2021上資格證數(shù)學科目三-理論精講-數(shù)學分析2-1.11-羅卿

1、課前答疑10min，回放的小伙伴請拉動，謝謝2021上教師資格證數(shù)學科目三數(shù)學分析2主講：羅卿回顧今日講解 極限余下內容 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點、一元函數(shù)微分學選sn +32+【例】lim（三）極限的求法05.洛必達法則P751cos 2【例】lim0P75選（三）極限的求法【例】 =5.洛必達法則 +P75（三）極限的求法1【例】lim i06.無窮小與無窮大（1）無窮小與無窮大的概念P75選 考點：兩個無窮小的比較6.無窮小與無窮大（2）兩個無窮小的比較在自變量同一變化過程（ 0 或 ）中，設limf(x)=0，limg(x)=0，且()lim = ，則有：()若 =0，稱 是比 高階的無窮

2、小若 ，稱 是比 低階的無窮小若 =c0，稱 與 是同階無窮小若 1，稱 與 是等價無窮小P76 考點：等價無窮?。ū常。?選6.無窮小與無窮大（3）常用等價無窮小P76So easyP77工具 考點：等價無窮?。ū常。?）常用等價無窮小-使用條件使用條件：整個式子中的乘、除因子可以用等價無窮小替換，加、減時不能用等價無窮小替換，部分式子中的乘、除因子也不能用等價無窮小替換。P76檢驗下聽課效果P77 無窮大與無窮小考點考點一：兩個無窮小的比較在自變量同一變化過程（ 0 或 ）中，設limf(x)=0，()limg(x)=0，且lim = （0， ，1，c（除0）()考點二：等價無窮小找與給

3、定函數(shù)是等價無窮小的函數(shù)利用等價無窮小求極限P78 考點小結應用漸近線的判定P78選（四）漸近線1.水平漸近線：2.垂直漸近線：P78練練才知道P78選+應用二、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（一）函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在一點連續(xù)的概念P79P80選+解答（一）函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在一點連續(xù)的概念注意：對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性的討論，應根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，滿足： 函數(shù)在該點有定義； 函數(shù)在該點的左極限=右極限=該點的函數(shù)值。P79P80了解（一）函數(shù)的連續(xù)性2.函數(shù)在區(qū)間內（上）連續(xù)的定義如果函數(shù) 在開區(qū)間(a, b)內的每一點都連續(xù)，則稱 在(a, b)內連續(xù)。如果 在開區(qū)間(a, b)內連續(xù)，在

4、區(qū)間端點a右連續(xù)，在區(qū)間端點b左連續(xù)，則稱 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)。P80應用（一）函數(shù)的連續(xù)性3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質定理1（有界性與最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。這就是說，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，那么存在常數(shù)M0，使得對任一x, ，滿足 () ；且至少有一點，使f()是f(x)在a，b上的最大值；又至少有一點，使f()是f(x)在a，b上的最小值。有界性定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必有界。P81應用3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質定理2（零點定理）：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f

5、(a)f(b)0），則在開區(qū)間（a，b）內至少有一點，使f()=0。P81應用3. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質定理3（介值定理）：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 f(a)=A及f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內至少有一點，使得f()=C（ab）。定理4（一致連續(xù)性定理）：如果 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)。P81 考點：涉及閉區(qū)間連續(xù)函數(shù) 應用y=f(x)的定理證明及應用 考點小結-與y=f(x) 相關的定理a,bf (x)前提：設在閉區(qū)間上連續(xù)， 使得 有界性定理： M 0, 對 f (x) M, x a,

6、b.m,M,使得m f (x) M,其中m,M分別為f (x)在a,b上的最小值、最大值. 最值定理：P81應用 考點小結-與y=f(x) 相關的定理a,b上連續(xù)，f (x)前提：設在閉區(qū)間若 則 零點定理： f (a) f (b) 0,使得 (a,b), f ( ) =0. 介值定理： f(a)=A及f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內至少有一點，使得f()=C（ab）。若m M,則 a,b,使得f ()=.P81（二）函數(shù)的間斷點及分類1.函數(shù)的間斷點的定義P81選（二）函數(shù)的間斷點及分類1.函數(shù)的間斷點的定義（左右極限都存在）（左右極限至少一個不存在）P82

7、選間斷點類型依據(jù)典型代表可去間斷點跳躍間斷點特征左極限=右極限左極限右極限第一類間斷點左極限右極限都存在該點函數(shù)極限（左或右）趨于無窮大無窮間斷點振蕩間斷點左極限、右極限至少一個不存在第二類間斷點在趨于該點時，函數(shù)值來回振蕩P82補充例題P8221【例】討論函數(shù) =間斷點的類型。23+補充例題P8221【例】討論函數(shù) =間斷點的類型23+211 +1+1解： =， = ，2為間斷點。lim = lim = ，23+1 11+1lim = lim = ，故 = 為可去間斷點， = 為無窮間斷點?？偨Y：分式中，先進行因式分解，上下可約去的多項式中的對應點為可去間斷點；上下約不掉且使分母等于0對應點

8、為無窮間斷點 小結一、導數(shù)的概念二、可導與連續(xù)的關系三、基本初等函數(shù)求導四、一階導數(shù)的應用五、二階導數(shù)的應用第二節(jié)一元函數(shù)微分學六、微分七、微分中值定理八、泰勒公式P83初中高中2016年下：142017年上：142018年上：3、112018年下：9、112019年上：52016201720182018年下：14年上：14年上：3，11年下：9、11Lorem ipsum dolor sit amet2019年上：52019年下：1、142019年下：1、142020年下：142020年下：5、（11）、14一、導數(shù)的概念（一）導數(shù)的幾何意義P83選（二）導數(shù)的定義P84定義式的小應用 (

9、)00 0 = lim0P84應用 考點：函數(shù)可導性判斷（三）左導數(shù)與右導數(shù)例： = P84 ( ) 應用00 0 = lim0（四）導函數(shù)的定義若 在(a，b)內每一點可導，則稱 在(a，b)內可導；若 在(a，b)內可導，且 與 都存在，則稱 在a，b上可導；+若 在區(qū)間I內每一點可導，則 在區(qū)間I內任一點的導數(shù)是x的函數(shù)，該函數(shù)稱為dy df(x)。 的導函數(shù)，記為 或 或 或dxdx ( ) 0 lim000P85選 考點：可導與連續(xù)的關系二、可導與連續(xù)的關系 () lim0例： = P851 , 【例】函數(shù) = A.連續(xù)且可導，則函數(shù)在 = 處（ ）。C.不連續(xù) D.不連續(xù)但可導, = B.連續(xù)且不可導工具三、基本初等函數(shù)求導（一）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常為零，冪降次，指不變，對倒數(shù)；P86工具（一）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式正變余，余反正，切割方，割乘切，反分式。P86（二）二階導數(shù)P87應用（三）求導法則P87練一練就會了 = P88應用（三）求導法則【例】已知 = ，求P87預習 第二節(jié) 導數(shù)剩余內容應用（三）求導法則P88應用（三）求導法則 = =1P89依葫蘆畫瓢你行的dy例：求由方程+xy-e=0所確