2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：幾率分布+

1、幾率分布 (1) 粒子在原點出現(xiàn)的幾率要么最大（n偶），要么為0（n為奇）(3) 當n越大時，其幾率密度分布與經(jīng)典幾率密度分布越來越接近，當n時，量子和經(jīng)典無差別，這也表現(xiàn)當量子數(shù)很大時，量子體系過渡到經(jīng)典情況。(2) 粒子可在經(jīng)典禁區(qū)中出現(xiàn)幾率分布 -22-44|10|2n()n=2n=1n=0-11-1 0 10()例 電子被關(guān)在具有理想反射壁的三維 勢阱中，求電子的能級和波函數(shù)。 本例題的目的是介紹分離變量法xyz按題意，相當于電子處在下列勢場中：0 0 xa,0yb,0zcx0，xay0，ybz0，zc勢阱外：U, 而有限，勢阱內(nèi)：U=0, Schrodinger方程為分離變量法令則有

2、兩邊同除則有ExEyEz分別僅與x、y和z有關(guān)的項相加等于常數(shù)，要成立只有這三項都必須為常數(shù)。0 xa (1)0ya (2)0za (3)對方程(1),其解為同理，對方程(2)ny1，2，3同理，對方程(3)nz1，2，3最后我們有阱內(nèi)0 阱外例. 求三維諧振子能級 和本征函數(shù)。本例題目的是利用一維諧振子已知結(jié)論來討論其它問題解： （1）三維諧振子 Hamilton 算符（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征函數(shù)和本征值為：則波函數(shù)三方向的分量 分別滿足如下三個方程：如果系統(tǒng) Hamilton 量可以寫成 則必有：例 荷電 q 的諧振子，受到沿 x 方向外 電場 作用，求能量本征值和本征函數(shù)

3、。本例題目的是利用一維諧振子已知結(jié)論來討論其它問題受沿 x 方向外電場作用的帶電諧振子的勢能可表示為：相應(yīng)的Schrodinger方程可寫成解：帶電粒子在電場中所受到的作用勢對應(yīng)于不同的n 或不同的，厄米方程的解為 Hn()， Hn()稱為厄米多項式，可表示成： (6)其最高次冪是n，其系數(shù)為 兩個遞推公式因此我們可得到線性諧振子的波函數(shù)為歸一化系數(shù)利用得到諧振子的能量取分立值：原因是：在本問題中，粒子在原點附近作簡諧振蕩，由于諧振子的勢能U(x)，當x趨于無限大，即 因此，粒子不可能出現(xiàn)在無限遠處。結(jié)論：諧振子問題屬于束縛態(tài)問題。a. 能量量子化一般而言，只要是束縛態(tài)，其能級肯定是分立的。b. 均勻分布的能級c. 不為零的基態(tài)能量由 ，可知相鄰能級間的間隔這正是planck當初的假設(shè)！經(jīng)典能量量子在本問題中，基態(tài)對應(yīng)于n0的情況。當n0時， 典型的量子效應(yīng) ！d. 和經(jīng)典諧振子的比較經(jīng)典力學(xué)中，粒子在x范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率粒子通過x所需要的時間 粒子在x范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率 0X經(jīng)典力學(xué)中粒子在原點x0處出現(xiàn)的幾率最小。（因為