高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第2章 章末復(fù)習(xí)

1、章末復(fù)習(xí)第二章直線和圓的方程內(nèi)容索引知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)突破真題體驗(yàn)1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)PART ONE2考點(diǎn)突破PART TWO一、兩直線的平行與垂直1.判斷兩直線平行、垂直的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1k2l1l2.(2) 若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1k21l1l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)2.討論兩直線的平行、垂直關(guān)系，可以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).3當(dāng)22aa，即a2時(shí)，AB和CD不平行；a3或a1.AB與CD平行.AB與CD重合.當(dāng)a3時(shí)，直線AB和直線CD平行.(2)若點(diǎn)A(4，1)在直線l1：axy

2、10上，則l1與l2：2xy30的位置關(guān)系是_.垂直解析將點(diǎn)A(4，1)的坐標(biāo)代入axy10，反思感悟一般式方程下兩直線的平行與垂直：已知兩直線的方程為l1：A1xB1yC10(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1l2A1B2A2B10且C1B2C2B10，l1l2A1A2B1B20.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10.若l1l2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).3(2)已知兩直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，若l1l2，則m_.1解析因?yàn)橹本€xmy60與(m2)x3y2m0平行，二、兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題1.兩條

3、直線的位置關(guān)系的研究以?xún)芍本€的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過(guò)交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問(wèn)題.2.兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).A.1 B.5C.1或5 D.3或3解得a1或a5，實(shí)數(shù)a的值為1或5.(2)過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.解設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)兩條直線的方程分別為xya0，xyb0，已知a，b是

4、關(guān)于x的方程x2x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這兩條直線之間的距離為解析根據(jù)a，b是關(guān)于x的方程x2x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得ab1，ab2，a1，b2或a2，b1，|ab|3，(2)已知直線l過(guò)直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0,4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3所以滿足條件的直線l有2條.故選C.方法二依題意，設(shè)經(jīng)過(guò)直線l1與l2交點(diǎn)的直線l的方程為2x3y8(x2y3)0(R)，即(2)x(32)y380.三、直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑長(zhǎng)為r.若dr，則直線和圓

5、相離.(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，其判別式為.0直線與圓相切；0直線與圓相交；0直線與圓相離.2.研究直線與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例3已知直線l：2mxy8m30和圓C：x2y26x12y200.(1)mR時(shí)，證明l與C總相交；證明直線的方程可化為y32m(x4)，由點(diǎn)斜式可知，直線恒過(guò)點(diǎn)P(4，3).由于42(3)26412(3)20150，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交.(2)m取何值時(shí)，l 被C截得的弦長(zhǎng)最短？求此弦長(zhǎng).解圓的方程可化為(x3)2(y6)225.如圖，當(dāng)圓心C(3，6)到直線l的距離最大

6、時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度最短.此時(shí)PCl，反思感悟直線與圓問(wèn)題的類(lèi)型(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.(2)弦長(zhǎng)問(wèn)題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解.跟蹤訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線xy20對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)P(2, 2)和原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；解由題意知，直線xy20過(guò)圓C的圓心，設(shè)圓心C(a，a2).由題意，得(a2)2(a22)2a2(a2)2，解得a2.因?yàn)閳A心C(2,0)，半徑r2，所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過(guò)點(diǎn)A(1, 0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長(zhǎng)相等，求此時(shí)直線l1的方程.解由題意知，直線l1，

7、l2的斜率存在且不為0，所以l1：yk(x1)，即kxyk0，由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以直線l1的方程為xy10或xy10.1.圓與圓的位置關(guān)系：一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.2.圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).四、圓與圓的位置關(guān)系例4已知圓C1：x2y24x4y50與圓C2：x2y28x4y70.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過(guò)切點(diǎn)的兩圓公切線的方程；解把圓C1與圓C2都化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213.所以圓C1與圓C2相切.即3x2y30，就是過(guò)切點(diǎn)的兩圓公切線的

8、方程.(2)求過(guò)點(diǎn)(2, 3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.解由圓系方程，可設(shè)所求圓的方程為x2y24x4y5(3x2y3)0.反思感悟兩圓的公共弦問(wèn)題(1)若圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦長(zhǎng)的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.跟蹤訓(xùn)練4(1)已知圓C1：x2y26x70與圓C2：x2y26y270相交于A， B兩點(diǎn)，則線段A

9、B的中垂線方程為_(kāi).xy30解析AB的中垂線即為圓C1、圓C2的連心線C1C2. 又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直線的方程為xy30.(2)已知圓C1：x2y24x2y0與圓C2：x2y22y40.求證：兩圓相交；證明圓C1的方程可化為(x2)2(y1)25，圓C2的方程可化為x2(y1)25，兩圓相交.求兩圓公共弦所在直線的方程.解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2y24x2y)(x2y22y4)0，即xy10.3真題體驗(yàn)PART THREE1.(2019天津改編)設(shè)aR，直線axy20和圓x2y24x2y10相切，則a的值為_(kāi).1234解析由已知條

10、件可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，其圓心為(2,1)，半徑為2，2.(2017北京改編)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓C：x2y22x4y40上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為_(kāi).12341解析x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長(zhǎng)為1.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)P在圓C外.又點(diǎn)A在圓C上，|AP|min|PC|1211.3.(2017天津改編)已知點(diǎn)C在直線l：x1上，點(diǎn)F(1,0)，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A. 若FAC120，則圓的方程為_(kāi).解析由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，圓的半徑

11、為1，CAO90.又因?yàn)镕AC120，12344.(2019江蘇改編)如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA.規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測(cè)得AB10，AC6，BD12(單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；1234解如圖，過(guò)O作OHl，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D12，AC6，所以O(shè)H9，直線l的方程為y9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB10，所以圓O的方程為x2y225.12341234所以道路PB的長(zhǎng)為1