網(wǎng)?；A(chǔ)班講義

1、第二十四章 描述統(tǒng)計本章考情本章重點：測度數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：均值、中位數(shù)和眾數(shù)。測度數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量：方差、標準差和離散系數(shù)。測度數(shù)據(jù)分布偏態(tài)的統(tǒng)計量：偏態(tài)系數(shù)、標準分數(shù)。測度變量相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計量：散點圖、相關(guān)系數(shù)。知識點一：集中趨勢的測度1.均值。平均數(shù)，就是數(shù)據(jù)組中所有數(shù)值的總和除以該組數(shù)值的個數(shù)。均值是集中趨勢最主要的測度值，它是一組數(shù)據(jù)的重心所在，解釋了一組數(shù)據(jù)的平均水平?！臼纠磕呈圬浶〗M 5 名營業(yè)員，元旦一天的銷售額分別為 520 元、600 元、480 元、750 元和 500元，求該日平均銷售額。平均銷售額（520600480750500）5570（元）【注意 1】均

2、值主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類和順序數(shù)據(jù)?！咀⒁?2】均值容易受到值的影響，對數(shù)據(jù)組的代表性減弱。值會使得均值向極大值或極小值方向傾斜，使得均值需要全部信息避不開值！2.中位數(shù)。把一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序進行排列，位置居中的數(shù)值叫做中位數(shù)，用Me 表示：【注意 1】中位數(shù)是一個位置代表值，主要用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類數(shù)據(jù)?！咀⒁?2】中位數(shù)的優(yōu)點：不受值的影響，性強，尤其適用于偏斜分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)。不需要全部信息能避開值！3.眾數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)（頻數(shù)）最多的變量值。不適用于定量數(shù)據(jù)?！咀⒁狻窟m用于描述分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)的集中趨勢。在定量數(shù)據(jù)中，可能出現(xiàn)

3、多眾數(shù)和無眾數(shù)的情況，因此眾數(shù)不適于描述定量數(shù)據(jù)的集中位置。不需要全部信息能避開總結(jié)：值！指標適用特點均值定量變量利用全部信息，受值影響明顯值，則代表性差中位數(shù)順序變量定量變量不受值影響適用于分布不對稱的數(shù)據(jù)年份單選題多選題合計2018 年3 題 3 分1 題 2 分5 分2017 年3 題 3 分1 題 2 分5 分2016 年2 題 2 分2 題 4 分6 分【例題單選題】（2018 年）下列統(tǒng)計量中，適用于描述分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)集中趨勢的是（ ）A.眾數(shù) B.均值C.標準分數(shù)D.中位數(shù)正確A本題考查眾數(shù)。眾數(shù)適用于描述分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)的集中趨勢?！纠}單選題】（2017 年）2016

4、年某企業(yè)下轄 8 個的銷售額分別為 10000 萬元、3600萬元、800 萬元、1000 萬元、600 萬元、3000 萬元、2800 萬元、2200 萬元，這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是（萬元。A.2200 B.2800 C.2500D.3000正確C本題考查中位數(shù)的計算。（28002200）/22500?！纠}單選題】在對數(shù)據(jù)集中趨勢的測度中，適用于偏斜分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)的是（ ）。A.中位數(shù) B.均值 C.標準差 D.方差正確A本題考查中位數(shù)。中位數(shù)主要適用于順序數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類數(shù)據(jù)，中位數(shù)不受值的影響，性強，尤其適用于收入這類偏斜分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)。知識點二：離散程度的測度

5、（一）方差和標準差離散程度：反映的是數(shù)據(jù)之間的差異程度。集中趨勢的測度值對一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測度值對該組數(shù)據(jù)的代表性就越差；離散程度越小，其代表性就越好。1.方差方差：數(shù)據(jù)組中各數(shù)值與其均值離差平方的平均數(shù)。方差越小，說明數(shù)據(jù)值與均值的平均距離越小，均值的代表性越好?？傮w方差公式：沒有充分利用全部信息，穩(wěn)定性優(yōu)于眾數(shù)，差于均值眾數(shù)分類變量順序變量沒有充分利用全部信息，不受值影響適用于分布明顯呈偏態(tài)的數(shù)據(jù)可能不唯一【示例】某售貨小組 5 名營業(yè)員，元旦一天的銷售額分別為 520 元、600 元、480 元、750 元和 500元，平均銷售

6、額為 570 元，計算日銷售額的樣本方差。（520570）2（600570）2（480570）2（750570）2（500570）2（51）12200（元 2）2.標準差（1）標準差：方差的平方根?！臼纠? 名營業(yè)員元旦當天的銷售額的標準差（2）標準差與方差只適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，它們對值很敏感。（二）離散系數(shù)1.離散系數(shù)：變異系數(shù)或標準差系數(shù)。標準差與均值的比值：適用：不同類別數(shù)據(jù)離散程度的比較?！咀⒁狻繕藴什畹拇笮〔粌H與數(shù)據(jù)的測度有關(guān)，也與觀測值的均值大小有關(guān)，不能直接用標準差比較不同變量的離散程度。離散系數(shù)消除了測度和觀測值水平不同的影響，因而可以直接用來比較變量的離散程度?！臼纠磕硨W校

7、學生的平均為 20 歲，標準差為 3 歲；該校教師的平均的離散程度。為 38 歲，標準差為3 歲。比較該校學生和教師正確教師學生學生的離散程度更大。的離散系數(shù)3/200.15的離散系數(shù)3/380.0789【例題多選題】（2017 年）下列統(tǒng)計量中，適用于測度數(shù)據(jù)離散程度的有（ ）。A.眾數(shù) B.方差 C.中位數(shù) D.標準差E.均值正確BD本題考查測度數(shù)據(jù)離散程度的指標。選項 ACE 屬于測度集中趨勢的指標?！纠}多選題】（2015 年）下列統(tǒng)計量中，容易受A.均值 B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)E.標準差值影響的有（ ）。正確ABE本題考查集中趨勢和離散程度的測度指標。均值、方差、標準差容易受

8、值的影響【例題單選題】（2015 年）根據(jù) 2014 年某城市金融業(yè)和制造業(yè)各 1000 人的年薪樣本數(shù)據(jù)來比較這兩個行業(yè)從業(yè) A.標準分數(shù) B.相關(guān)系數(shù) C.變異系數(shù)D.偏態(tài)系數(shù)年薪的離散程度，應(yīng)采用的統(tǒng)計量是（ ）。正確C本題考查離散系數(shù)。離散系數(shù)也稱為變異系數(shù)或標準差系數(shù)，即標準差與均值的比值，主要用于不同類別數(shù)據(jù)離散程度的比較。知識點三：分布形態(tài)的測度（一）偏態(tài)系數(shù)（SK）：偏度：指數(shù)據(jù)分布的偏斜方向和程度，描述的是數(shù)據(jù)分布對稱程度。（單選）偏態(tài)系數(shù)：測度數(shù)據(jù)分布偏度的指標。取決于離差三次方的平均數(shù)與標準差三次方的比值。3.應(yīng)用：偏態(tài)系數(shù)的絕對值越大，數(shù)據(jù)分布偏斜程度越大。SK0：數(shù)據(jù)

9、分布是對稱的；SK0：數(shù)據(jù)分布右偏；00.5（輕度）0.51（中度）大于 1（嚴重）（3）SK0：數(shù)據(jù)分布；00.5（輕度）0.51（中度）大于1（嚴重）【例題多選題】（2018 年）在描述統(tǒng)計中，測度的數(shù)據(jù)分布特征主要包括（ ）。A.對稱程度 B.離散程度 C.相關(guān)性 D.集中趨勢E.偏斜方向正確ABDE本題考查描述統(tǒng)計。在描述統(tǒng)計中，可以通過統(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)的分布特征。對于數(shù)據(jù)分布特征的測度主要分為三個方面：一是分布的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或的程度；二是分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)之間的差異程度，也能反映中心值對數(shù)據(jù)的代表程度；三是分布的偏態(tài)，反映數(shù)據(jù)分布的不對稱性。對于兩個定量變

10、量之間的相關(guān)分析，經(jīng)常采用的描述方法是散點圖和相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計量?！纠}多選題】（2015 年）某企業(yè)員工年收入數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)系數(shù)為 3.0，則該組數(shù)據(jù)的分布形態(tài)為（ ）。A.右偏 B.C.嚴重偏斜 D.輕度偏斜E.中度偏斜正確AC本題考查偏態(tài)系數(shù)。偏態(tài)系數(shù)為 0，說明數(shù)據(jù)的分布是對稱的。為正，說明分布是右偏的：取值在 00.5 之間說明輕度右偏；取值在 0.51 之間，說明中度右偏；取值大于 1 說明嚴重右偏。為負，說明分布為：取值在 00.5 之間，說明輕度；取值在0.51 之間說明中度；取值小于1，說明嚴重。本題中，偏態(tài)系數(shù)為 3，說明嚴重右偏。【例題多選題】（2016 年）在某上，商品甲得

11、到 6 個評價得分，分別是 1、4、4、5、55；商品乙得到 5 個評分，分別是 3、3、3、4、4。關(guān)于這兩組數(shù)據(jù)的說法，正確的有（ ）。A.商品甲的評分中位數(shù)高于商品乙 B.商品甲的評分均值低于商品乙 C.商品甲的評分眾數(shù)高于商品乙D.商品甲的評分分布離散程度大于商品乙E.商品甲的評分分布是的正確ACDE本題考查集中趨勢、離散程度的測度。商品甲：評分中位數(shù)（45）/24.5，眾數(shù)5，均值（144555）/64，方差（14）2（44）2（44）2（54）2（54）2（54）2/52.4，標準差1.55，離散系數(shù)1.55/40.3875。商品乙：評分中位數(shù)3，眾數(shù)3，均值3.4，標準差0.55

12、，離散系數(shù)0.55/3.40.16由于商品甲離差三次方，即（14）3（44）3（44）3（54）3（54）3（54）324，根據(jù)公式可知偏態(tài)系數(shù)為負，說明數(shù)據(jù)分布。（二）標準分數(shù)標準分數(shù)（Z 分數(shù)）：統(tǒng)計學上常用的一種標準化方法。標準分數(shù)可以給出數(shù)值距離均值的相對 位置，用于比較不同分布的變量值。公式：標準分數(shù) Z（數(shù)值均值）標準差結(jié)果：標準分數(shù) Z 越大越好?！咀⒁狻哭D(zhuǎn)變后的標準分數(shù)并沒有改變數(shù)值在原分布中的位置，也沒有改變數(shù)據(jù)原分布的偏態(tài)，但是標準分數(shù)的平均數(shù)為 0，標準差為 1?！臼纠?1】考核 A 中員工得分 80 分，均值 80 分，標準差為 20 分，在考核 B 中員工得分 70

13、分，均值 60 分，標準差為 5 分。80 分的Z 分數(shù)（8080）20070 分的Z 分數(shù)（7060）52【說明】70 分在考核 B 中的相對高于 80 分在考核 A 中的相對。【示例 2】某班期末。語文全班平均成績 73 分，標準差 7 分，甲得了 78 分；數(shù)學全班平均成績 80 分，標準差 6.5 分，甲得了 83 分。甲哪一門成績更優(yōu)秀？因為兩科分布（均值、標準差）不同，不能用原始數(shù)據(jù)直接比較，需要轉(zhuǎn)換成標準分數(shù)，然后比較。Z（語文）（7873）70.71 Z（數(shù)學）（8380）6.50.64【說明】甲的語文成績更優(yōu)秀。4.實際應(yīng)用：當數(shù)據(jù)服從對稱的準差之內(nèi)的數(shù)據(jù)項所占比例。分布時，

14、可以運用經(jīng)驗法則來判斷與均值的距離在特定倍數(shù)標約有 68%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 1 個標準差之內(nèi)，標準分數(shù)在1，1范圍內(nèi)；約有 95%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 2 個標準差之內(nèi)，標準分數(shù)在2，2范圍內(nèi)；約有 99%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 3 個標準差之內(nèi)，標準分數(shù)在3，3范圍內(nèi)?！臼纠空Z文全班平均成績 73 分，標準差 7 分：則 68%的同學得分在 66 和 80 之間；則 95%的同學得分在 59 和 87 之間；則 99%的同學得分在 52 和94 之間?！纠}單選題】（2018 年）某公司員工年度業(yè)績考核中，全體員工考核成績的均值為 80，方差為 25。某員工在這次業(yè)績考核中成績?yōu)?

15、85，則該員工考核成績的標準分數(shù)為（ ）。A.3.4B.0.2C.1.0D.17.0正確C本題考查分布形態(tài)的測度。標準分數(shù)可以給出數(shù)值距離均值的相對位置，計算方法是用數(shù)值減去均值所得的差除以標準差，標準分數(shù)（8580）/51?！纠}單選題】（2017 年）根據(jù)經(jīng)驗法則，當數(shù)據(jù)服從對稱的個標準差之內(nèi)的數(shù)據(jù)項所占比例約為（ ）。A.99% B.68% C.95%D.100%分布時，與平均數(shù)的距離在 3正確A本題考查分布形態(tài)的測度。約有 99%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 3 個標準差之內(nèi)，標準分數(shù)在3，3范圍內(nèi)?！纠}多選題】（2016 年）某企業(yè)客戶滿意度數(shù)據(jù)服從對稱的5。根據(jù)經(jīng)驗法則，關(guān)于該企業(yè)客戶

16、滿意度的說法，正確的有（ ）。約有 68%的客戶滿意度在70，80范圍內(nèi)約有 68%的客戶滿意度在75，85范圍內(nèi)約有 95%的客戶滿意度在75，95范圍內(nèi)約有 95%的客戶滿意度在65，85范圍內(nèi)約有 99%的客戶滿意度在60，90范圍內(nèi)分布，均值為 75，標準差為正確ADE本題考查標準分數(shù)。經(jīng)驗法則表明：約有 68%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 1 個標準差之內(nèi)，約有 95%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 2 個標準差之內(nèi)，約有 99%的數(shù)據(jù)與平均數(shù)的距離在 3 個標準差之內(nèi)。知識點四：變量間的相關(guān)分析（一）相關(guān)關(guān)系分類按相關(guān)的程度：完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。按相關(guān)的方向：正相關(guān)和負相關(guān)。按相關(guān)的形

17、式：線性相關(guān)和非線性相關(guān)?！咀⒁狻肯嚓P(guān)關(guān)系并不等同于因果關(guān)系。（二）兩變量的散點圖：兩個變量間的關(guān)系可以用散點圖來展示。觀測點分布無規(guī)律：不相關(guān)。觀測點分布密集在一條線周圍：線性相關(guān)。（1）正相關(guān)：直線向右上傾斜（2）負相關(guān)：直線向右下傾斜3.觀測點呈現(xiàn)曲線模式：兩個變量非線性相關(guān)。（三）相關(guān)系數(shù)的定義和計算Pearson 相關(guān)系數(shù)：度量的是兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。Pearson 相關(guān)系數(shù)的取值范圍：1r1。（1）0r1：變量 X 和 Y 之間存在正線性相關(guān)關(guān)系；1r0：變量 X 和 Y 之間存在負線性相關(guān)關(guān)系；r1：變量 X 和 Y 之間為完全正線性相關(guān)，即變量 Y 的取值完全依賴于變量

18、 X；r1：變量 X 和 Y 之間為完全負線性相關(guān)，即變量Y 的取值完全依賴于變量 X?！咀⒁狻縋earson 相關(guān)系數(shù)只適用于線性相關(guān)關(guān)系的判斷。因此r0 只表示兩個變量之間不存在 線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系，比如它們之間可能存在非線性相關(guān)關(guān)系。3.相關(guān)程度：【例題單選題】（2018 年）兩個變量之間完全相關(guān)是指（ ）。兩個變量之間的數(shù)值變化大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系一個變量的取值完全由另一個變量的取值變化來確定 C.兩個變量之間存在因果關(guān)系D.兩個變量的取值變化互不影響正確B本題考查變量間的相關(guān)關(guān)系。當一個變量的取值變化完全由另一個變量的取值變化所確定時，稱這兩個變量間的關(guān)系為完全相關(guān)?！纠}單選題】（2017 年）下列圖形中，適用于描述兩大定量變量間相關(guān)關(guān)系的是（ ）。A.散點圖 B.圓形圖 C.條形圖D.直方圖正確A本題考查散點圖。兩個變量間的