高中數(shù)學(xué)必修二 19-20 第7章 7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、 7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(重點(diǎn)、難點(diǎn))2掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念(易混點(diǎn))3掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法(重點(diǎn))1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義，體會(huì)直觀想象的素養(yǎng)2借助復(fù)數(shù)的幾何意義解題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1復(fù)平面思考：實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對(duì)嗎？提示不正確實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0，表示的是實(shí)數(shù)2復(fù)數(shù)的幾何意義3復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量eq o(OZ,sup14()的模

2、叫做復(fù)數(shù)zabi的模(2)記法：復(fù)數(shù)zabi的模記為|z|或|abi|且|z|eq r(a2b2).4共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq o(z,sup6()表示，即如果zabi，那么eq o(z,sup6()abi.1已知復(fù)數(shù)zi，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為()A(0，1)B(1,0)C(0,0) D(1，1)A復(fù)數(shù)zi的實(shí)部為0，虛部為1，故復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0，1)2向量a(2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()Az12i Bz12iCz12i Dz2iD向量a(2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2i.3已知復(fù)數(shù)z12i(i是虛數(shù)單位)，則|

3、z| .eq r(5)z12i，|z|eq r(1222)eq r(5).復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系【例1】求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)zeq f(a2a6,a3)(a22a15)i(aR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方思路探究：eq x(確定z的實(shí)部、虛部)eq x(列方程不等式組)解(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則eq blcrc (avs4alco1(f(a2a6,a3)0，)解得a3.(2)點(diǎn)Z在x軸上方，則eq blcrc (avs4alco1(a22a150，,a30，)即(a3)(a5)0，解得a5或a3.1本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)

4、z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)a的值解點(diǎn)Z在x軸上，所以a22a150且a30，所以a5.故a5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上2本例中條件不變，如果點(diǎn)Z在直線xy70上，求實(shí)數(shù)a的值解因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線xy70上，所以eq f(a2a6,a3)a22a1570，即a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故a2或aeq r(15).所以a2或aeq r(15)時(shí)，點(diǎn)Z在直線xy70上.利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)(2)根據(jù)已知條件，確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)【例2】在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為14i，3i,2，

5、O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求向量eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()和eq o(AC,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解(1)由已知得eq o(OA,sup14()，eq o(OB,sup14()，eq o(OC,sup14()所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為14i，3i,2，則eq o(OA,sup14()(1,4)，eq o(OB,sup14()(0，3)，eq o(OC,sup14()(2,0)，因此eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()(1,1)，eq o(AC,sup14()eq o(OC,sup14()eq o(

6、OA,sup14()(1，4)，故eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1i，eq o(AC,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為14i.(2)法一：由已知得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1,4)，(0，3)，(2,0)，則AC的中點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，由平行四邊形的性質(zhì)知BD的中點(diǎn)也是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，若設(shè)D(x0，y0)，則有eq blcrc (avs4alco1(f(0 x0,2)f(3,2)，,f(3y0,2)2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x03，,y07，)

7、故D(3,7)法二：由已知得eq o(OA,sup14()(1,4)，eq o(OB,sup14()(0，3)，eq o(OC,sup14()(2,0)，所以eq o(BA,sup14()(1,7)，eq o(BC,sup14()(2,3)，由平行四邊形的性質(zhì)得eq o(BD,sup14()eq o(BA,sup14()eq o(BC,sup14()(3,10)，所以eq o(OD,sup14()eq o(OB,sup14()eq o(BD,sup14()(3,7)，于是D(3,7)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)z與向量eq o(OZ,sup14()是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化：復(fù)數(shù)的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向

8、量問(wèn)題求解解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化；(二)數(shù)形結(jié)合思想：利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復(fù)數(shù)的特征整體處理1在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2i，12i.(1)求向量eq o(AB,sup14()，eq o(AC,sup14()，eq o(BC,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判定ABC的形狀解(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義知：eq o(OA,sup14()(1,0)，eq o(OB,sup14()(2,1)，eq o(OC,sup14()(1,2)，所以eq o(AB,sup14()eq o(OB,sup14()eq o(OA,

9、sup14()(1,1)，eq o(AC,sup14()eq o(OC,sup14()eq o(OA,sup14()(2,2)，eq o(BC,sup14()eq o(OC,sup14()eq o(OB,sup14()(3,1)，所以eq o(AB,sup14()，eq o(AC,sup14()，eq o(BC,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1i，22i，3i.(2)因?yàn)閨eq o(AB,sup14()|eq r(2)，|eq o(AC,sup14()|2eq r(2)，|eq o(BC,sup14()|eq r(10)，所以|eq o(AB,sup14()|2|eq o(AC,sup14()

10、|2|eq o(BC,sup14()|2，所以ABC是以BC為斜邊的直角三角形復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用探究問(wèn)題1設(shè)復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？提示|z|eq r(x2y2)，其表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)的距離2復(fù)數(shù)z滿足|zi|1，其幾何意義是什么？提示由|zi|1可知點(diǎn)z到點(diǎn)(0,1)的距離為1.【例3】(1)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|()A1B.eq r(2)C.eq r(3) D2(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z|z|28i，求復(fù)數(shù)z.(1)B因?yàn)?1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|eq r(1212)eq r(2)

11、，故選B.(2)解設(shè)zabi(a，bR)，則|z|eq r(a2b2)，代入方程得abieq r(a2b2)28i，eq blcrc (avs4alco1(ar(a2b2)2，,b8，)解得eq blcrc (avs4alco1(a15，,b8.)z158i.1復(fù)數(shù)zabi模的計(jì)算：|z|eq r(a2b2).2復(fù)數(shù)的模的幾何意義：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離3轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想2若復(fù)數(shù)zeq f(2a1,a2)(a2a6)i是實(shí)數(shù)，則z1(a1)(12a)i的模為 eq r(29)z為實(shí)數(shù)，a2a60，a2

12、或3.a2時(shí)，z無(wú)意義，a3，z125i，|z1|eq r(29).3已知復(fù)數(shù)z3ai，且|z|4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一：z3ai(aR)，|z|eq r(32a2)，由已知得32a242，a27，a(eq r(7)，eq r(7)法二：利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合由圖可知：eq r(7)aeq r(7).1從數(shù)與形兩方面理解復(fù)數(shù)意義，掌握復(fù)數(shù)與點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：特別提醒：相等向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)2|z|1表示復(fù)平面上的單位圓.1判斷正

13、誤(1)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的()(2)復(fù)數(shù)即為向量，反之，向量即為復(fù)數(shù)()(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)()(4)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng)()答案(1)(2)(3)(4)2設(shè)O為原點(diǎn)，向量eq o(OA,sup14()，eq o(OB,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量eq o(BA,sup14()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A1iB1iC55i D55iD由題意知，eq o(OA,sup14()(2,3)，eq o(OB,sup14()(3，2)，eq o(BA,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()(5,5)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為55i，故選D.3已知復(fù)數(shù)z(m3)(m1)i的模等于2，則實(shí)數(shù)m的值為()A1或3 B1 C3 D