高中數(shù)學必修二 第七章 7.2 7.2.2

1、7.2.2復數(shù)的乘、除運算知識點一復數(shù)的乘法法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(abi)(cdi)eq o(,sup4(01)(acbd)(adbc)i.可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成eq o(,sup4(02)1，并且把實部和虛部分別合并即可知識點二復數(shù)的乘法運算律對于任意z1，z2，z3C，有交換律：z1z2z2z1；結(jié)合律：(z1z2)z3z1(z2z3)；分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3.知識點三復數(shù)的除法法則(abi)(cdi)eq o(,sup4(01)eq f(acbd,c2d2)eq

2、f(bcad,c2d2)i(a，b，c，dR，且cdi0)由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復數(shù)虛數(shù)單位i的乘方計算復數(shù)的乘積要用到復數(shù)單位i的乘方，i有如下性質(zhì)：i4n1i；i4n21；i4n3i；i4n1.說明：(1)上述公式說明i的冪具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推廣到整數(shù)集(3)4k(kZ)是i的周期(4)與i有關(guān)的幾個結(jié)論：(1i)22i，(1i)22i，eq f(1i,1i)i，eq f(1i,1i)i.1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若復數(shù)z112i，z23i，則復數(shù)z1z2的虛部為5.()(2)若z1，z2C，且zeq oal(2,

3、1)zeq oal(2,2)0，則z1z20.()(3)兩個共軛復數(shù)的積為實數(shù)()答案(1)(2)(3)2做一做(1)復數(shù)eq f(3,i1)_.(2)復平面內(nèi)，復數(shù)zeq f(2i,1i)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應(yīng)的點位于第_象限(3)復數(shù)2eq f(1,i)的共軛復數(shù)是_答案(1)eq f(3,2)eq f(3,2)i(2)四(3)2i題型一 復數(shù)的乘、除運算例1(1)復數(shù)eq f(32i,23i)eq f(32i,23i)()A0 B2 C2i D2i(2)若復數(shù)z1429i，z269i，其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(z1z2)i的實部為_解析(1)解法一：eq f(32i,23i)eq

4、 f(32i,23i)eq f(32i23i32i23i,23i23i)eq f(613i6613i6,49)eq f(26i,13)2i.解法二：eq f(32i,23i)eq f(32i,23i)eq f(i23i,23i)eq f(i23i,23i)ii2i.(2)(z1z2)i(429i)(69i)i(220i)i202i，(z1z2)i的實部為20.答案(1)D(2)20(1)復數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項式乘法的法則進行，注意要把i2化為1，進行最后結(jié)果的化簡復數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分母實數(shù)化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時乘以i)(

5、2)實數(shù)集中的乘法公式、冪的運算律，因式分解方法等在復數(shù)集中仍成立計算：(1)(23i)(12i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)原式eq f(23i,12i)eq f(23i12i,12i12i)eq f(2634i,1222)eq f(4,5)eq f(7,5)i.(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.題型二 在復數(shù)范圍內(nèi)解一元二次方程例2在復數(shù)范圍內(nèi)解下列方程(1)2x260；(2)x2x40.解(1)由2x260，得x23.因為(eq r(3)i)2(eq r(3)i)23，所以方程2x260的根為xeq r(3)i.(2)配方，得eq blc

6、(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(15,4)，因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),2)i)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),2)i)2eq f(15,4)，所以xeq f(1,2)eq f(r(15),2)i，所以原方程的根為xeq f(1,2)eq f(r(15),2)i.實系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a，b，cR，a0)在復數(shù)范圍內(nèi)定有兩個根：(1)0，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1,2eq f(b,2a)eq f(r(),2a).(2)0，方程有兩個相等的實數(shù)根x1,2eq f(b,2a).(3)0，方程有一對共

7、軛虛根x1,2eq f(b,2a)eq f(r(),2a)i.在復數(shù)范圍內(nèi)解方程2x24x150.解配方，得(x1)2eq f(13,2)，因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(26),2)i)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(26),2)i)2eq f(13,2)，所以x1eq f(r(26),2)i，所以原方程的根為x1eq f(r(26),2)i.題型三 復數(shù)in的周期性運算例3計算：(1)eq f(22i,1i2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),1i)2020；(2)1ii2i3i2019.解(1)eq f(22i,1i2)eq

8、 blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),1i)2020eq f(22i,2i)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2i)1010i(1i)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,i)10101i(i)10101i1i2.(2)解法一：inin1in2in30，nN*，1ii2i3i20191ii2i3(i4i5i6i7)(i8i9i10i11)(i2016i2017i2018i2019)1ii2i30.解法二：1ii2i2019eq f(1i2020,1i)eq f(1i5054,1i)eq f(11,1i)0.in(nN*)的性質(zhì)根據(jù)復數(shù)乘法法則，容易得到

9、i的n次冪的計算法則，即nN*時，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，其中i01，ineq f(1,in)(nN*)另外，i4ni4n1i4n2i4n30.(1)當zeq f(1i,r(2)時，z100z501的值等于()A1 B1 Ci Di(2)計算eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)6eq f(r(2)r(3)i,r(3)r(2)i)的值為_答案(1)D(2)1i解析(1)z2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,r(2)2eq f(2i,2)i，z100z501(i)50(i)251(i)225(i)11i1i.(2)原式eq blcrc(

10、avs4alco1(f(1i2,2)6eq f(r(2)r(3)ir(3)r(2)i,32)i6eq f(r(6)2i3ir(6),5)1i.1復數(shù)i(2i)()A12i B12i C12i D12i答案A解析i(2i)2ii212i.故選A.2復數(shù)eq f(2,1i)等于()A1i B1i C1i D1i答案A解析eq f(2,1i)eq f(21i,1i1i)eq f(21i,2)1i.故選A.3(1i)2eq f(2i,2i)_.答案eq f(3,5)eq f(14,5)i解析(1i)2eq f(2i,2i)2ieq f(2i2,5)eq f(3,5)eq f(14,5)i.4方程7x210的根為_答案xeq f(r(7),7)i解析7x210，整理得x2eq f(1,7)，因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(7),7)i)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(7),7)i)2eq f(1,7)，所以7x210的根為xeq f(r(7),7)i.5把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作eq o(