質(zhì)系動量矩(理論力學(xué)課件)

1、 動 量 矩 定 理 由前一章知，當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時，vC=0，其動量恒為零，質(zhì)心無運(yùn)動，但質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。 動量定理揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動量變化與外力主矢的關(guān)系；質(zhì)心運(yùn)動定理揭示了質(zhì)心運(yùn)動與外力主矢的關(guān)系。但不是質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動的全貌。 如圖示一繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上時，如果外界通過力的作用傳遞了機(jī)械運(yùn)動量給它，使它繞Z 軸作定軸轉(zhuǎn)動，但其質(zhì)心都是始終不動的（因質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)軸是不動的），因而剛體的動量： 引入另一個在轉(zhuǎn)動問題中能描述機(jī)械運(yùn)動特征或能度量所傳遞的那一部分機(jī)械運(yùn)動的物理量動量矩。 本章要介紹的動量矩定理，動量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的

2、動量矩的改變與外力對同一點(diǎn)(軸）之矩兩者之間的關(guān)系，從另一個側(cè)面揭示出質(zhì)點(diǎn)系對于某一點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律 開普勒在研究行星繞日運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)行星沿其軌道運(yùn)行時，雖然速度（或動量）不斷的變化，但行星動量的大小與動量所沿直線到日心的距離的乘積都保持不變，即有：=常量 對于不同的行星，此常量的值也不同。 行星動量的大小與動量到太陽中心的距離的乘積可用以描述行星運(yùn)動的特征，該乘積稱為動量矩。 動量矩也是度量物體機(jī)械運(yùn)動的傳遞量。13.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動量矩1. 定義 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M某瞬時的動量為mv，質(zhì)點(diǎn)相對于點(diǎn)O的位置用矢徑r表示，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)M對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩，即一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩(13.1

3、)(13.1)質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩是矢量，它垂直于矢徑r與mv所形成的平面，指向按右手法則確定，3.大小為2. 指向 質(zhì)點(diǎn)動量在Oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動量對于z 軸的矩，簡稱對于z 軸的動量矩。對軸的動量矩是代數(shù)量， Mo(mv)zMz(mv) （13.2a） 5.單位 kgm2/s4.投影 動量矩在三個坐標(biāo)軸上投影：直角坐標(biāo)系如圖，并以x、y、z和mvx、mvy、mvz分別表示質(zhì)點(diǎn)的矢徑和動量在三個坐標(biāo)軸上的投影，則：于是，動量對O點(diǎn)之矩在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為： 與力對軸之矩相仿，也可把動量在垂直于某軸的平面上的分量對此平面與該軸交點(diǎn)之矩稱為動量對該軸之矩

4、。 動量對軸之矩也是代數(shù)量，其正負(fù)號也按右手螺旋法則確定。動量對x、y、z軸之矩的解析表達(dá)式為： 動量對某點(diǎn)之矩在通過該點(diǎn)的任一軸上的 投影等于動量對該軸之矩。 動量對某點(diǎn)之矩與動量對通過該點(diǎn)的任一軸之矩的關(guān)系： 與力對點(diǎn)之矩和力對通過該點(diǎn)的軸之矩之間的關(guān)系完全相同。 解：例1 滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑輪B：m2，R2，J2 ；物體C：m3 求系統(tǒng)對O軸的動量矩。二 、動量矩對時間的變化率 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，動量對空間某固定點(diǎn)O之矩也隨時間而變，動量矩對時間的變化率為：即質(zhì)點(diǎn)動量對空間某固定點(diǎn)之矩對時間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩，這稱為質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理。三

5、動量矩定理：四 動量矩定理的投影形式：某矢量變化率的投影等于其投影的變化率。 質(zhì)點(diǎn)動量對某固定軸之矩對時間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對同一軸之矩，這稱為質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩定理。五 特殊形式的討論（1） 若在整個運(yùn)動過程中， F=0 或F 的作用線過矩心，即：質(zhì)點(diǎn)受到一個恒指向某一固定點(diǎn)的力，該力稱為有心力。此時：即作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對某點(diǎn)之矩為零，質(zhì)點(diǎn)的動量對該點(diǎn)的動量矩守恒。（2）如在運(yùn)動過程中，有即若作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對某軸之矩為零， 則質(zhì)點(diǎn)的動量對該軸的動量矩守恒。動量矩定理的應(yīng)用 動量矩定理建立了力矩與動量矩的關(guān)系。 在非自由質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的約束反力始終通過某一固定點(diǎn)或甚至與

6、一固定軸共面（相交和平行）時，則可應(yīng)用對該點(diǎn)和對該軸的動量矩定理建立不含約束反力的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程。 求解微分方程以求出需要的結(jié)果。例 試用質(zhì)點(diǎn)動量矩定理推導(dǎo)數(shù)學(xué)擺作微幅擺動時的 運(yùn)動微分方程，并討論數(shù)學(xué)擺的運(yùn)動。 數(shù)學(xué)擺是用一根質(zhì)量不計(jì)的繩懸掛一質(zhì)量為 m的小球，懸于固定點(diǎn)O上，并使小球能保持在通過點(diǎn)O的某一鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動，其運(yùn)動的軌跡為以 O為圓心，繩長為半徑的一段圓弧，這樣一個系統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)擺。運(yùn)動分析：解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。（4）建立運(yùn)動微分方程： 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對軸的動量矩定理，有：故得單擺的運(yùn)動微分方程為：力矩：FT始終通過O并與z軸相交，對 z軸之矩為0。（5）解

7、微分方程得單擺的運(yùn)動微幅擺動：上式改寫為：二階線性齊次常微分方程的特征方程為：特征方程的解為共扼復(fù)根，可解微分方程得：擺的運(yùn)動規(guī)律式中：及為積分常數(shù)，其值由初始條件確定。（6） 運(yùn)動的討論：質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動方程為； 即質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動時，其位置坐標(biāo)是時間t的函數(shù)，這種按照正、余弦規(guī)律變化的函數(shù)，稱為簡諧函數(shù)，因此M點(diǎn)的運(yùn)動就稱為簡諧運(yùn)動。簡諧運(yùn)動的特征：其位置坐標(biāo) 隨時間呈周期性的變化，是質(zhì)點(diǎn)（擺）偏離平衡位置（或振動中心）的最大距離，稱為振幅。O稱為振動中心。t+稱為位相角；是確定質(zhì)點(diǎn)位置的參變量；稱為初位相；質(zhì)點(diǎn)初瞬時（t=0)的相位角。 質(zhì)點(diǎn)M 往復(fù)運(yùn)動一次（振動一次）又回到原來的位置，并具有原來

8、運(yùn)動相同的運(yùn)動方向所需要的時間稱為周期，以T 表示本題中：注：計(jì)算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動量矩定理的應(yīng)用：在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動的問題。周期的倒數(shù)1T稱為頻率，記為f，表示每秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù)；頻率的單位為：1/s，即：Hz；圓頻率表示在2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù)，單位為Hz。本題中：質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理1. 質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩L0 2. 質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動量矩Lz ， Lz等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即L0等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的動量矩的矢量和，或稱為質(zhì)點(diǎn)系動量對點(diǎn)O的主矩，即3 .剛體上任一點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸 的動量矩為：4. 剛體對轉(zhuǎn)軸

9、的動量矩為：剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩Jz剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量， 當(dāng)剛體一定、轉(zhuǎn)軸一定時， Jz是定值。如果不計(jì)軸承中的摩擦，軸承反力對于軸的力矩等于零，2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理i =1,2,n ; n個方程相加，有n個質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動量矩定理有由于于是 上式表明質(zhì)點(diǎn)系對于某定點(diǎn)O 的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和，（外力對點(diǎn)O 的主矩）稱為質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理，其投影式為： 3動量矩守恒定理 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某定點(diǎn)O的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的動量矩保持不變，即作用于質(zhì)點(diǎn)的力對某定軸的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對該軸的動量矩保持不變，即以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律同理，當(dāng)外力對某定

10、點(diǎn)（或某定軸）的主矩等于零時，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)（或該軸）的動量矩保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律。另外，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩。（3）內(nèi)力： 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩的改變僅與外力有關(guān)，與內(nèi)力無關(guān)，只有外力才能引起質(zhì)點(diǎn)系動量矩的改變。（4）討論：如果FR=0，或者M(jìn)z(FR)0 ，則： Lzct(常量)，即：若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的全部外力對某固定軸之矩的代數(shù)和為零，則該質(zhì)點(diǎn)系對同一軸的動量矩保持不變，這稱為質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩守恒定理。 動量矩定理用于研究轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué)問題中，具有極為重要的意義和作用。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程研究對象： 繞定軸z轉(zhuǎn)動的剛體。如圖：2 . 剛體上任一點(diǎn)的動量

11、： 某瞬時，剛體的角速度為，剛體上任一點(diǎn)Mi，其質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的距離為ri，在此瞬時質(zhì)點(diǎn)的速度大小為vi=ri，垂直于z軸的平面，并與ri正交，故其動量為：mivi=mi ri3 .剛體上任一點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的動量矩為：4. 剛體對轉(zhuǎn)軸的總動量矩為：令：稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量，因m、ri均為定值, 所以，在轉(zhuǎn)軸確定的情況下，轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)。即：定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。 故有：稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量，因m、ri均為定值所以，在轉(zhuǎn)軸確定的情況下，轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)。 該方程表明，剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積等于作用于剛體上的外力對轉(zhuǎn)軸的主矩。

12、5.轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分方程已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律；已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。特殊情況： 若外力矩恒為零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止； 若外力矩為常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。 將 比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量的大小體現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度，是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動主要解決兩類問題：x點(diǎn)的位置坐標(biāo)。f亦起坐標(biāo)作用，確定剛體位置。Fx力：使質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動產(chǎn)生加速度的原因。Mz力矩：使剛體繞定軸轉(zhuǎn)動產(chǎn)生角加速度的原因。 反映運(yùn)動快慢的變化。 反映轉(zhuǎn)動快慢的變化。6、比較m表示平動剛體（質(zhì)點(diǎn)）的慣性。Jz表示

13、轉(zhuǎn)動剛體的慣性。7.內(nèi)力：內(nèi)力成對出現(xiàn)，不影響剛體運(yùn)動的動量矩。剛體作勻角加速轉(zhuǎn)動；剛體作勻角速轉(zhuǎn)動（2）如果：8. 討論：（1）如果 芭蕾舞演員以單腳尖著地，而繞通過該腳尖的鉛垂軸轉(zhuǎn)動時，外力（重力和地面的支承力）對轉(zhuǎn)軸之矩為零，故人體對該轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，這時，演員可借伸張或收縮雙臂與另一腿以改變對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，從而可以收到減小或增大其轉(zhuǎn)速的效果。實(shí)例運(yùn)動分析： ，由動量矩定理即解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。例2 圖示單擺已知m，l，t =0時= 0，從靜止開始釋放。 求單擺的運(yùn)動規(guī)律。注：計(jì)算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動量矩定理的應(yīng)用：在

14、質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動的問題。微幅擺動時，并令解微分方程,并代入初始條件擺動周期則則運(yùn)動方程解：例1 滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑輪B：m2，R2，J2 ；物體C：m3 求系統(tǒng)對O軸的動量矩。解: 取整個系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示。 運(yùn)動分析： v =r由動量矩定理：例3 已知: 例: 通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動部分以初角速度0開始轉(zhuǎn)動，它所受 空氣的阻力矩的大小 與角速度成正比，|M|=，其中，為比例系數(shù)，如轉(zhuǎn)動部分對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，問經(jīng)過多少時間后，其轉(zhuǎn)動角速度減小為初角速度的一半？又在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動部分的轉(zhuǎn)動微分方程為：分離變量：積分得

15、：初0，阻力矩|M|=，轉(zhuǎn)動部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，經(jīng)過多少時間角速度 0/2 ？共轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？初始條件：代入上式得：故有：轉(zhuǎn)動角速度減小為初角速度的一半所經(jīng)過的時間T為： 欲求在此時間內(nèi)所轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)數(shù)，可將轉(zhuǎn)動微分方程改寫為：從而有：轉(zhuǎn)動部分所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)角為：相應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)為：例 題已知，A與B兩飛輪軸桿由摩擦嚙合器連接。A輪的轉(zhuǎn)動慣量為 J1=10kg.m2， 軸承處摩擦不計(jì)，開始時B輪靜止，A輪以n1=600r/min轉(zhuǎn)動，然后使A與B結(jié)合，因而B輪得到加速度而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n2=200r/min為止，求（1）B輪的轉(zhuǎn)動慣量、（2）在嚙合過程中A輪損失的動量矩。9、Lz的作用 舉

16、例說明：根據(jù)系統(tǒng)的動量矩守恒，有 則B輪的轉(zhuǎn)動慣量為 角速度為J1=10kg.m2，J2= ？ kg.m2， n1=600r/min， n2=200r/min 解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，因?yàn)檎麄€系統(tǒng)不受外力矩，所以對轉(zhuǎn)動軸的動量矩守恒。（2）系統(tǒng)在嚙合過程中 A輪損失的動量矩恰好等于B 輪獲得的動量矩。J1=10kg.m2，n1=600r/min， n2=200r/min顯然 例6 圖示傳動系統(tǒng)中，主動輪半徑為R1，對于其轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為J01，以從動輪半徑為R2，鼓輪半徑為r并與從動輪相固結(jié)成為一剛體，從動輪連同鼓輪對于其轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為J02，鼓輪外繞一繩，繩端系一質(zhì)量為m的物體。 若

17、在主動輪上作用一不變力矩M，設(shè)軸承處摩擦和繩質(zhì)量不計(jì)，求重物的加速度。解：1、先取主動輪討論 受力分析：m1g、Fx1、Fy1、M、F、FN 建立剛體轉(zhuǎn)動微分方程 J1a1MFR1（1）2、再取從動輪連同重物一 起討論受力分析： m2g、 Fx2、Fy2、 mg、 F、 FNdL2 dt= (J2+mr2)a2M2(F)FR2mgr由dL2 dt=M2(F)有(J2+mr2)a2FR2mgr（2）2、從動輪連同重物一起討論建立質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理 L2 =J2w2+mvr=( J2+mr2)w2（1）、（2）兩式中有 FF， R1a1R2a2，令 k=a1a2R2R1J1a1MFR1 （1）(J2+mr2)a2FR2mgr（2）整理得J1a1MFR1 （1）(J2+mr2)a2FR2mgr（2）R1a1R2a2，k=a1a2R2R1(k2J1 J2mr2)a2kMkFR1FR2mgra2(kMmgr)(k2J1 J2mr2)=ct由于ra2a，可求得重物上升的加速度 a(MrR2R1mgr2)(R22J1+ J2 R12+mr2R12)例題（參見習(xí)題13.14）用落體觀察法測量飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，是將半徑為R 的飛輪支承在O點(diǎn)上，然后在繞過飛輪的繩子一端掛上一質(zhì)量為m的重物，