《分析方法》課程教學(xué)大綱

1、分析方法課程教學(xué)大綱課程編碼：171110040 171220050 課程性質(zhì)：專業(yè)方向限選課程適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)分： 56學(xué)時(shí)3.5學(xué)分所需先修課數(shù)學(xué)分析編寫單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系一、課程說(shuō)明 1、課程簡(jiǎn)介分析方法選講是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的極為重要的選修課程，是為全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)系各專業(yè)設(shè)置的課程 2、教學(xué)目的要求 分析方法選講是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)選修課，是數(shù)學(xué)分析的提高課程學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要更進(jìn)一步系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論、思想方法和解題技巧，能對(duì)問(wèn)題的類型、解題思路和方法進(jìn)行歸納、總結(jié)，探索解題規(guī)律，做到舉一反三，觸類旁通

2、，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、科學(xué)思維、邏輯推理能力，提高學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為繼續(xù)深造和科研打下良好基礎(chǔ).3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)本課程的教學(xué)重點(diǎn)部分和難點(diǎn)部分為極限理論、一元函數(shù)微積分、級(jí)數(shù)理論、多元函數(shù)微積分4、考核方式 本課程為考查課，考試的形式閉卷，總分為100分,成績(jī)的合成平時(shí)占40%,期末占60%5、學(xué)時(shí)分配表 本課程安排一個(gè)學(xué)期講完,安排60學(xué)時(shí)，包括極限理論、一元函數(shù)微積分、級(jí)數(shù)理論、多元函數(shù)微積分的全部?jī)?nèi)容表1 課程學(xué)時(shí)分配表章次教學(xué)內(nèi)容講授課學(xué)時(shí)數(shù)試驗(yàn)(實(shí)踐)課學(xué)時(shí)數(shù)一數(shù)列極限6二函數(shù)極限和函數(shù)連續(xù)性6三導(dǎo)數(shù)與微分2四微分中值定理及應(yīng)

3、用6五一元函數(shù)積分學(xué)6六數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)6七函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)6八廣義積分2九含參量積分6十多元函數(shù)微積分6十一曲線積分2十二曲面積分2總計(jì)56二、各部分教學(xué)綱要第一章 數(shù)列極限（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解數(shù)列收斂和發(fā)散的定義.2.掌握證明數(shù)列極限的基本方法，掌握收斂數(shù)列的性質(zhì).3.理解數(shù)列極限、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念、性質(zhì)及相關(guān)定理.4.理解并正確敘述數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性. 5.掌握極限四則運(yùn)算法則定理和幾個(gè)重要極限.6.理解和掌握子列理論，了解數(shù)列的上、下極限.本章重點(diǎn)數(shù)列收斂和發(fā)散的定義，無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念，數(shù)列收斂性的計(jì)算和判定.本章難點(diǎn)極限的，發(fā)散數(shù)列的定義，Stolz定理，壓縮

4、影象原理，上、下極限，幾個(gè)重要極限的應(yīng)用，連續(xù)的概念.教學(xué)內(nèi)容1.數(shù)列收斂和發(fā)散的定義.2.收斂數(shù)列的性質(zhì).3.數(shù)列極限四則運(yùn)算法則定理、幾個(gè)重要極限、Stolz定理.4. 無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念和相關(guān)定理.5.子列理論. 6. 數(shù)列極限的計(jì)算方法，數(shù)列收斂性的判定方法.第二章函數(shù)極限和函數(shù)連續(xù)性（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1理解函數(shù)極限（正常極限，非正常極限）的24種定義以及它們各自的對(duì)偶命題.2理解和掌握函數(shù)極限的性質(zhì)與定理，并能根據(jù)性質(zhì)和定理來(lái)計(jì)算和證明函數(shù)極限.3理解連續(xù)函數(shù)的概念，會(huì)判斷連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)并對(duì)其進(jìn)行分類.4掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握判斷函數(shù)一致和非一致連續(xù)的方法.5熟練掌握函數(shù)極

5、限的計(jì)算和證明方法，掌握根據(jù)極限性質(zhì)，定義，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證題.本章重點(diǎn)1.函數(shù)極限的概念及對(duì)偶命題.2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及間斷點(diǎn).3.函數(shù)一致和非一致連續(xù)的定義、判定，函數(shù)極限的計(jì)算和證明方法.本章難點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，函數(shù)一致和非一致連續(xù)的判定，函數(shù)極限的相關(guān)證明教學(xué)內(nèi)容1函數(shù)極限的概念以及對(duì)偶命題.2函數(shù)極限的性質(zhì)與定理.3連續(xù)函數(shù)的概念，函數(shù)的間斷點(diǎn).4. 函數(shù)一致和非一致連續(xù)的判定方法.5函數(shù)極限的計(jì)算及相關(guān)證明.導(dǎo)數(shù)與微分（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的定義.2.熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)求導(dǎo)法.本章重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的定義，各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法. 本章難點(diǎn)各類

6、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)內(nèi)容1.導(dǎo)數(shù)和微分的定義.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.3.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.隱函數(shù)求導(dǎo)法.第四章 微分中值定理及應(yīng)用（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解Fermat定理,Roll定理,Lagrange定理,Cauchy定理的內(nèi)容以及他們適用的條件，掌握它們之間的關(guān)系，會(huì)做輔助函數(shù)證明中值定理.2.掌握Taylor展開式（Lagrange型，Peano型），理解它的證明方法.3.掌握導(dǎo)數(shù)的基本特性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài).4.理解和掌握導(dǎo)數(shù)及中值定理在各方面的應(yīng)用.本章重點(diǎn)微分中值定理，Taylor展開式.本章難點(diǎn)微分中值定理，Taylor展開式.教學(xué)內(nèi)容1.微分中

7、值定理的內(nèi)容及聯(lián)系.2.Taylor展開式及應(yīng)用.3.導(dǎo)數(shù)的基本特性.第五章一元函數(shù)積分學(xué)（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解和掌握原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)，熟練計(jì)算各類不定積分.2.理解和掌握定積分的概念、性質(zhì)和可積條件，掌握變限定積分，微積分學(xué)基本定理.3.熟練計(jì)算定積分，理解定積分的應(yīng)用.本章重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)，定積分的概念、性質(zhì)和可積條件，變限定積分，微積分學(xué)基本定理.本章難點(diǎn)定積分的性質(zhì)和可積條件，變限定積分，微積分學(xué)基本定理.教學(xué)內(nèi)容1.原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì).2.定積分的概念、性質(zhì)和可積條件，變限定積分，微積分學(xué)基本定理.3.定積分和不定積分的計(jì)算及應(yīng)用.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（

8、6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解和掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì).2.熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法.3.掌握利用收斂級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)證題.本章重點(diǎn)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，利用收斂級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)證題.本章難點(diǎn)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，利用收斂級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)證題.教學(xué)內(nèi)容1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法.3.利用收斂級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)證題.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1. 理解函數(shù)列收斂的概念，掌握函數(shù)列一致收斂的判定與性質(zhì).2. 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的概

9、念，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定與性質(zhì).3. 理解和掌握冪級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握冪級(jí)數(shù)的展開及一些特殊函數(shù)的展開式.4掌握Fourier級(jí)數(shù)的斂散性、平均收斂與一致收斂的判別方法.熟練掌握函數(shù)在一般區(qū)間上的Fourier展開.本章重點(diǎn)函數(shù)列，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定與性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的展開.本章難點(diǎn)函數(shù)列，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定與性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的展開.教學(xué)內(nèi)容1.函數(shù)列收斂的概念，函數(shù)列一致收斂的判定與性質(zhì).2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定與性質(zhì).3.冪級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)的展開及一些特殊函數(shù)的展開式.4.Fourier級(jí)數(shù)的展開.第八

10、章 廣義積分（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解和掌握兩類廣義積分收斂定義、收斂的廣義積分的性質(zhì)、以及兩類積分之間的關(guān)系.2.熟練掌握被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)和一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法.本章重點(diǎn)兩類廣義積分收斂定義、收斂的廣義積分的性質(zhì)、以及兩類積分之間的關(guān)系，被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)和一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法.本章難點(diǎn)被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)和一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法.教學(xué)內(nèi)容1.兩類廣義積分收斂定義、收斂的廣義積分的性質(zhì)、以及兩類積分之間的關(guān)系.2.被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)和一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法.第九章 含參量積分（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.理解含參量定積分的定義和分析性質(zhì)，會(huì)利用分析性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證

11、題.2.理解和掌握含參量廣義積分收斂與一致收斂的概念及性質(zhì)，熟練掌握含參量廣義積分一致收斂性的判定方法.本章重點(diǎn)含參量定積分的定義和分析性質(zhì)，含參量廣義積分收斂與一致收斂的概念及性質(zhì)，含參量廣義積分一致收斂性的判定方法.本章難點(diǎn)含參量廣義積分一致收斂性的判定方法.教學(xué)內(nèi)容1.含參量定積分的定義和分析性質(zhì)，2.含參量廣義積分收斂與一致收斂的概念及性質(zhì)，3.含參量廣義積分一致收斂性的判定方法.第十章 多元函數(shù)微積分（6學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，可微性與全微分的定義.2.掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.3.掌握二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與泰勒公式；4.掌握二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件5.掌握

12、二重積分化為累次積分和累次積分的積分次序交換的方法.6.掌握二重積分的一般的變量變換公式.7.掌握二重積分的極坐標(biāo)變換.8、熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法；9.掌握物體重心的計(jì)算公式，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式和引力的計(jì)算公式本章重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)以及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法，二重積分、三重積分的計(jì)算.本章難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)以及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法，二重積分、三重積分的計(jì)算.教學(xué)內(nèi)容1.復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)以及高階偏導(dǎo)數(shù).2.二重積分的計(jì)算.3.三重積分的計(jì)算.第十一章 曲線積分（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計(jì)算公式.2.掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式.本章重點(diǎn)曲線積分的計(jì)算.本章難點(diǎn)曲線積分的計(jì)算.教學(xué)內(nèi)容1.掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計(jì)算公式.2.掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式.第十二章 曲面積分（2學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分計(jì)算公式；2.掌握第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式；3.掌握用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分；本章重點(diǎn)第一型、第二型曲面積分的計(jì)算、高斯公式、斯托克斯公式.本