北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)講解,鞏固練習(xí)(教學(xué)資料,補(bǔ)習(xí)資料)第一章 三角形的證明(基礎(chǔ))

1、第一章三角形的證明（基礎(chǔ)）等腰三角形（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性；2.掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、證明、計(jì)算和作圖3.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過(guò)程.通過(guò)定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.4.理解反證法并能用反證法推理證明簡(jiǎn)單幾何題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在AB

2、C中，ABeqoac(,AC)，ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A;3.連接AB,AC.ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對(duì)稱(chēng)性(1)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；(2)BC；1(3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三

3、角形叫做等邊三角形.也稱(chēng)為正三角形.等邊三角形是一類(lèi)特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱(chēng)軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角）但頂角可為鈍角（或直角）.A1802B，BC180A2.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱(chēng)“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”推論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱(chēng)“等

4、腰三角形三線合一”2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點(diǎn)到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點(diǎn)到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點(diǎn)到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點(diǎn)三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)要弄清判定定理的條件

5、和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說(shuō)“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形2.等邊三角形的判定定理2三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.3.含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法

6、叫做反證法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍醋C法也稱(chēng)歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；（2）從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說(shuō)明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類(lèi)型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計(jì)算題1、（2019春太倉(cāng)市期末）如圖，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度數(shù)【思路點(diǎn)撥】由于AB=BD=DC，所以ABD和BDC都是等腰三角形，可設(shè)C=CDB=x，則BDA=A=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形

7、內(nèi)角和定理的推論，可以求出A，C度數(shù)【答案與解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，設(shè)C=CBD=x，則BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=253【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運(yùn)用了等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問(wèn)題舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，設(shè)ECDEDCx，BCDBDCy，則AEDA

8、DE2x，AB1804x在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得，xy1804x1804x180又A、D、B在同一直線上，2xxy180由，解得x36B1804x18014436.類(lèi)型二、等腰三角形中的分類(lèi)討論2、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40，求其余各角【思路點(diǎn)撥】由一個(gè)等腰三角形內(nèi)角為40，分別從40是等腰三角形頂角與40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案與解析】解：(1)當(dāng)40的角為頂角時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個(gè)底角的度數(shù)之和18040140，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個(gè)底角的度數(shù)1214070；(2)當(dāng)40的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為40，則頂角的度數(shù)18040401

9、00其余各角為70，70或40，100【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，小心別漏解3、已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，求其余各邊4【答案與解析】解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3，底邊長(zhǎng)13337；1(2)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和13310，則一腰長(zhǎng)1052這樣得兩組：3，3，75，5，33由三角形三邊關(guān)系可知：兩邊之和大于第三邊，37，故不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，其余各邊長(zhǎng)為5，5【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專(zhuān)用名詞“腰”底”，別的三角形沒(méi)有，此題沒(méi)有說(shuō)明邊長(zhǎng)為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類(lèi)

10、討論同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來(lái)驗(yàn)證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊BC8cm，且|ACBC|2cm，那么腰AC的長(zhǎng)為()A10cm或6cmB10cmC6cmD8cm或6cm【答案】A；解：|ACBC|2cm，ACBC2又BC8AC10或6AB10（cm）或（6cm）類(lèi)型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運(yùn)用eqoac(,4)、如圖，在ABC中，邊ABAC求證：ACBABC【思路點(diǎn)撥】在AB上截取AE=AC，連接CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出AEC=ACE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出AECA

11、BC即可【答案與解析】證明：證明：在AB上截取AE=AC，連接CE，AE=AC，AEC=ACE，AECB，ACBABC【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，能推出AEC=ACE和AECABC是解此題的關(guān)鍵5舉一反三：【變式】已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=CD求證：DB=DE【答案與解析】證明：如圖，在ABC中，AB=AC，A=60，ABC是等邊三角形，ABC=2=60，BD是中線，BD是ABC的平分線，1=30，CE=CD，E=3，E=2=30，E=1，DB=DE類(lèi)型四、等腰三角形的判定5、如圖eqoac(,1)，在A

12、BC中，BO平分ABC，CO平分ACB，過(guò)點(diǎn)O作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E（1）試找出圖中的等腰三角形，并說(shuō)明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的長(zhǎng)；（3）若AB=12、AC=9，求ADE的周長(zhǎng)；（4）若將原題中平行線DE的方向改變，如圖2，ODAB，OEAC，BC=16，你能得出什么結(jié)論呢？（【思路點(diǎn)撥】1）運(yùn)用兩三角形兩底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形兩腰相等求解；（eqoac(,3)）由ADE的周長(zhǎng)=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，得出BDO和ECO是等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等得出ODE

13、的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)度6【答案與解析】解：（eqoac(,1)）DBO和EOC是等腰三角形BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，DB=DO，DBO是等腰三角形，同理EOC是等腰三角形；（2）BD=4、CE=3，由（1）得出DO=4，EO=3，DE=DO+OE=4+3=7；（eqoac(,3)）ADE的周長(zhǎng)=AD+DO+OE+AE；DO=DB，OE=EC，ADE的周長(zhǎng)=AB+AC，AB=12、AC=9，ADE的周長(zhǎng)=AB+AC=12+9=21；（4）ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，BDO和ECO是等腰三角形，BD=DO，CE=OE，BC=16

14、，ODE的周長(zhǎng)為16即ODE的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)度【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等舉一反三【變式】如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O給出下列四個(gè)條件：EBD=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形，選擇其中的一種情形，證明ABC是等腰三角形【答案】；都可以組合證明ABC是等腰三角形；選為條件證明ABC是等腰三角形；證明：在EBO和DCO中，7，EBODCO（AAS），BO=CO，OBC=OCB，EBO+OBC=DCO+OCB，即

15、ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形類(lèi)型五、含有30角的直角三角形6.如圖所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求證：BD=3AD.【答案與解析】證明：CDAB，ADC=90，又A=60，ACD=30在eqoac(,Rt)ACD中，AD=又ACB=90，在eqoac(,Rt)ACB中，B=30，12AC，AC=11ABAD=AB，24則AD=13BD，即BD=3AD.【總結(jié)升華】根據(jù)直角三角形中30角所對(duì)的邊是斜邊的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，從而可推出AB=4BD，從而不難證得BD與AD的數(shù)量關(guān)系此題主要考查含30角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中

16、，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半舉一反三：【變式】如圖，已知，在四邊形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，CD=4cm，ABC=DCB，求BC的長(zhǎng)8【答案】解：ADBC，A=120，ABC=180120=60，BD平分ABC，DBC=ABC=60=30，又ABC=DCB=60，BDC=1803060=90，BC=2CD=24=8cm類(lèi)型六、反證法7.求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。【答案】已知：ABC求證：ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60證明：假設(shè)ABC中沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60則A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180即A+B+C18

17、0，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60【總結(jié)升華】本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)的結(jié)論不成立，則原題中的結(jié)論成立在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定舉一反三：【變式】下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若a21，則a1”是假命題的反例是（）A.a=2B.a=1C.a=1D.a=2【答案】A【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.（2019曲靖一模）等腰三角形中一個(gè)外角等于10

18、0，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A40，40B80，20C50，50D50，50或80，202.用反證法證明命題：如果ABCD，ABEF，那么CDEF，證明的第一個(gè)步驟是（）A.假設(shè)CDEF;B.假設(shè)ABEFC.假設(shè)CD和EF不平行D.假設(shè)AB和EF不平行3.將兩個(gè)全等的且有一個(gè)角為30的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長(zhǎng)直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)9yy4.已知實(shí)數(shù)x，滿足|x4|+(y8)20，則以x，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A20或16B20C16D以上答案均不對(duì)D5.如圖，是AB邊上的中點(diǎn)，將ABC沿過(guò)D的直線折疊，使點(diǎn)

19、A落在BC上F處，若B50，則BDF度數(shù)是（）A60B70C80D不確定6.（2019永州模擬）在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1），在x軸上確定點(diǎn)P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)二.填空題7如圖，ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，ADBDBC，若A40，則CBD_8.（2019嘉峪關(guān)模擬）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，那么它的周長(zhǎng)是9.用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行“的第一步應(yīng)假設(shè)_.10.等腰三角形的一個(gè)角是70，則它的頂角的度數(shù)是.11.如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正

20、確答案的序號(hào)都填寫(xiě)在橫線上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12.如圖，ABC的周長(zhǎng)為32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周長(zhǎng)為24，那么AD的長(zhǎng)為.10三.解答題13已知：如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CA至E，使AEAD試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論14.（2019春安岳縣期末）等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長(zhǎng)分成了21和27兩個(gè)部分，求等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)15.用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】解：外角等于100，這個(gè)內(nèi)角為80，當(dāng)這個(gè)80角為頂角時(shí)，則底角

21、為=50，此時(shí)另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為50，50；當(dāng)這個(gè)80角為底角時(shí)，則另一個(gè)底角為80，頂角為20，此時(shí)可得另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為80，20；故選D2.【答案】C；【解析】用反證法證明CDEF時(shí)，應(yīng)先假設(shè)CD與EF不平行故選C3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】根據(jù)題意得y80 x40解得,11y8x4.（1）若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形；（2）若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為4+8+8=20故選B5.【答案】C；【解析】ADDFBD，BBFD50，BDF180505080.6.【答案】D；【解析】解：如圖，以點(diǎn)O為圓心，以

22、OA為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)B、C；以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫(huà)弧，交x軸于一點(diǎn)D（點(diǎn)O除外），以O(shè)A為腰的等腰三角形有3個(gè)；作OA的垂直平分線，交x軸于一點(diǎn)，以O(shè)A為底的等腰三角形有1個(gè)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，故選：D二.填空題7.【答案】20；【解析】AABD40，BDCC80，所以CBD20.8.【答案】12；【解析】解：2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、5，2+2=45，不能組成三角形，2是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、5、5，能組成三角形，周長(zhǎng)=2+5+5=12，綜上所述，它的周長(zhǎng)是12故答案為：129.【答案】?jī)芍本€平行；【解析】根據(jù)已知條件和反證法的特點(diǎn)進(jìn)行證明，

23、即可求出答案.10.【答案】70或40；12【解析】解：（1）當(dāng)70角為頂角，頂角度數(shù)即為70；（2）當(dāng)70為底角時(shí)，頂角=180-270=40故答案為：70或40.11.【答案】；【解析】：當(dāng)BAD=CAD時(shí)，AD是BAC的平分線，且AD是BC邊上的高；eqoac(,則)ABDACD，BAC是等腰三角形；延長(zhǎng)DB至E，使BE=AB；延長(zhǎng)DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；AB+BD=CD+AC，DE=DF，又ADBC；AEF是等腰三角形；E=F；AB=BE，ABC=2E；同理，得ACB=2F；ABC=ACB，即AB=ACeqoac(,，)ABC是等腰三角形；ABC中，ADBC，根據(jù)勾股定

24、理，得：AB2BD2=AC2CD2，即（AB+BD）（ABBD）=（AC+CD）（ACCD）；ABBD=ACCD，AB+BD=AC+CD；兩式相加得，2AB=2AC；AB=AC，ABC是等腰三角形故填12.【答案】8；【解析】解：AB=AC，ADBC，BD=DCAB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，AC+DC=16AC+DC+AD=24AD=8故填8三.解答題13.【解析】13證明：EDBC；延長(zhǎng)ED，交BC邊于H，ABAC，AEAD設(shè)BCx，則EAD2x，ADE1802x290 x即BDH90 xBBDHx90 x90，BHD90，EDBC.14.【解析】解：設(shè)等腰三角形的

25、腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，則有或，解得：或，此時(shí)兩種情況都符合三角形三邊關(guān)系定理，答：等腰三角形的腰長(zhǎng)為14，底邊長(zhǎng)為20；或腰長(zhǎng)為18，底邊長(zhǎng)為1215.【解析】證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則它們大于或者等于90；根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，則兩個(gè)底角的和大于或者等于180；則該三角形的三個(gè)內(nèi)角的和一定大于180，這與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾；所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確；即等腰三角形的底角是銳角直角三角形-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系2.能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

26、，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理14直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目中的已知線段的長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：a2c2b2，b2c2a2，c2ab22ab.（4）勾股數(shù)：滿足不

27、定方程x2y2z2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以x、y、z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.n21，2n，n21（n1,n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；2n22n,2n1,2n22n1（n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；m2n2,m2n2,2mn（mn,m、n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng).要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖

28、（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.15，所以.要點(diǎn)三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.，（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)四、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如c）.（2）驗(yàn)證c2與a2b2是否具有相等關(guān)系.若c2a2b2，則ABC是C90的直角三角

29、形；若c2a2b2，則ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)a2b2c2時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2b2c2時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中c為三角形的最大邊.要點(diǎn)五、互逆命題與互逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理，其中一個(gè)定理稱(chēng)為另一個(gè)定理的逆定理.要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸}正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.一個(gè)定理是真命題，每一個(gè)定理不一定有逆定理，如果這個(gè)定理存在著逆定理

30、，則一定是真命題.要點(diǎn)六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)稱(chēng)“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在兩個(gè)三角

31、形前加上“Rt”.16【典型例題】類(lèi)型一、勾股定理eqoac(,1)、在ABC中，C90，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c（1）若a5，b12，求c；（2）若c26，b24，求a【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2b2c2來(lái)求未知邊長(zhǎng)【答案與解析】解：（eqoac(,1)）因?yàn)锳BC中，C90，a2b2c2，a5，b12，所以c2a2b25212225144169所以c13（eqoac(,2)）因?yàn)锳BC中，C90，a2b2c2，c26，b24，所以a2c2b2262242676576100所以a10【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股定理

32、的原式還是變式舉一反三：【變式】在ABC中，C90，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c（1）已知b2，c3，求a；（2）已知a:c3:5，b32，求a、c【答案】解：（1）C90，b2，c3，ac2b232225；（2）設(shè)a3k，c5kC90，b32，a2b2c2即(3k)2322(5k)2解得k8a3k3824，c5k58402、一圓形飯盒，底面半徑為8cm，高為12cm，若往里面放雙筷子（粗細(xì)不計(jì)）那么筷子最長(zhǎng)不超過(guò)多少，可正好蓋上盒蓋？17【答案與解析】解：如圖所示，因?yàn)轱埡械酌姘霃綖?cm，所以底面直徑DC長(zhǎng)為16cm則在eqoac(,Rt)BCD中，BD2DC2BC2，所以BDDC2B

33、C216212220(cm)答：筷子最長(zhǎng)不超過(guò)20cm，可正好蓋上盒蓋【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)是求飯盒中任意兩點(diǎn)間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對(duì)平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？（2）a4，b1，c；【答案】解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以C90，BC5m，AC12m，AB2BC2AC252122169AB16913(m)BCAB51318(m)旗桿折斷前的高度為18m類(lèi)型二、勾股定理的逆定理3、判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；33

34、4（3）am2n2，bm2n2，c2mn(mn0)；【思路點(diǎn)撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長(zhǎng)線段的平方若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形18【答案與解析】解：（1）a2b272242625，c2252625，a2b2c2由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形abc，b2c2121，a2，（2）3292542161616439b2c2a2由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形（3）mn0，m2n22mn，m2n2m2n2a2c2(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2m42m2n2n4，b2(m2n

35、2)2m42m2n2n4，a2c2b2由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形【總結(jié)升華】解此類(lèi)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，即首先確定最大邊，然后驗(yàn)證c2與a2b2是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形，第3小題，m,n可以取特殊值，代入到三邊中，也可以判斷其三邊的大小舉一反三：【變式1】判斷以線段a，b，c為邊的ABC是不是直角三角形，其中a7，b3，c2【答案】解：由于acb，因此a為最大邊，只需看a2是否等于b2c2即可a2(7)27，b2(3)23，c2224，a2b2c2，以線段a，b，c為邊能構(gòu)成以a為斜邊的直角三角形【變式2】一

36、個(gè)三角形的三邊之比是3:4:5則這個(gè)三角形三邊上的高之比是（）A20:15:12B3:4:5C5:4:3D10:8:2【答案】A.提示：這個(gè)三角形是直角三角形，三邊上的高之比為4:3：19125，即20:15:12.4、（2019春臨清市期末）已知a、b、c滿足|a|+（c4）2=0（1）求a、b、c的值；（2）判斷以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（【思路點(diǎn)撥】1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理判斷即可【答案與解析】解：（1）a、b、c滿足|a|+（c4）2=0

37、|a|=0，=0，（c4）2=0解得：a=，b=5，c=4；（2）a=a+b=，b=5，c=4+54，以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，此三角形是直角三角形，eqoac(,S)=【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵類(lèi)型三、勾股定理、逆定理的實(shí)際應(yīng)用5、（2019春遵義期末）“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城街路上行駛速度不得超過(guò)70km/h如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)

38、速檢測(cè)儀間距離為50m，這輛小汽車(chē)超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s=3.6km/h）【思路點(diǎn)撥】本題求小汽車(chē)是否超速，其實(shí)就是求BC的距離，直角三角形ABC中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有直角邊AC的長(zhǎng)，那么BC的長(zhǎng)就很容易求得，根據(jù)小汽車(chē)用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車(chē)的速度，然后再判斷是否超速了20【答案與解析】解：在RtABC中，AC=30m，AB=50m；據(jù)勾股定理可得：（m）小汽車(chē)的速度為v=20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；這輛小汽車(chē)超速行駛答：這輛小汽車(chē)超速了【總結(jié)升華】本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條

39、件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決要注意題目中單位的統(tǒng)一類(lèi)型四、原命題與逆命題6、寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳2原命題：對(duì)頂角相等.3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等【答案與解析】1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2.逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）（3.逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（正確）4.逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上正確）【總結(jié)升華】掌握原命題與逆命題的關(guān)系.原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤.舉一反三：【變

40、式1】下列命題中，其逆命題成立的是_（只填寫(xiě)序號(hào)）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形【答案】提示：的逆命題“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”顯然正確；的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角”很明顯是錯(cuò)誤的；的逆命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以互為相反數(shù)，所以該命題不正確；的逆命題“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2”也是正確的.【變式2】根據(jù)命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出逆命題

41、；21（2）判斷逆命題是真命題還是假命題；（3）根據(jù)逆命題畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證【答案】解：（1）逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）是真命題；（3）已知：如圖，AMN=DNM，求證：ABCD類(lèi)型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如圖，ABBD，CDBD，ADBC求證：（1）ABCD：（2）ADBCBDDB【思路點(diǎn)撥】先由“HL”證eqoac(,Rt)ABDeqoac(,Rt)CDB，再由內(nèi)錯(cuò)角相等證兩直線平行.【答案與解析】證明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB90在eqoac(,Rt)ABD和eqoac(,Rt)CDB中，ADBCeqoac(,Rt)ABDeqoac(,R

42、t)CDB（HL）ABCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）由ADBCBDADBC.【總結(jié)升華】證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.舉一反三：【變式】已知：如圖，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求證：EDAC22AEAB，【答案】證明：AEAB，BCAB，DAECBA90在eqoac(,Rt)DAE與eqoac(,Rt)CBA中，EDACeqoac(,Rt)DAEeqoac(,Rt)CBA（HL）ECABCABEAF90，EEAF90，即AFE90即EDAC8、如圖，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求證：EB=FC【

43、答案與解析】證明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DE=DF；DEAB于E，DFAC于F在RtDBE和RtDCF中RtDBERtDCF（eqoac(,HL)）；EB=FC【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）直角三角形-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】23一.選擇題1如圖，eqoac(,Rt)ABC中，C90，若AB15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無(wú)法計(jì)算bc2.（2019春慶云縣期末）下列各組數(shù)中，以a，為邊的三角形不是直角三角

44、形的是（）Aa=1.5，b=2，c=3Ba=7，b=24，c=25Ca=6，b=8，c=10Da=3，b=4，c=53三角形的三邊長(zhǎng)分別為a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整數(shù)），則這個(gè)三角形是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定4（2019岳池縣模擬）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵樹(shù)高4米，兩樹(shù)相距8米一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行（）A8米B10米C12米D14米5（2019春天河區(qū)期末）下列各命題的逆命題成立的是（）A全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等B如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等C兩直線平行，同位角相等D如果兩個(gè)角都是45，那么這兩個(gè)角相等

45、6.在兩個(gè)直角三角形中，若有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二.填空題（72019春東臺(tái)市期末）命題“銳角與鈍角互為補(bǔ)角”的逆命題是8.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2cm，點(diǎn)E在BC上，且AEEC.若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)B重合，則ACcm.249.已知兩條線段的長(zhǎng)分別為11cm和60cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為cm時(shí)，這3條線段能組成一個(gè)直角三角形10.如圖，AB5，AC3，BC邊上的中線ADeqoac(,2)，則ABC的面積為_(kāi)11.如圖，已知ABBD于B，EDBD于D，ECAC，ACEC，若DE2，A

46、B4，則DB_.12.如圖，已知AD是ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且BFAC，F(xiàn)DCD.則BAD_.三.解答題13.已知在三角形ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，CD3，BD5，求AC的長(zhǎng)14.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB3，AD9，求BE的長(zhǎng)2515.（2019春和縣校級(jí)月考）如圖，在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度全速前進(jìn)，2小時(shí)后甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船沿那個(gè)方向航行嗎？16.如圖，已知ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分

47、別是點(diǎn)E、F.求證：12.【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】面積和等于AC2BC2AB2225.2.【答案】A；【解析】解：A、1.52+2232，該三角形不是直角三角形，故A選項(xiàng)符合題意；B、72+242=252，該三角形是直角三角形，故B選項(xiàng)不符合題意；C、62+82=102，該三角形是直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；D、32+42=52，該三角形不是直角三角形，故D選項(xiàng)不符合題意故選：A3.【答案】A；【解析】(a2b2)22ab2(a2b2)2，滿足勾股定理的逆定理.264.【答案】B；【解析】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB=10m，小樹(shù)高為CD=4m，過(guò)C點(diǎn)作CEAB于E，則

48、EBDC是矩形，連接AC，EB=4m，EC=8m，AE=ABEB=104=6m，在RtAEC中，AC=故小鳥(niǎo)至少飛行10m故選：B=10（m），5.【答案】C；【解析】解：A、逆命題是三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，錯(cuò)誤；B、絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等，錯(cuò)誤；C、同位角相等，兩條直線平行，正確；D、相等的兩個(gè)角都是45，錯(cuò)誤故選C6.【答案】C；【解析】如果這對(duì)角不是直角，那么全等，如果這對(duì)角是直角，那么不全等.二.填空題7.【答案】如果兩個(gè)角互為補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一個(gè)是銳角另一個(gè)是鈍角；8.【答案】4；【解析】ABEABE90，又因?yàn)锳ECE，所以BE為AEC的垂直平分線，AC2AB4cm.9.

49、【答案】61或3479；【解析】60cm長(zhǎng)的邊可能是斜邊，也可能是直角邊.10.【答案】6；【解析】延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)eqoac(,BE)，可得ABE為Rt11.【答案】6；【解析】DBDCCBABED426；12.【答案】45；【解析】證ADC與BDF全等，ADeqoac(,BD)，ABD為等腰直角三角形.三.解答題13.【解析】27解：過(guò)D點(diǎn)作DEAB于E，AD平分BAC，C90，DECD3，易證ACDAED，AEAC，在eqoac(,Rt)DBE中，BD5，DE3，BE4在eqoac(,Rt)ACB中，C90設(shè)AEACx，則AB4xAB2AC2BC24x2x282解得x6，A

50、C6.AEAF14【解析】解：設(shè)BEx，則DEBEx，AEADDE9x在eqoac(,Rt)ABE中，AB2AE2BE2，329x2x2解得x515【解析】解：BM=82=16海里，BP=152=30海里，在BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，MBP=90，1809060=30，故乙船沿南偏東30方向航行16.【解析】證明：AEEC，AFBF，AEC、AFB為直角三角形在eqoac(,Rt)AEC與eqoac(,Rt)AFB中ABACeqoac(,Rt)AECeqoac(,Rt)AFB（HL）EACFABEACBACFABBAC，即12

51、.28線段的垂直平分線-知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2.會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形.4.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12（2）作直線CD，CD即為所求直線要點(diǎn)詮釋?zhuān)篈B的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

52、相交于C，D兩點(diǎn)；(1)作弧時(shí)的半徑必須大于12AB的長(zhǎng)，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸熬€段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一同時(shí)也給出了引輔助線的方法，線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見(jiàn)線段的垂直平分線，畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上要點(diǎn)詮

53、釋?zhuān)旱骄€段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合29要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心外心.要點(diǎn)詮釋:，1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)）該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合.3.外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類(lèi)試題，它要求寫(xiě)出“已知，求作，作法和畫(huà)圖”畫(huà)圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫(xiě)

54、出作法，但是必須保留痕跡.證明過(guò)程一般不用寫(xiě)出來(lái).最后要點(diǎn)題即“xxx即為所求”.【典型例題】類(lèi)型一、線段的垂直平分線定理eqoac(,1)、如圖，ABC中ACBC，邊AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)D，已知AC=5，BC=4，則BCD的周長(zhǎng)是（）A9B8C7D6【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根據(jù)BCD的周長(zhǎng)=BC+BD+CD即可進(jìn)行解答【答案】A；【解析】因?yàn)锽D=AD,所以BCD的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【總結(jié)升華】此題正是應(yīng)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，也就是已知直線是線段垂直平分線，那么垂直平分線上的點(diǎn)

55、到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，從而把三角形的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)移，進(jìn)而求得三角形的周長(zhǎng)舉一反三：【變式eqoac(,1)】如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（）ABD平分ABCBBCD的周長(zhǎng)等于AB+BCCAD=BD=BCD點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)30【答案】D；提示:根據(jù)等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可推得選項(xiàng)A、B、C正確；所以選D,另外，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用（【變式2】2019秋江陰市校級(jí)月考）如圖，ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、eq

56、oac(,G)求AEG的周長(zhǎng)【答案】解：DE為AB的中垂線，AE=BE，F(xiàn)G是AC的中垂線，AG=GC，AEG的周長(zhǎng)等于AE+EG+GA，分別將AE和AG用BE和GC代替得：AEG的周長(zhǎng)等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周長(zhǎng)為BC的長(zhǎng)度即7類(lèi)型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,ABD=ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線【答案與解析】證明：AB=AC（已知）ABC=ACB(等邊對(duì)等角)又ABD=ACD(已知)ABD-ABC=ACD-ACB(等式性質(zhì))即DBC=DCBDB=DC（等角對(duì)等邊）AB=AC（已知）31DB=DC（已證）點(diǎn)A和點(diǎn)D都在線段BC的垂直平分線上

57、（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線?！究偨Y(jié)升華】本題需要注意的是對(duì)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用，部分學(xué)生可能錯(cuò)誤地認(rèn)為“因?yàn)榈骄€段兩端距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，所以已知AB=AC就可以說(shuō)明AD是線段BC的垂直平分線了”，但卻忽略了“兩點(diǎn)確定一條直線”，所以只有當(dāng)AB=AC，DB=DC時(shí)，才能說(shuō)明AD是線段BC的垂直平分線舉一反三：【變式】如圖，P是MON的平分線上的一點(diǎn)，PAOM,PBON,垂足分別為A、B求證：PO垂直平分ABOAPOBPOP=OP【答案】證明：OP是角平分線，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP

58、=90在AOP和BOP中AOPBOPAOPBOP（AAS）OA=OB.PO垂直平分AB（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）類(lèi)型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點(diǎn)求證：BE=CE32【答案與解析】證明：連結(jié)BCABAC，DBDC點(diǎn)A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）AD是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)E在AD上，BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）AEBCD【總結(jié)升華】本題綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，通過(guò)本例要學(xué)會(huì)

59、靈活運(yùn)用這兩個(gè)定理解決幾何問(wèn)題，性質(zhì)定理可以用來(lái)證明線段相等，本題中要注意必須有和已知線段兩端距離相等的兩個(gè)點(diǎn)才能確定垂直平分線這條直線4、如圖所示，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC邊上的中點(diǎn)，CEAD于點(diǎn)E，BFAC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AB垂直平分DF【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)ASA判定ACDCBF得到BF=CD，然后又因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可【答案與解析】證明：連接DF，BCE+ACE=90，ACE+CA

60、E=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BF33CD=BD=12BC，BF=BDBFD為等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分線BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，即AB垂直平分DF【總結(jié)升華】主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)要注意的是：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N.求證：CM=2