步：證全等、相似；（3）第三步：利用全等、相似得到邊、角條件。:-*模塊精講例1在銳角厶ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45,將厶ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到Aq.（1）當點C在線段CA的延長線上時，如圖1,求ZCCA的度數(shù)；111（2）如圖2,AABC繞點B按逆時針方向旋轉，連接AA1，Cq,若厶ABA1的面積為4,求厶CBC勺面積；（3）點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在厶AbC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P,求線段EP1

3、長度的最大值與最小值.1例2.已知ABC是等邊三角形.（1）將厶ABC繞點A逆時針旋轉角（0岡180），得到ADE,BD和EC所在直線相交于點0.如圖a，當=20時，AABD與厶ACE是否全等？（填“是”或“否”），ZB0E=度；當ABC旋轉到如圖b所在位置時，求ZB0E的度數(shù)；（2）如圖c,在AB和AC上分別截取點B和C,使AB=AB，,AC=AC，連接BC,將厶ABC繞點A逆時針旋轉角（0180）,得到ADE.BD和EC所在直線相交于點0,請利用圖c探索ZB0E的度數(shù)，直接寫出結果，不必說明理由.例3（一）如圖，在ABC和厶ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90.當點D

4、在AC上時，如圖（1）,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?直接寫出你猜想的結論；將圖（1）中的ADE繞點A順時針旋轉0角（0VaV90），如圖（2），線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請說明理由.（二）當厶ABC和厶ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立?不必說明理由.甲：AB：AC=AD：AE=1,ZBAC=ZDAE90；乙：AB：AC=AD：AE1,ZBAC=ZDAE=90；丙：AB：AC=AD：AEM1,ZBAC=ZDAEM90.例42016揚州】已知正方形ABCD的邊長為4,一個以點A為頂點的45。角繞點A旋轉，角的兩邊分別

5、與邊BC、DC的延長線交于點E、F,連接EF。設CE=a,CF=b。（1）如圖1,當ZEAF被對角線AC平分時，求a、b的值；當AAEF是直角三角形時，求a、b的值；如圖3，探索ZEAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由。例5.2016淮安】問題背景：如圖，在四邊形ADBC中，ZACB=ZADB=90,AD=BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關系.小吳同學探究此問題的思路是：將ABCD繞點D逆時針旋轉90。到AAED處，點B、C分別落在點A、E處(如圖)，易證點C、A、E在同一條直線上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得出結論：AC+BC=血D.圖圖圖圖圖

6、簡單應用：在圖中，若AC=，BC=2血，則CD=.如圖，AB是O0的直徑，點C、D在O0上，弧若AB=13，BC=12，求CD的長。拓展延伸：CpCA，點Q為AE的中點，則線段PQ與AB的中點，若點E滿足AE=AC，如圖，ZACB=ZADB=90,AD=BD，若AC=m,BC=n(mn)，求cd的長(用含m,n的代數(shù)式表示)(4)AC的數(shù)量關系是.例6【2016宿遷】已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點(A、B兩點除外)，將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉角a得到CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點.如圖1,當a=90時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連

7、接GF.求證：GFAC；如圖2,當90WaW180時，AE與DF相交于點M.當點M與點C、D不重合時，連接CM,求ZCMD的度數(shù)；設D為邊AB的中點，當a從90變化到180時，求點M運動的路徑長.課堂練習,ZA=ZA=30.將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中ZACB=ZACB=90將圖中的AC順時針旋轉45得圖，點P是AR與AB的交點，點Q是ARBC的交點，求證：CPCQ；在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？如圖，在BC上取一點E,連接BE、PE，設BC=1，當BE丄PB時，求PBE面積的最大值.1111圖圖圖課后鞏固習題在平面直角坐標系xOy中，已知點A(3,4)，將0A繞坐標原點0旋轉90

8、至0A,則點A，的坐標是.如圖，在平面直角坐標系xOy中，MBz0由4ABC繞點P旋轉得到，則點P的坐標為.(第2題圖)(第3題圖)如圖，在RtAABC中，ZACB=90,ZB=60,BC=2，AZBzC可以由ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A，與點A是對應點，點B與點B是對應點，連結AB，,且A,B，,A，在同一條直線上，則AA的長為.把二次函數(shù)y=(x1)2+2的圖象繞原點旋轉180后得到的圖象的表達式為.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，RtAABC的三個頂點A(2,2),B(0,5),C(0,2).將厶ABC以點C為旋轉中心旋轉180，得到A1B1C，請畫出厶的圖形.

9、平移ABC,使點A的對應點A坐標為(一2,6)，請畫出平移后對應的厶ABC的圖形.2222若將A1B1C繞某一點旋轉可得到A2B2C2,請直接寫出旋轉中心的坐標.（第5題圖）如圖，將ABC繞點C（O,1）旋轉180得到AA，B，C,設點A的坐標為（a,b）,則點A，的坐標為（）AE再B0HA.（a，b）B.（a，b1）C.（a，b1）D.（a，b2）第6題圖）（第7題圖）（第8題圖）如圖是厶AOB繞點0順時針旋轉40。后得到的圖形，若點C恰好落在AB上，且ZAOD的度數(shù)為90,則ZB的度數(shù)是（）如圖，兩個邊長相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的頂點E固定在正方形ABCD的對稱中心位

10、置，正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉，設它們重疊部分的面積為S,旋轉的角度為S與。的函數(shù)關系的大致圖象是（）9如圖，把一個斜邊長為2且含有30過程中這個三角尺掃過的圖形的面積是(D)3n3B.3C.+亍角的直角三角尺ABC繞直角頂點C順時針旋轉90到厶A1B1C，則在旋轉A.n11n3D.!T+4(第9題圖)(第10題圖)在RtAABC中，已知ZC=90,ZB=50，點D在邊BC上,BD=2CD.把厶ABC繞著點D逆時針旋轉m(0VmV180)度后，如果點B恰好落在初始RtAABC的邊上，那么m=.如圖，等腰RtAABC中，zACB=90,AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將ABC繞點A順

11、時針旋轉到位置可得到點p1，此時ap12；將位置的三角形繞點P1順時針旋轉到位置，可得到點p2,此時ap2=1+72；將位置的三角形繞點P2順時針旋轉到位置，可得到點P3,此時AP3=2+邁；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直至得到點P2016為止則AP=2016P(第11題圖)在數(shù)學興趣小組的活動中，小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2；0的正方形AEFG按圖位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.小明發(fā)現(xiàn)DG丄BE，請你幫他說明理由.如圖，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請幫他求出此時BE的長.如圖，小明將正方形ABCD繞點A繼

12、續(xù)逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H,寫出GHE與厶BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由.rGrc,jj:D仃/:IJI)(第12題圖)在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達掃描實驗.如圖，表盤是ABC,其中AB=AC,ZBAC=120。，在點A處有一束紅外光線AP,從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉，每秒鐘旋轉15，到達AC后立即以相同旋轉速度返回AB，到達后立即重復上述旋轉過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉開始計時，旋轉1s,此時光線AP交BC邊于點M,BM的長為(20：?20)cm.求AB的長.從AB處旋轉開始計時，若旋轉6s,此時光線AP與BC邊的交點在什么位置？若旋轉2014s,交點又在什么位置？請說明理由.(第13題圖)如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90,ZB=ZE=30.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC,使厶DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空:線段DE與AC