理論力學版本第7的合成運動

1、TheoreticalMechanics理論力學第二部分4牽連運動為轉動時點的加速度合成定理小球在圓盤的槽內以相對于Mvvrrvveevvaaaaa盤的勻速度 v 運動，同時圓盤以rrr勻角速度 e繞O軸轉動。以小球為動點，動系與圓盤固結。aeeaaaaaCC畫速度圖。O小球的速度大小為：va = ve + vr = e r + vr = 常量r2vr rea2ae又：rre( r v)2v 22v r 2 va2errarrraraeer?得：aeaear aCVector Product Expres Acceleration of the Pos of the Velocity ands

2、 of a Rigid Bodyz剛體內任一點的速度可用矢量積表示，在軸線上任選一點O為原點，動點M的矢徑為r，則RanOvMar r vddta M點的加速度即dda ( r ) r dtd ,vdtdt得： a r vv r加速度定理的理論推導zAzd1、求kjdttyrA設動坐標系為Oxy 繞定坐標系Oxy的 z 軸以角速度e轉動。先分析 k對 t 的導數(shù)，以矢端A點為對象OeirOxOxy ddk k) vv(r(AOOdttdtvA e rA e又：(rOe kk )vO(2)式(1)(2)得：di dk dt i ; je同理， kedtdte定理的理論推導（續(xù)1）加速度2、求：d

3、 vrdx ik)rt ( ddt2 xi yjzkxjkt2t2t2ttttttx kja(eeedttdt(djk )redtdtdtvra re即：dvr a vdtrer定理的理論推導（續(xù)2）加速度3、求：zzv eMdkejy設M點為動點，其矢徑為r當動系繞 z 軸以角速度 e轉動時，牽連速度（動系上與動點重合的那一點的速度）為：rrOeirOxOv ryxeedded式中：deeeetttdt r 是動點 M 的矢徑， va vevrdtv eder(vv r vveertdeeeera得：edv e a vdteer定理的理論推導（續(xù)3）4、 證明將速度dvaaa定理dveaea

4、r2erva = ve + vr 等式兩邊對時間 t 求導dvrdtdtd分別代入第1部分和第2部分的結果，便得：其中，aC 2e vr 科氏加速度上式表明：當動系為定軸轉動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度和科氏加速度的矢量和。aa aearaC科氏加速度的若干說明（1）可以證明上式對牽連運動為任意運動時皆成立，它是加速度定理的普遍形式。當牽連運動為平動時， e = 0， 導致aC = 0，一般式退化到平動時的特殊式。矢aC 垂直與 e 和 v r 組成的平面，指向按右手法則。aC 的大小為： aC = 2e vr sin其中 為 e 與 v r 兩矢量間的最小

5、夾角。evraCaC 2e vaa aearaC若干說明（2）科氏加速度的兩種特殊情況：aC = 01、下列情況導致a ) 前面提到的= 0，如剛體平動情形。evrb )v r = 0，如圖示機構在圖示瞬時。 (取銷為動點，動系與搖桿OA固結。)Azv eevav rc)e/ v raC如圖示繞 z 軸轉動的球體，其上一動點沿經向運動到0度緯線瞬時。v rOC e v科氏加速度的若干說明（3）2.evr這是工程中常見的情形，也就是動點在垂直于轉軸的平面內運動，此情況下 aC = 2 e v r ，顯然， aC 也在動點的運動平面內。其方向的確定采用“將相對速度 vr 順著牽連運動的轉向旋轉90

6、便是aC 的方向”。aC 方向的確定：“將相對速度 vr 順著牽連運動的轉向旋轉 90便是aC 的方向”。選桿上的 A 點為動點，動系與凸輪(Cam)固結。BBvaaCaCvrveAAveevavreOO科氏加速度的若干說明（4）科氏加速度是1832年由 速度在自然界有所表現(xiàn)。例如，在北半球，奧利（Coriolis）發(fā)現(xiàn)的?？剖霞觘河水時，河水的科vr氏加速度 aC 指向左側。aC由動力學知，河水必受到右岸對水 的向左的壓力。根據(jù)作用力與反作 用力定律，河水對右岸有反作用力。北半球的江河的右岸都受有較明顯的沖刷。m vrrr奧利，G. G.例11如圖，L 形桿以勻角速度繞O軸轉動，帶動沿固定直

7、桿AB運動。若選為動點，動系與 L 形桿固結。試分別畫出速度矢量圖和加速度矢量圖。arABvBvraCaeOOENDaMAMvraa圖示M為一小圓環(huán)，套在桿OA和固定的大圓環(huán)上，已知桿OA的角速度為。欲求M沿大環(huán)滑動的速度。veMvrva試回答下列問題：AM 為動點。（a） 選C動系固結在OA桿上。牽連運動是 OA桿的定軸轉動 ； 相對運動是 沿OA桿的直線運動；絕對運動是 沿大圓環(huán)的圓周運動；畫出速度平行四邊形。O（e） 畫出加速度圖。畫加速度圖atvevaaraAManevraCanaCaCOCO 圖示偏心輪以角速度繞O軸轉動，求從動桿O1M的角速度。O1Mve試回答下列問題：vavrO1

8、M桿上M（a） 選為動點。CO（b）動系固結在 偏心輪 上。e（c） 牽連運動是 偏心輪的定軸轉動；相對運動是 沿偏心輪輪廓的曲線運動 ；絕對運動是以O1M為半徑的圓周運動；（d） 畫出速度平行四邊形。（e） 畫出加速度圖畫加速度圖aCMO1vevaOvrCO1aeananaraneCOe例12圖示機構，半徑為R的輪A在水平直線上純滾，輪心 A的速度為 v（常量），固結于輪心的 A 銷可在 OB 桿的槽內滑動，選 A 銷為動點，動系固結于OB桿上，試在虛線圖上畫出 =30瞬時點 A 的速度圖和加速度矢量圖，并且求桿 OB 的角速度、A 點的相對速度、牽連速度、科氏加速度、牽連加速度和相對加速度

9、。BAvO已知速度 v(常量)， = 30, 求OB、vr、 ve 、aC 、 ae 、 ar。B解：先進行速度分析。選A銷為動點，OB桿為動系，則va = vAv由 va = ve + vr ,得O= v sin avr= va cos vaA桿OB的角速度：ve v sin 30OA2ROBv4Rvev2vr v2veBvr再進行加速度分析。由加速度定理aAOBOaa式中aaveeCe OaatR3 v2;2 vaCer4R投影分別向 aeaeaarr將aaaraCaaeeaaaaaaanaAernanaee0aeCENDaa3 veC4RaaCCv2a 8Rnv2eOAOB8Rv已求得

10、v r2在圖示機構中，設凸輪以勻角速度 轉動，圖示例13瞬時OA = r ，凸輪輪廓線在 A點的法線An與OA的加夾角為，曲率半徑為 。求此瞬時頂桿平動的速度及加速度。解：以桿AB上的A點為動點，動系與凸輪固結。1、求速度B由 va = ve + vrvvvvvaaarr= r vAevv ee recosvrcosOn（注意：盡管 為常量，dvr / dt 0）但，va = r tan 2、求加速度由ra a*)aeC式中aC2B2va r2ereaaaavaaCCrr 222vnAar r cos2 arrraaanneeerrn將(*)式向法線An方向投影，得Oaoso anaaeCaa

11、n得 aarCcos即aeENDrCrnaet22a (cos2 cos3 )r已求得 v rco解：1. 先求搖桿O1B的角速度1vEeB選銷 A點為動點，動系與搖桿O1B固結。vEa由vvEErAaAeArvvvAa vAa s n 式中 vAa= r， vAe2lvArvAe3v1Aa cos vAr 1 AeO1 AAOl選銷 E 點為動點，動系與搖桿O1B固結。1 vEevEavEr由O1式中 vEe= O1B 1=4r sin2 =r，vEe3 r r3v vtaEaErEecos3已知曲柄OA= r ， ， = 30。求搖桿O1B的角加速度 1 和刨枕的加速度aE 。2. 求搖桿

12、O1B的角加速度 1選銷 A 點為動點，動系與搖桿O1B固結。BE由(*)aer2eCR2 O A式中an2arAaaCe118322aC1ArO4aaeae將(*)式向方向投影，得O13 r2a cos a aeaCe41e(方向與圖示相反)負號說明ae桿O B的角加速度1O A1328 已求得 1 v3 rv3 r1Ar2Er3aaaearEB3.求刨枕的加速度aE選銷 E 點為動點，桿O1B固結。動系與anaeC(*)由aee O E CA2r2an式中Oe4 321 O1a O E 2re111 3 ra2vC1Er6a c s a將(*)式向方向投影，得aeC23解得 a2即刨枕的加

13、速度aEnd2 2E31332已求得 1vEr 318 例14繞軸O轉動的圓盤及直桿OA均有一導槽，兩導槽間有一活動銷子C，b = 0.1m。已知圓盤以勻角速度 1 =10 rad/s，直桿OA以勻角速度2=4 rad/s分別繞 O軸轉動。求 = 30時，銷子 C 相對圓盤和相對直桿的速度；銷子C 的加速度。A2CbO1通過運動分析，幫助理解將桿與輪分開但同時研究。1、求速度已知： = 30 ，b=0.1m， 1= 10 rad/s ， 2 = 4rad/s選銷 C 為動點，分別將動系固結在桿上和輪上。有(1)(2)vr 2vCve2合并式(1)、式(2)得v ve2ve1vr 2(3)1，1

14、CvvCvrr22r1bvee22vee1OO分別將式(3)向y軸和軸投影2b 2b 1 123(v; v)y :ve1e22ee222ve1233ve2225( )4b12333 :vvve1re222(ve1 ve2 )4b (458b1330.8m s)vr10.4(m s)vr 2 = 302yCCr 2ebe 2OOx2、求加速度4 ;52 ;52b 20 ;2622vvaar1r 2e11e2233353 16a 2 v 16; 2 vaC11r1C225與求速度同理，下式ae1 + ar1 + aC1 = ae2 + ar2 + aC221CeraaCC112aar 2aar 2

15、aaCC22Crr11yCvvaee22 vvrr22aaee11rr11bOOx = 3020 ;a3a C1 = 16 ；a=16/5。C2將 ae1 + ar1 + aC1 = ae2 + ar2 + aC2向軸投影：483 a1 a2266得 a （aC 2 2 aC1 ) ) 2arC1C 2r122333為了求銷C的加速度，選輪與銷為研究對象銷C的加速度可以分解成x、y向的兩矢量， aa = aax + aay則將 aax +aay= ae1 + ar1 + aC1分別向 x 軸和 y 軸投影aC12a1r 2aar1C 2CyCae 2ae1bOOx48202a ax :aax r1e1253 362353 a0 6y :aaa y C1e1242704a2a236ax a y7575END6 004(/s2 )aaC12aCr1yCae1bOOxa20 ;a C1 = 16a483r15本章小結1、點的絕對運動是點的牽連運動和相對運動的結果。動點相對與定參考系的運動為絕對運動；動點相對與動參考系的運動為相對運動；動參考系相對與定參考系的運動為牽連運動2、點的速度va = ve + vr定理va動點在絕對運動中的速度（絕對速度） vr