復(fù)變函數(shù)與積分變換期末考試試卷A及答案

1、- .復(fù)變函數(shù)與積分變換.期末試題A 答案及評分標(biāo)準(zhǔn).復(fù)變函數(shù)與積分變換 .期末試題A一填空題每題 3 分,共計(jì) 15分11i3的 幅 角 是 32k,k0 ,12； 2.Ln1i的 主 值 是21ln23i；3. fz 112,f500 ；. -1；24z4z0是zsinz的一級 極點(diǎn)；5fz 1,Re s fz ,z4z二挑選題每題3 分,共計(jì) 15分1解析函數(shù)fzux,yivx ,y的導(dǎo)函數(shù)為B ；Afz uxiuy； Bfz uxiuy；Cfz uxivy； Dfz uyivx. 2C 是正向圓周z3,假如函數(shù)fz D ,那么Cfz d z0Az32；B3 z1 ； C3 z1 ； D

2、z32z2z2 22.word.zl.3假如級數(shù)n1c nzn在z2點(diǎn)收斂,那么級數(shù)在C Az2點(diǎn)條件收斂；Bz2 i點(diǎn)肯定收斂；Cz1i點(diǎn)肯定收斂；Dz12i點(diǎn)肯定發(fā)散以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 B A假如函數(shù)f z 在0z 點(diǎn)可導(dǎo),那么fz在z 點(diǎn)肯定解析；- - .B 假如 f z 在 C 所圍成的區(qū)域內(nèi)解析,那么 C f z dz 0C假如 C f z dz 0,那么函數(shù) f z 在 C 所圍成的區(qū)域內(nèi)肯定解析；D 函數(shù) f z u x , y iv x , y 在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u x , y 、v x , y 在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是D A 為 sin 1

3、 的可去奇點(diǎn)；B 為 sin z 的本性奇點(diǎn)；zC 為sin 11 的孤立奇點(diǎn) ; D 為sin 1z 的孤立奇點(diǎn) .z三按要求完成以下各題每題10 分,共計(jì) 40 分1設(shè)fz x2axyby2icx2dxyy2是解析函數(shù),求a,b,c,d.2運(yùn)算Cz z e1 2dz其中 C 是正向圓周：z2；z3運(yùn)算z3 12 z15 z4 z3d z22 4函數(shù)fz z 2 z1 z2 3z3 2在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么類型的奇sinz 3點(diǎn)？,假如有極點(diǎn),請指出它的級. 四、此題 14分將函數(shù)fzz1 2 z1 在以下區(qū)域內(nèi)綻開成羅朗級數(shù)；10z11,20z1,31z五此題 10分用 Laplace變換求

4、解常微分方程定解問題- yx 5yx 14y x ex.word.zl.y0y0六、此題 6 分求ftet- 0.的傅立葉變換,并由此證明：0cost2d2et2三按要求完成以下各題每題10 分,共 40 分 1 設(shè)fz x2axyby2cicx2dxyy2是 解 析 函 數(shù) , 求a,b,c,d.2cxdy,解：由于fz 解析,由 C-R 條件uvuvxyyx2xaydx2yax2 bya2 d2,a2 c,2 bd,1 b,1給出 C-R 條件 6 分,正確求導(dǎo)給 2 分,結(jié)果正確 2 分；2運(yùn)算Czz e2zdz其中 C 是正向圓周：1 解：此題可以用柯西公式 僅給出用前者運(yùn)算過程柯西高

5、階導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)算也可用留數(shù)運(yùn)算洛朗綻開運(yùn)算,由于函數(shù)fz zz ez在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z 10,z21,分別以z 1,z221為 圓 心 畫 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圓c1,c2且 位 于c內(nèi)Czez2zdzC1zz e2dzC2zz e2dz1z1z1.word.zl.2iz ez12izez2z02i1 z- - .無論采納那種方法給出公式至少給一半分,其他酌情給分；153z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z解：設(shè) f z 在有限復(fù)平面內(nèi)全部奇點(diǎn)均在：z 3,由留數(shù)定理15z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z 2 i Re s f z , -5 分

6、2 i Re s f 1 12 -8 分z z1 15f 1z z 12 1z 12 2 z 2 1z 4 3 z 121 1 1f 2 2 2 4 3 有唯獨(dú)的孤立奇點(diǎn) z 0,z z z 1 z 2 z 1 1 1 1 1 1Re s f z z 2 0, lim zf z z 2 lim 1 z 2 2 2 z 41 3 115z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z 2 i-10 分2 3z z 1 z 2 2 4函數(shù) f z 3 z 3 在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么類型的奇sin z 點(diǎn)？,假如有極點(diǎn),請指出它的級 . 解：2 3 2f z z z 1 z 2 3 z 3 的奇點(diǎn)為

7、z k , k 0 , ,1 2 , ,3,sin z 1z k , k 0 , 1 , 2 , 3 , 為（sin z）0 的三級零點(diǎn),2z 0,z 1 , 為 f z 的二級極點(diǎn),z 2 是 f z 的可去奇點(diǎn),3z 3 為 f z 的一級極點(diǎn),4z 2 , 3 , 4,為 f z 的三級極點(diǎn)；5為 f z 的非孤立奇點(diǎn)；- .word.zl.- .朗級數(shù)；備注：給出全部奇點(diǎn)給5 分 ,其他酌情給分；四、此題 14分將函數(shù)fzz1 2 z1 在以下區(qū)域內(nèi)綻開成羅 10z11,20z1,31z解：1當(dāng)0z11fz z211 z11z11z1而z11 n01n z1 n11 nnz1n1n0f

8、zn01n1nz1 n2-6 分2當(dāng)0z1fzz211 z21z =1n0nzz1z2n0zn2-10 分3當(dāng)1zfz 2 z11 3 z11 zz1fz1n01nn0z13-14 分z3zn每步可以酌情給分；五此題 10分用 Laplace變換求解常微分方程定解問題：- yx 5yx4yx ex.word.zl.y 0 1y0 1解：對yx的 Laplace變換記做Ls - .,依據(jù) Laplace變換性質(zhì)有s2Lss15sLs 1 4Lss11 5 分整理得Ls s1 s111 s4 s116 1115 14 s11 7 分10 s1ss15110 s16 s115 s4 yx1ex5ex

9、1e4x 10分10615六、6分求ftet0的傅立葉變換,并由此證明：cos02t2d2et解：Feitetdt0-3 分F0eitetdt0eitetdt0 0eitdt0eitdt0 eit0eit0 ii0F1i1i220 -4 分2ft1eitFd0 - -5 分21eit22d0 22122costisint d0.word.zl.- f200cost2disin- .td0 t2220cost2d0,2-6 分2cost2d2et.期末試題2.復(fù)變函數(shù)與積分變換一填空題每題3 分,共計(jì) 15分二112i 的幅角是2xy； 2.Lni的主值是 ； 3. a= ,fz x22xyy2

10、i2 axy2在 復(fù) 平 面 內(nèi) 處 處 解析 4z0是zsinz的；極點(diǎn)； 5fz 1,zz3Res fz ,二挑選題每題3 分,共計(jì) 15 分1解析函數(shù)fz ux,yivx,y的導(dǎo)函數(shù)為；.word.zl.Afz uyivx； Bfz uxiuy；dz0Cfz uxivy； Dfz uxiuy. 2C 是正向圓周z2,假如函數(shù)f z ,那么CfzAz31；B3z ； C1z3z； Dz3 1 2. z1 2- - z 在 C 所圍.3假如級數(shù)cnzn在z2 點(diǎn)收斂,那么級數(shù)在n1Az2點(diǎn)條件收斂；Bz2 點(diǎn)肯定收斂；Cz1i點(diǎn)肯定收斂；Dz12i點(diǎn)肯定發(fā)散以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 A假如函數(shù)f

11、z 在z 點(diǎn)可導(dǎo),那么fz 在0z 點(diǎn)肯定解析；B 假如Cfzdz0,其中 C 復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線 , 那么f成的區(qū)域內(nèi)肯定解析；C函數(shù) f z 在 z 點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)肯定可以展開成為 z z 0 的冪級數(shù),而且綻開式是唯獨(dú)的；D函數(shù) f z u x , y iv x , y 在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是 u x , y 、v x , y 在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是A、 lnz 是復(fù)平面上的多值函數(shù)； B 、cosz 是無界函數(shù)； C 、sin z 是復(fù)平面上的有界函數(shù)； D、e 是周期函數(shù)z得分三按要求完成以下各題每題 8 分,共計(jì) 50 分 1

12、 設(shè) f z u x , y i x 2 g y 是 解 析 函 數(shù) , 且 f 0 0, 求g y,ux,y,fz 2z2；.word.zl.2運(yùn)算Cz2zzi2dz其中 C 是正向圓周1 3運(yùn)算z2z e1 z z,其中 C 是正向圓周z；C 1- 4利用留數(shù)運(yùn)算zCz13- .22dz其中 C 是正向圓周z3；1 z5函數(shù)fzz 21 z2 在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？,假如sinz 3有極點(diǎn),請指出它的級 . 四、此題 12分將函數(shù)fz z1 2 z1 在以下區(qū)域內(nèi)綻開成羅朗級數(shù)；10z11,20z1,31z五此題 10分用 Laplace變換求解常微分方程定解問題yx 5yx 1

13、4y x exy0y0六、此題 8 分求ftet0的傅立葉變換,并由此證明：0cost2d2et2.復(fù)變函數(shù)與積分變換.期末試題簡答及評分標(biāo)準(zhǔn)B一填空題每題3 分,共計(jì) 15分.word.zl.- - f7；2.112i 的幅角是42k,k0,12,Ln1i的主值是1ln2i4； 3. fz 11z2,0 0 ；24fzzsinz,Res fz,00 ；5fz 1,z3z2Res fz ,0 ；二挑選題每題3 分,共計(jì) 15分1-5 A A C C C三按要求完成以下各題每題10 分,共計(jì) 40 分1求a,b,c,d使fz x2axyby2icx2,dxyy2是解析函數(shù),解：由于fz 解析,由

14、 C-R 條件2cxdyuvuvxyyx2xaydx2yax2 bya2 d2,a2 c,2 bd,c,1 b,1給出 C-R 條件 6 分,正確求導(dǎo)給 2 分,結(jié)果正確 2 分；2Cz z11 2dz其中 C 是正向圓周z2；解：此題可以用柯西公式 僅給出用前者運(yùn)算過程柯西高階導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)算也可用留數(shù)運(yùn)算洛朗綻開運(yùn)算,由于函數(shù)fzz1z在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z 10,z21,分別以z 1,z21 2為 圓 心 畫 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圓c1,c2且 位 于c內(nèi)- .word.zl.- .假如有Cz12zdzC1z12dzC 2z12dz1 z1z12i1z12iz12z00

15、z1 13運(yùn)算Cz3ezdz,其中 C 是正向圓周z2；1z 解：設(shè)fz在有限復(fù)平面內(nèi)全部奇點(diǎn)均在：z2,由留數(shù)定理z2fzdz2iRes fz,2ic1-5 分1z11z3 ezz2ezz211113 1111 1z11z.22 z.3zzz2z3zz2z1112 1111.2.3z.4zzz2z3c1 11118.2.33z2fzdz82i34函數(shù)fz z21 z32 3在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？,sinz 極點(diǎn),請指出它的級 . fz 的奇點(diǎn)為zk,k0,12 ,3,0 的三級零點(diǎn),.word.zl.zk,k0 ,1 ,2 ,3 ,為（sinz）3z,1為fz 的二級極點(diǎn),z2 是

16、fz 的可去奇點(diǎn),z0,2,3 ,4,為fz 的三級極點(diǎn)；- 為fz 的非孤立奇點(diǎn)；- .給出全部奇點(diǎn)給 5 分；其他酌情給分；1四、此題 14分將函數(shù) f z z 2 z 1 在以下區(qū)域內(nèi)綻開成羅 朗級數(shù)；10 z 1 1,20 z 1,31 z 10 z 1 1,20 z 1,31 z解：1當(dāng) 0 z 1 11 1 1f z 2 z z 1 z 1 1 z 1 1 n n 1而 z 1 n z 1 1 z 1 n 0 n 0n 2f z n z 1-6 分n 02當(dāng) 0 z 1f z z 2 z 11 =z 12n 0 1 n z nn 2 1 z-10 分n 03當(dāng) 1 zf z z 2 z 11 z 31 11 z1 1 n n 1f z 3 1 n 3-14 分z n 0 z n 0 z五此題 10分用 Laplace變換求解常微分方程定解問題- yx 2yx3yxex.word.zl.y0 ,0y01解：對yx的 Laplace變換記做Ls - .,依據(jù) Laplace變換性質(zhì)有s2Ls12sL s