北師大版初中數(shù)學(xué)八年級下冊知識講解,鞏固練習(xí)(教學(xué)資料,補(bǔ)習(xí)資料)第一章 三角形的證明(基礎(chǔ))

1、第一章三角形的證明（基礎(chǔ)）等腰三角形（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對稱性；2.掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、證明、計算和作圖3.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程.通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4.理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在AB

2、C中，ABeqoac(,AC)，ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點A;3.連接AB,AC.ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對稱性(1)等腰三角形是軸對稱圖形；(2)BC；1(3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三

3、角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角）但頂角可為鈍角（或直角）.A1802B，BC180A2.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”推論：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都等于60.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等

4、腰三角形三線合一”2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件

5、和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形2.等邊三角形的判定定理2三個角相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.3.含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點四、反證法在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法

6、叫做反證法.要點詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；（2）從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計算題1、（2019春太倉市期末）如圖，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度數(shù)【思路點撥】由于AB=BD=DC，所以ABD和BDC都是等腰三角形，可設(shè)C=CDB=x，則BDA=A=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形

7、內(nèi)角和定理的推論，可以求出A，C度數(shù)【答案與解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，設(shè)C=CBD=x，則BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=253【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運用了等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，設(shè)ECDEDCx，BCDBDCy，則AEDA

8、DE2x，AB1804x在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得，xy1804x1804x180又A、D、B在同一直線上，2xxy180由，解得x36B1804x18014436.類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個角為40，求其余各角【思路點撥】由一個等腰三角形內(nèi)角為40，分別從40是等腰三角形頂角與40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案與解析】解：(1)當(dāng)40的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和18040140，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)1214070；(2)當(dāng)40的角為底角時，另一個底角也為40，則頂角的度數(shù)18040401

9、00其余各角為70，70或40，100【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)此題比較簡單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊4【答案與解析】解：(1)3為腰長時，則另一腰長也為3，底邊長13337；1(2)3為底邊長時，則兩個腰長的和13310，則一腰長1052這樣得兩組：3，3，75，5，33由三角形三邊關(guān)系可知：兩邊之和大于第三邊，37，故不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5【總結(jié)升華】唯獨等腰三角形的邊有專用名詞“腰”底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類

10、討論同時結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊BC8cm，且|ACBC|2cm，那么腰AC的長為()A10cm或6cmB10cmC6cmD8cm或6cm【答案】A；解：|ACBC|2cm，ACBC2又BC8AC10或6AB10（cm）或（6cm）類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運用eqoac(,4)、如圖，在ABC中，邊ABAC求證：ACBABC【思路點撥】在AB上截取AE=AC，連接CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出AEC=ACE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出AECA

11、BC即可【答案與解析】證明：證明：在AB上截取AE=AC，連接CE，AE=AC，AEC=ACE，AECB，ACBABC【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，能推出AEC=ACE和AECABC是解此題的關(guān)鍵5舉一反三：【變式】已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中線，延長BC至點E，使CE=CD求證：DB=DE【答案與解析】證明：如圖，在ABC中，AB=AC，A=60，ABC是等邊三角形，ABC=2=60，BD是中線，BD是ABC的平分線，1=30，CE=CD，E=3，E=2=30，E=1，DB=DE類型四、等腰三角形的判定5、如圖eqoac(,1)，在A

12、BC中，BO平分ABC，CO平分ACB，過點O作DEBC，交AB于點D，交AC于點E（1）試找出圖中的等腰三角形，并說明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的長；（3）若AB=12、AC=9，求ADE的周長；（4）若將原題中平行線DE的方向改變，如圖2，ODAB，OEAC，BC=16，你能得出什么結(jié)論呢？（【思路點撥】1）運用兩三角形兩底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形兩腰相等求解；（eqoac(,3)）由ADE的周長=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，得出BDO和ECO是等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等得出ODE

13、的周長等于BC的長度6【答案與解析】解：（eqoac(,1)）DBO和EOC是等腰三角形BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，DB=DO，DBO是等腰三角形，同理EOC是等腰三角形；（2）BD=4、CE=3，由（1）得出DO=4，EO=3，DE=DO+OE=4+3=7；（eqoac(,3)）ADE的周長=AD+DO+OE+AE；DO=DB，OE=EC，ADE的周長=AB+AC，AB=12、AC=9，ADE的周長=AB+AC=12+9=21；（4）ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，BDO和ECO是等腰三角形，BD=DO，CE=OE，BC=16

14、，ODE的周長為16即ODE的周長等于BC的長度【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等舉一反三【變式】如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O給出下列四個條件：EBD=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC上述四個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形，選擇其中的一種情形，證明ABC是等腰三角形【答案】；都可以組合證明ABC是等腰三角形；選為條件證明ABC是等腰三角形；證明：在EBO和DCO中，7，EBODCO（AAS），BO=CO，OBC=OCB，EBO+OBC=DCO+OCB，即

15、ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形類型五、含有30角的直角三角形6.如圖所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求證：BD=3AD.【答案與解析】證明：CDAB，ADC=90，又A=60，ACD=30在eqoac(,Rt)ACD中，AD=又ACB=90，在eqoac(,Rt)ACB中，B=30，12AC，AC=11ABAD=AB，24則AD=13BD，即BD=3AD.【總結(jié)升華】根據(jù)直角三角形中30角所對的邊是斜邊的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，從而可推出AB=4BD，從而不難證得BD與AD的數(shù)量關(guān)系此題主要考查含30角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中

16、，30角所對的直角邊等于斜邊的一半舉一反三：【變式】如圖，已知，在四邊形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，CD=4cm，ABC=DCB，求BC的長8【答案】解：ADBC，A=120，ABC=180120=60，BD平分ABC，DBC=ABC=60=30，又ABC=DCB=60，BDC=1803060=90，BC=2CD=24=8cm類型六、反證法7.求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60?！敬鸢浮恳阎篈BC求證：ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60證明：假設(shè)ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60則A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180即A+B+C18

17、0，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60【總結(jié)升華】本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)的結(jié)論不成立，則原題中的結(jié)論成立在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定舉一反三：【變式】下列選項中，可以用來證明命題“若a21，則a1”是假命題的反例是（）A.a=2B.a=1C.a=1D.a=2【答案】A【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.（2019曲靖一模）等腰三角形中一個外角等于10

18、0，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A40，40B80，20C50，50D50，50或80，202.用反證法證明命題：如果ABCD，ABEF，那么CDEF，證明的第一個步驟是（）A.假設(shè)CDEF;B.假設(shè)ABEFC.假設(shè)CD和EF不平行D.假設(shè)AB和EF不平行3.將兩個全等的且有一個角為30的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A.4個B.3個C.2個D.1個9yy4.已知實數(shù)x，滿足|x4|+(y8)20，則以x，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A20或16B20C16D以上答案均不對D5.如圖，是AB邊上的中點，將ABC沿過D的直線折疊，使點

19、A落在BC上F處，若B50，則BDF度數(shù)是（）A60B70C80D不確定6.（2019永州模擬）在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1），在x軸上確定點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（）A1個B2個C3個D4個二.填空題7如圖，ABC中，D為AC邊上一點，ADBDBC，若A40，則CBD_8.（2019嘉峪關(guān)模擬）等腰三角形的兩邊長分別是2和5，那么它的周長是9.用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行“的第一步應(yīng)假設(shè)_.10.等腰三角形的一個角是70，則它的頂角的度數(shù)是.11.如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正

20、確答案的序號都填寫在橫線上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12.如圖，ABC的周長為32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周長為24，那么AD的長為.10三.解答題13已知：如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點，延長CA至E，使AEAD試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論14.（2019春安岳縣期末）等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成了21和27兩個部分，求等腰三角形的底邊和腰長15.用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】解：外角等于100，這個內(nèi)角為80，當(dāng)這個80角為頂角時，則底角

21、為=50，此時另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為50，50；當(dāng)這個80角為底角時，則另一個底角為80，頂角為20，此時可得另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為80，20；故選D2.【答案】C；【解析】用反證法證明CDEF時，應(yīng)先假設(shè)CD與EF不平行故選C3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】根據(jù)題意得y80 x40解得,11y8x4.（1）若4是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8，不能組成三角形；（2）若4是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8，能組成三角形，周長為4+8+8=20故選B5.【答案】C；【解析】ADDFBD，BBFD50，BDF180505080.6.【答案】D；【解析】解：如圖，以點O為圓心，以

22、OA為半徑畫弧，交x軸于點B、C；以點A為圓心，以AO為半徑畫弧，交x軸于一點D（點O除外），以O(shè)A為腰的等腰三角形有3個；作OA的垂直平分線，交x軸于一點，以O(shè)A為底的等腰三角形有1個，綜上所述，符合條件的點P共有4個，故選：D二.填空題7.【答案】20；【解析】AABD40，BDCC80，所以CBD20.8.【答案】12；【解析】解：2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、5，2+2=45，不能組成三角形，2是底邊長時，三角形的三邊分別為2、5、5，能組成三角形，周長=2+5+5=12，綜上所述，它的周長是12故答案為：129.【答案】兩直線平行；【解析】根據(jù)已知條件和反證法的特點進(jìn)行證明，

23、即可求出答案.10.【答案】70或40；12【解析】解：（1）當(dāng)70角為頂角，頂角度數(shù)即為70；（2）當(dāng)70為底角時，頂角=180-270=40故答案為：70或40.11.【答案】；【解析】：當(dāng)BAD=CAD時，AD是BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；eqoac(,則)ABDACD，BAC是等腰三角形；延長DB至E，使BE=AB；延長DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；AB+BD=CD+AC，DE=DF，又ADBC；AEF是等腰三角形；E=F；AB=BE，ABC=2E；同理，得ACB=2F；ABC=ACB，即AB=ACeqoac(,，)ABC是等腰三角形；ABC中，ADBC，根據(jù)勾股定

24、理，得：AB2BD2=AC2CD2，即（AB+BD）（ABBD）=（AC+CD）（ACCD）；ABBD=ACCD，AB+BD=AC+CD；兩式相加得，2AB=2AC；AB=AC，ABC是等腰三角形故填12.【答案】8；【解析】解：AB=AC，ADBC，BD=DCAB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，AC+DC=16AC+DC+AD=24AD=8故填8三.解答題13.【解析】13證明：EDBC；延長ED，交BC邊于H，ABAC，AEAD設(shè)BCx，則EAD2x，ADE1802x290 x即BDH90 xBBDHx90 x90，BHD90，EDBC.14.【解析】解：設(shè)等腰三角形的

25、腰長為x，底邊長為y，則有或，解得：或，此時兩種情況都符合三角形三邊關(guān)系定理，答：等腰三角形的腰長為14，底邊長為20；或腰長為18，底邊長為1215.【解析】證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則它們大于或者等于90；根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，則兩個底角的和大于或者等于180；則該三角形的三個內(nèi)角的和一定大于180，這與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾；所以假設(shè)錯誤，原命題正確；即等腰三角形的底角是銳角直角三角形-知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系2.能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題

26、，會運用方程思想解決問題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【要點梳理】要點一、勾股定理14直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目中的已知線段的長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：a2c2b2，b2c2a2，c2ab22ab.（4）勾股數(shù)：滿足不

27、定方程x2y2z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以x、y、z為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.n21，2n，n21（n1,n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；2n22n,2n1,2n22n1（n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；m2n2,m2n2,2mn（mn,m、n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長.要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖

28、（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.15，所以.要點三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.，（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點四、如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如c）.（2）驗證c2與a2b2是否具有相等關(guān)系.若c2a2b2，則ABC是C90的直角三角

29、形；若c2a2b2，則ABC不是直角三角形.要點詮釋：當(dāng)a2b2c2時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2b2c2時，此三角形為銳角三角形，其中c為三角形的最大邊.要點五、互逆命題與互逆定理如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.要點詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.一個定理是真命題，每一個定理不一定有逆定理，如果這個定理存在著逆定理

30、，則一定是真命題.要點六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角

31、形前加上“Rt”.16【典型例題】類型一、勾股定理eqoac(,1)、在ABC中，C90，A、B、C的對邊分別為a、b、c（1）若a5，b12，求c；（2）若c26，b24，求a【思路點撥】利用勾股定理a2b2c2來求未知邊長【答案與解析】解：（eqoac(,1)）因為ABC中，C90，a2b2c2，a5，b12，所以c2a2b25212225144169所以c13（eqoac(,2)）因為ABC中，C90，a2b2c2，c26，b24，所以a2c2b2262242676576100所以a10【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股定理

32、的原式還是變式舉一反三：【變式】在ABC中，C90，A、B、C的對邊分別為a、b、c（1）已知b2，c3，求a；（2）已知a:c3:5，b32，求a、c【答案】解：（1）C90，b2，c3，ac2b232225；（2）設(shè)a3k，c5kC90，b32，a2b2c2即(3k)2322(5k)2解得k8a3k3824，c5k58402、一圓形飯盒，底面半徑為8cm，高為12cm，若往里面放雙筷子（粗細(xì)不計）那么筷子最長不超過多少，可正好蓋上盒蓋？17【答案與解析】解：如圖所示，因為飯盒底面半徑為8cm，所以底面直徑DC長為16cm則在eqoac(,Rt)BCD中，BD2DC2BC2，所以BDDC2B

33、C216212220(cm)答：筷子最長不超過20cm，可正好蓋上盒蓋【總結(jié)升華】本題實質(zhì)是求飯盒中任意兩點間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長方形的對角線長舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？（2）a4，b1，c；【答案】解：因為旗桿是垂直于地面的，所以C90，BC5m，AC12m，AB2BC2AC252122169AB16913(m)BCAB51318(m)旗桿折斷前的高度為18m類型二、勾股定理的逆定理3、判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；33

34、4（3）am2n2，bm2n2，c2mn(mn0)；【思路點撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長線段的平方若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形18【答案與解析】解：（1）a2b272242625，c2252625，a2b2c2由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形abc，b2c2121，a2，（2）3292542161616439b2c2a2由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形（3）mn0，m2n22mn，m2n2m2n2a2c2(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2m42m2n2n4，b2(m2n

35、2)2m42m2n2n4，a2c2b2由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形【總結(jié)升華】解此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，即首先確定最大邊，然后驗證c2與a2b2是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形，第3小題，m,n可以取特殊值，代入到三邊中，也可以判斷其三邊的大小舉一反三：【變式1】判斷以線段a，b，c為邊的ABC是不是直角三角形，其中a7，b3，c2【答案】解：由于acb，因此a為最大邊，只需看a2是否等于b2c2即可a2(7)27，b2(3)23，c2224，a2b2c2，以線段a，b，c為邊能構(gòu)成以a為斜邊的直角三角形【變式2】一

36、個三角形的三邊之比是3:4:5則這個三角形三邊上的高之比是（）A20:15:12B3:4:5C5:4:3D10:8:2【答案】A.提示：這個三角形是直角三角形，三邊上的高之比為4:3：19125，即20:15:12.4、（2019春臨清市期末）已知a、b、c滿足|a|+（c4）2=0（1）求a、b、c的值；（2）判斷以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請說明理由（【思路點撥】1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理判斷即可【答案與解析】解：（1）a、b、c滿足|a|+（c4）2=0

37、|a|=0，=0，（c4）2=0解得：a=，b=5，c=4；（2）a=a+b=，b=5，c=4+54，以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，此三角形是直角三角形，eqoac(,S)=【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵類型三、勾股定理、逆定理的實際應(yīng)用5、（2019春遵義期末）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測得小汽車與車

38、速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s=3.6km/h）【思路點撥】本題求小汽車是否超速，其實就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有直角邊AC的長，那么BC的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了20【答案與解析】解：在RtABC中，AC=30m，AB=50m；據(jù)勾股定理可得：（m）小汽車的速度為v=20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；這輛小汽車超速行駛答：這輛小汽車超速了【總結(jié)升華】本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可把條

39、件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決要注意題目中單位的統(tǒng)一類型四、原命題與逆命題6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳2原命題：對頂角相等.3原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端點的距離相等4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等【答案與解析】1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2.逆命題：相等的角是對頂角（不正確）（3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（正確）4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上正確）【總結(jié)升華】掌握原命題與逆命題的關(guān)系.原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤.舉一反三：【變

40、式1】下列命題中，其逆命題成立的是_（只填寫序號）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；如果兩個角是直角，那么它們相等；如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形【答案】提示：的逆命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”顯然正確；的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是直角”很明顯是錯誤的；的逆命題“如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等”，兩個實數(shù)可以互為相反數(shù)，所以該命題不正確；的逆命題“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2”也是正確的.【變式2】根據(jù)命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”解決下列問題：（1）寫出逆命題

41、；21（2）判斷逆命題是真命題還是假命題；（3）根據(jù)逆命題畫出圖形，寫出已知，求證【答案】解：（1）逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）是真命題；（3）已知：如圖，AMN=DNM，求證：ABCD類型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如圖，ABBD，CDBD，ADBC求證：（1）ABCD：（2）ADBCBDDB【思路點撥】先由“HL”證eqoac(,Rt)ABDeqoac(,Rt)CDB，再由內(nèi)錯角相等證兩直線平行.【答案與解析】證明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB90在eqoac(,Rt)ABD和eqoac(,Rt)CDB中，ADBCeqoac(,Rt)ABDeqoac(,R

42、t)CDB（HL）ABCD（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）由ADBCBDADBC.【總結(jié)升華】證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.舉一反三：【變式】已知：如圖，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求證：EDAC22AEAB，【答案】證明：AEAB，BCAB，DAECBA90在eqoac(,Rt)DAE與eqoac(,Rt)CBA中，EDACeqoac(,Rt)DAEeqoac(,Rt)CBA（HL）ECABCABEAF90，EEAF90，即AFE90即EDAC8、如圖，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求證：EB=FC【

43、答案與解析】證明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DE=DF；DEAB于E，DFAC于F在RtDBE和RtDCF中RtDBERtDCF（eqoac(,HL)）；EB=FC【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）直角三角形-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】23一.選擇題1如圖，eqoac(,Rt)ABC中，C90，若AB15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無法計算bc2.（2019春慶云縣期末）下列各組數(shù)中，以a，為邊的三角形不是直角三角

44、形的是（）Aa=1.5，b=2，c=3Ba=7，b=24，c=25Ca=6，b=8，c=10Da=3，b=4，c=53三角形的三邊長分別為a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整數(shù)），則這個三角形是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定4（2019岳池縣模擬）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵樹高4米，兩樹相距8米一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A8米B10米C12米D14米5（2019春天河區(qū)期末）下列各命題的逆命題成立的是（）A全等三角形的對應(yīng)角相等B如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等C兩直線平行，同位角相等D如果兩個角都是45，那么這兩個角相等

45、6.在兩個直角三角形中，若有一對角對應(yīng)相等，一對邊對應(yīng)相等，則兩個直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二.填空題（72019春東臺市期末）命題“銳角與鈍角互為補(bǔ)角”的逆命題是8.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2cm，點E在BC上，且AEEC.若將紙片沿AE折疊，點B恰好與AC上的點B重合，則ACcm.249.已知兩條線段的長分別為11cm和60cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為cm時，這3條線段能組成一個直角三角形10.如圖，AB5，AC3，BC邊上的中線ADeqoac(,2)，則ABC的面積為_11.如圖，已知ABBD于B，EDBD于D，ECAC，ACEC，若DE2，A

46、B4，則DB_.12.如圖，已知AD是ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且BFAC，F(xiàn)DCD.則BAD_.三.解答題13.已知在三角形ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，CD3，BD5，求AC的長14.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB3，AD9，求BE的長2515.（2019春和縣校級月考）如圖，在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度全速前進(jìn)，2小時后甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船沿那個方向航行嗎？16.如圖，已知ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分

47、別是點E、F.求證：12.【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】面積和等于AC2BC2AB2225.2.【答案】A；【解析】解：A、1.52+2232，該三角形不是直角三角形，故A選項符合題意；B、72+242=252，該三角形是直角三角形，故B選項不符合題意；C、62+82=102，該三角形是直角三角形，故C選項不符合題意；D、32+42=52，該三角形不是直角三角形，故D選項不符合題意故選：A3.【答案】A；【解析】(a2b2)22ab2(a2b2)2，滿足勾股定理的逆定理.264.【答案】B；【解析】解：如圖，設(shè)大樹高為AB=10m，小樹高為CD=4m，過C點作CEAB于E，則

48、EBDC是矩形，連接AC，EB=4m，EC=8m，AE=ABEB=104=6m，在RtAEC中，AC=故小鳥至少飛行10m故選：B=10（m），5.【答案】C；【解析】解：A、逆命題是三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤；B、絕對值相等的兩個數(shù)相等，錯誤；C、同位角相等，兩條直線平行，正確；D、相等的兩個角都是45，錯誤故選C6.【答案】C；【解析】如果這對角不是直角，那么全等，如果這對角是直角，那么不全等.二.填空題7.【答案】如果兩個角互為補(bǔ)角，那么這兩個角一個是銳角另一個是鈍角；8.【答案】4；【解析】ABEABE90，又因為AECE，所以BE為AEC的垂直平分線，AC2AB4cm.9.

49、【答案】61或3479；【解析】60cm長的邊可能是斜邊，也可能是直角邊.10.【答案】6；【解析】延長AD到E，使DEAD，連結(jié)eqoac(,BE)，可得ABE為Rt11.【答案】6；【解析】DBDCCBABED426；12.【答案】45；【解析】證ADC與BDF全等，ADeqoac(,BD)，ABD為等腰直角三角形.三.解答題13.【解析】27解：過D點作DEAB于E，AD平分BAC，C90，DECD3，易證ACDAED，AEAC，在eqoac(,Rt)DBE中，BD5，DE3，BE4在eqoac(,Rt)ACB中，C90設(shè)AEACx，則AB4xAB2AC2BC24x2x282解得x6，A

50、C6.AEAF14【解析】解：設(shè)BEx，則DEBEx，AEADDE9x在eqoac(,Rt)ABE中，AB2AE2BE2，329x2x2解得x515【解析】解：BM=82=16海里，BP=152=30海里，在BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，MBP=90，1809060=30，故乙船沿南偏東30方向航行16.【解析】證明：AEEC，AFBF，AEC、AFB為直角三角形在eqoac(,Rt)AEC與eqoac(,Rt)AFB中ABACeqoac(,Rt)AECeqoac(,Rt)AFB（HL）EACFABEACBACFABBAC，即12

51、.28線段的垂直平分線-知識講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2.會證明三角形的三條中垂線必交于一點.掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形.4.能運用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實際問題【要點梳理】要點一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于12（2）作直線CD，CD即為所求直線要點詮釋：AB的長為半徑作弧，兩弧

52、相交于C，D兩點；(1)作弧時的半徑必須大于12AB的長，否則就不能得到兩弧的交點了(2)線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.要點二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等要點詮釋：“線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一同時也給出了引輔助線的方法，線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上要點詮

53、釋：到線段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個端點的距離相等的所有點的集合29要點四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心外心.要點詮釋:，1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（三線共點）該點即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.3.外心到三頂點的距離相等.要點五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫

54、出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點題即“xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理eqoac(,1)、如圖，ABC中ACBC，邊AB的垂直平分線與AC交于點D，已知AC=5，BC=4，則BCD的周長是（）A9B8C7D6【思路點撥】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根據(jù)BCD的周長=BC+BD+CD即可進(jìn)行解答【答案】A；【解析】因為BD=AD,所以BCD的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【總結(jié)升華】此題正是應(yīng)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，也就是已知直線是線段垂直平分線，那么垂直平分線上的點

55、到線段的兩個端點距離相等，從而把三角形的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)移，進(jìn)而求得三角形的周長舉一反三：【變式eqoac(,1)】如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯誤的是（）ABD平分ABCBBCD的周長等于AB+BCCAD=BD=BCD點D是線段AC的中點30【答案】D；提示:根據(jù)等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可推得選項A、B、C正確；所以選D,另外，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用（【變式2】2019秋江陰市校級月考）如圖，ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、eq

56、oac(,G)求AEG的周長【答案】解：DE為AB的中垂線，AE=BE，F(xiàn)G是AC的中垂線，AG=GC，AEG的周長等于AE+EG+GA，分別將AE和AG用BE和GC代替得：AEG的周長等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周長為BC的長度即7類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,ABD=ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線【答案與解析】證明：AB=AC（已知）ABC=ACB(等邊對等角)又ABD=ACD(已知)ABD-ABC=ACD-ACB(等式性質(zhì))即DBC=DCBDB=DC（等角對等邊）AB=AC（已知）31DB=DC（已證）點A和點D都在線段BC的垂直平分線上

57、（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線?！究偨Y(jié)升華】本題需要注意的是對于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用，部分學(xué)生可能錯誤地認(rèn)為“因為到線段兩端距離相等的點在線段垂直平分線上，所以已知AB=AC就可以說明AD是線段BC的垂直平分線了”，但卻忽略了“兩點確定一條直線”，所以只有當(dāng)AB=AC，DB=DC時，才能說明AD是線段BC的垂直平分線舉一反三：【變式】如圖，P是MON的平分線上的一點，PAOM,PBON,垂足分別為A、B求證：PO垂直平分ABOAPOBPOP=OP【答案】證明：OP是角平分線，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP

58、=90在AOP和BOP中AOPBOPAOPBOP（AAS）OA=OB.PO垂直平分AB（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點求證：BE=CE32【答案與解析】證明：連結(jié)BCABAC，DBDC點A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線，點E在AD上，BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）AEBCD【總結(jié)升華】本題綜合運用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，通過本例要學(xué)會

59、靈活運用這兩個定理解決幾何問題，性質(zhì)定理可以用來證明線段相等，本題中要注意必須有和已知線段兩端距離相等的兩個點才能確定垂直平分線這條直線4、如圖所示，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC邊上的中點，CEAD于點E，BFAC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF【思路點撥】先根據(jù)ASA判定ACDCBF得到BF=CD，然后又因為D為BC中點，根據(jù)中點定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可【答案與解析】證明：連接DF，BCE+ACE=90，ACE+CA

60、E=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BF33CD=BD=12BC，BF=BDBFD為等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分線BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，即AB垂直平分DF【總結(jié)升華】主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N.求證：CM=2