高中數(shù)學(xué)必修二 第六章測(cè)評(píng)

1、第六章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若ab,則a+b=()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)答案A解析ab,2(-2)-x=0,x=-4.a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.在ABC中,若A=60,BC=43,AC=42,則角B的大小為()A.30B.45C.135D.45或135答案B解析由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,則sin B=ACsinABC=42sin6043=22

2、.因?yàn)锽CAC,所以AB,而A=60,所以B=45.3.(2018全國高考)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.4.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120,則ABC的面積為()A.33B.233C.3D.23答案C解析將c2=a2+b2-2abcos C與(a+b)2-c2=4聯(lián)立,解得ab=4,故SABC=12absin C=3.5.在ABC中,若其面積為S,且ABAC=23S,則角A的大小為()A.30B.60C.120D.150答

3、案A解析因?yàn)镾=12ABACsin A,而ABAC=ABACcos A,所以ABACcos A=2312ABACsin A,所以tan A=33,故A=30.6.(2018全國高考)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.7.在ABC中,AB=3,AC=2,若O為ABC內(nèi)部的一點(diǎn),且滿足OA+OB+OC=0,則AOBC=()A.12B.25C.13D.14答案C解析

4、由OA+OB+OC=0可知O為ABC的重心,于是AOBC=13(AB+AC)(AC-AB)=13(AC2-AB2)=13.8.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=7,C=3,則ABC的面積是()A.334B.736C.213D.334或736答案D解析sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,2sin Bcos A=6sin Acos A.當(dāng)cos

5、A=0時(shí),A=2,B=6.又c=7,所以b=213.由三角形的面積公式,得S=12bc=736;當(dāng)cos A0時(shí),由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根據(jù)正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=a2+9a2-76a2=cos3=12,解得a=1,b=3,所以此時(shí)ABC的面積為S=12absin C=334.綜上可得ABC的面積為736或334,故選D.二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列說法錯(cuò)誤的是(

6、)A.ABCD就是AB所在的直線平行于CD所在的直線B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C.零向量的長(zhǎng)度等于0D.共線向量是在同一條直線上的向量答案ABD解析ABCD包含AB所在的直線與CD所在的直線平行和重合兩種情況,故A項(xiàng)錯(cuò);相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等,還要求方向相同,故B項(xiàng)錯(cuò);按定義,零向量的長(zhǎng)度等于0,故C項(xiàng)正確;共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故D項(xiàng)錯(cuò).10.(2019山東濟(jì)南高一期末)對(duì)于任意的平面向量a,b,c,下列說法錯(cuò)誤的是()A.若ab且bc,則acB.(a+b)c=ac+bcC.若ab=ac,且a0,則b=cD.(ab)c=a(bc)答案ACD解析

7、對(duì)于A,b=0,命題不成立;對(duì)于B,這是平面向量數(shù)乘的分配律,顯然成立;對(duì)于C,若a和b,c都垂直,顯然b,c至少在模的方面沒有特定關(guān)系,所以命題不成立;對(duì)于D,如圖,若a=AB,b=AC,c=AD,則(ab)c與a(bc)是一個(gè)分別和c,a共線的向量,顯然命題(ab)c=a(bc)不成立.故選ACD.11.(2019福建廈門外國語學(xué)校高一月考)已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列四個(gè)命題中正確的是()A.若acosA=bcosB=ccosC,則ABC一定是等邊三角形B.若acos A=bcos B,則ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,則ABC一定

8、是等腰三角形D.若a2+b2-c20,則ABC一定是銳角三角形答案AC解析由acosA=bcosB=ccosC,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,所以ABC是等邊三角形,A正確;由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=,ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正確;由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,則A=B,ABC是等腰三角形,C正確;由余弦

9、定理可得cos C=a2+b2-c22ab0,C為銳角,A,B不一定是銳角,D不正確,故選AC.12.(2019山東煙臺(tái)高一期末)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,則下列結(jié)論正確的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是鈍角三角形C.ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若c=6,則ABC外接圓半徑為877答案ACD解析因?yàn)?a+b)(a+c)(b+c)=91011,所以可設(shè)a+b=9x,a+c=10 x,b+c=11x(x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,

10、所以A正確;由上可知:c邊最大,所以三角形中C角最大,又cos C=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)224x5x=180,所以C角為銳角,所以B錯(cuò)誤;由上可知a邊最小,所以三角形中A角最小,又cos A=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)226x5x=34,所以cos 2A=2cos2A-1=18,所以cos 2A=cos C.由三角形中C角最大且C角為銳角可得:2A(0,),C0,2,所以2A=C,所以C正確;由正弦定理得2R=csinC,又sin C=1-cos2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正確.故選ACD.三、填空題

11、(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2019全國高考)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-5b,則cos=.答案23解析a,b為單位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=ac|a|c|=213=23.14.已知ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=4,c=2,B=60,則b=,C=.答案2330解析在ABC中,因?yàn)閍=4,c=2,B=60,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-242cos 60=12,所以b=23,又由正

12、弦定理,得sin C=csinBb=2sin6023=12,又由cb,所以C0).則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1),s

13、in Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.20.(12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因?yàn)閟in A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因?yàn)閏osB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由

14、題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,從而38SABC32.因此,ABC面積的取值范圍是38,32.21.(12分)已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證:(1)BECF;(2)AP=AB.證明如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)

15、=(-1,2),CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),BECF=(-1)(-2)+2(-1)=0,BECF,即BECF.(2)設(shè)P(x,y),則FP=(x,y-1),CF=(-2,-1).FPCF,-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由BPBE,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=65,y=85,即P65,85.AP2=652+852=4=AB2,|AP|=|AB|,即AP=AB.22.(12分)要將一件重要物品從某港口O用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻

16、速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最短,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短時(shí)間內(nèi)與輪船相遇,并說明理由.分析解決解三角形的應(yīng)用題時(shí)首先要根據(jù)題意畫出示意圖,然后把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊角計(jì)算問題.解(1)(方法一)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s,則s=900t2+400-230t20cos(90-30)=900t2-600t+400=900t-132+300,故當(dāng)t=13時(shí),smin=103海里,v=10313=303,即小艇以303海里/時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最短.(方法二)若相遇時(shí)小艇的航行距離最短,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向?yàn)檎狈较?設(shè)小艇與輪船在C處相遇,如圖所示.在RtOAC中,OC=20cos 30=103,AC=20sin 30=10,又AC=30t,OC=vt,所以t=1030=13