多項式插值法和拉格朗日插值

1、 教案一多項式插值法和拉格朗日插值基本內(nèi)容提要多項式插值法的基本概念插值多項式的存在性與唯一性分析拉格朗日插值多項式的構(gòu)造及截斷誤差截斷誤差的實用估計式逐次線性插值法教學(xué)目的和要求熟練掌握多項式插值法的基本概念理解插值多項式的存在性與唯一性掌握拉格朗日插值法掌握截斷誤差的估計方法理解逐次線性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次線性插值法掌握運用拉格朗日插值法處理問題的基本過程教學(xué)重點1拉格朗日插值基函數(shù)及拉格朗I插值多項式的構(gòu)造2拉格朗日插值多項式的截斷誤差分析3逐次線性插值法的基本思想教學(xué)難點1插值多項式存在唯一性條件的討論分析2插值誤差的分析與估計3Aitken逐次線性插值法的計算過程課

2、程類型新知識理論課教學(xué)方法結(jié)合提問，以講授法為主教學(xué)過程問題引入實際問題中許多變量間的依賴關(guān)系往往可用數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念刻畫，但在多數(shù)情況下，這些函數(shù)的表達(dá)式是未知的，或者函數(shù)已知，但形式十分復(fù)雜?；谖粗瘮?shù)或復(fù)雜函數(shù)的某些已知信息，如何構(gòu)造這些函數(shù)的近似表達(dá)式？如何計算這些函數(shù)在其它點處的函數(shù)值？所構(gòu)造的近似表達(dá)式與真實函數(shù)的誤差是多少？插值理論與方法就是解決這些問題的有效工具之一。2.1多項式插值2.1.1基本概念假設(shè)/(X)是定義在區(qū)間s,b上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但已知該函數(shù)在點axQXjxnb處的函數(shù)值幾,兒。找一個簡單的函數(shù)，例如多項式函數(shù)P(x),使之滿足條件P(兀)=X,j=0丄2

3、,(2.1)即在給定點兀處，P(x)與/是相吻合的。通常把上述兀-兀稱為插值節(jié)點，把P(x)稱為f(x)的插值多項式(函數(shù))，/(X)稱為被插函數(shù)。M稱為插值區(qū)間，條件(2.1)稱為插值條件，并把求P(x)的過程稱為插值法如果P(x)為m次多項式匕=aoxm+兔嚴(yán)+am_lX+am,則稱該插值法為多項式插值；如果P(x)為三角多項式，則稱為三角插值：如果P(x)為分段多項式，則稱為分段插值。畫圖說明插值法的幾何意義。2.1.2插值多項式的存在性與唯一性如果插值函數(shù)是如下m次的多項式：化=aQxm+%+am,那么插值函數(shù)的構(gòu)造就是要確定幾O)表達(dá)式中的m+1個系數(shù)心,。由丁插值條件包含n+1個獨

4、立等式，所以只要m=n,就可以證明這樣的插値多項式是唯一存在的。實際上，由n+1個插值條件可得認(rèn)+nr_1+4”也+an=y0qx：+an_+an=%(22)這是一個關(guān)丁兔嗎，,匕的n十1階線性方程組，且其系數(shù)矩陣對應(yīng)行列式是線性代數(shù)中著名的范徳蒙(Vandermonde)行列式。該行列式的值匕Qo片,兀）=口口（兀-）=1J=0因為J時，.存在。勺H，所以匕（竝,兀,，兀JhO。從而滿足插值條件的多項式唯一2.2拉格朗日插值法2.2.1拉格朗日插值多項式的構(gòu)造利用節(jié)點氏接構(gòu)造如下多項式陥（兀）（兀一忑）申（兀）其中，兀+1（X）=（X一X。）（xXJ（X兀J,尤+1（X）=（X_X。）（X_

5、兀_J（x-兀+J（X_兀）.容易驗證該多項式具有性質(zhì)：z|0jfi(xp=llj=i因此，n次多項式厶=/。兒+（X）兒+ltl（X）兒=工lk（X）兒-定具有性質(zhì)20n厶（兀）=工人（兀）兒心0丄，兒*=0即滿足插值條件。根據(jù)插值多項式的惟一性知，厶（X）即為所求。稱厶為拉格朗日插值多項式，構(gòu)成厶（x）的13（7=0丄/）,稱為拉格朗日插值基函數(shù)。實際上，拉格朗口插值多項式是n十1個基函數(shù)的線性組合，而組合系數(shù)是插值條件中的已知函數(shù)值。例2.2.1寫出已知兩個和三個插值節(jié)點條件的拉格朗日插值多項式。本例有兩個目的，一是耍說明拉格朗日插值多項式的構(gòu)造過程，二是耍從兒何上說明拉格朗日插值基函數(shù)

6、的基本性質(zhì)。2.2.2拉格朗日插值多項式的截斷誤差在區(qū)間S，b上用厶近似未知或復(fù)雜函數(shù)/(工)，其截斷誤差是指通常稱&(x)為拉格朗日插值余項。定理2.2.1假設(shè)/(n)(x)在a,b上連續(xù),嚴(yán))在(訕內(nèi)存在。厶”是滿足插值條件(2.1)的拉格朗日插值多項式，則對任何xwd,b,插值余項R3=/-厶=/網(wǎng)養(yǎng)+)(2.3)(+1)!其中e(a,b)依賴于X。例223寫出線性插值和拋物線插値的余項。解根據(jù)定理221知，線性插值余項：(2.4)(2.5)R(x)=fX)(x-x0)(x-xl)其中,Gx0,xjo拋物線插值余項：R：=4f一X。)(x-XJ(x-x2)o其中,ex0,x2o總結(jié)：公式

7、(2.3)從理論上說明了運用插值法時必須注意下列問題：如果本身是次數(shù)不超過n的多項式，那么滿足11十1個插值條件的插值多項式就是它本身。這是因為/(”+%x)三0/wa,b,從而7?n(x)=0o如果插値區(qū)間訕很大，那么對給定的x,|;r”+)|的值一般會很大(因為這時許多因數(shù)都將大于1)。因此，誤差心可能很大。反過來，如果插值區(qū)間切很小，比如b-al9那么對給定的x,|,+1(x)|的值一定很小(因為所有因數(shù)都將小Tl)o因而誤差/(x)就會很小。一句話，小的區(qū)間上插值有利丁減少誤差。因為在很大的區(qū)間上插值，M”+】(X)|的值可能會很大，所以，”T8時，11111未必趨于零。換句話說，依靠

8、增多插値節(jié)點不一定能減少誤差。插值多項式一般僅用來估計插值區(qū)間內(nèi)點的函數(shù)值(即內(nèi)插)。用它來計算插值區(qū)間外點的函數(shù)值(即外插)時，誤差可能會較大。2.2.3截斷誤差的實用估計式提問：既然公式(2.3)估計誤差時不實用，那么實際中如何估計截斷誤差呢？假設(shè)插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù)(比一般實際情況下多一組)：那么利用前口十1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造一個n次拉格朗日插值多項式Ln(x),利用后11十1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造另一個n次拉格朗日插值多項式厶：(兀)。利用公式(2.3)知，它們各H的插値余項為f(x)-(a)=1嚴(yán)(g)(x_兀)(尤_召)(x_兀)，(+1)!f(Q-厶：3)=z1.嚴(yán))(x兀)(

9、x兀J(X兀+J.兩式相減得:并可寫成(2.6) (2.7)它不需耍計注意到上式中利用T嚴(yán)廣陀)o利用(2.6)可得：W=/(Q-厶(X)-他上型d)兀0-和R：(x)=f(X)-厶(x)L”a)-L“(.)(丫一兀+J+1X。(2.7)式給出了用厶(x)或厶：(x)作近似計算時的實用誤差估計式。算高階導(dǎo)數(shù)，也不用估計插值區(qū)間上高階導(dǎo)數(shù)的界。W2.2.5已知/(0)=2,/(l)=3,/(2)=12.利用拉格朗日插值法計算未知函數(shù))匸/(兀)在x=1.2078處的函數(shù)値/(1.2078),并估計誤差。課堂中利用本例說明：1)利用函數(shù)在某些點上的信息如何計算該函數(shù)在其他指定點上的值；2)利用截斷

10、誤差的實用估計式估計插値誤差的過程。2.3逐次線性插值法2.3.1逐次線性插值思想如果插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù)：/(兀)=曲=丄7+1，那么利用前十1組數(shù)據(jù)，可以構(gòu)造一個11次拉格朗日插值多項式厶(x);利用后口十1組數(shù)據(jù)，可以構(gòu)造另一個拉格朗日插值多項式厶：(x)。它們的實用截斷誤差估計式為(2.8)W=/一厶也上迪d)無一兀+1R：=f(x)-厶:(X)(X一)兀汁1X。那么11+1次多項式拿C(X)-L(X)代+心)=厶)+八丿八丿(U應(yīng)該是/(x)的更好的近似函數(shù)。上述的+1(x)滿足插值條件:巳知(兀)=開=0丄+1就是說，P+1(x)恰好是由已知n+2個插值節(jié)點確定的拉格朗日插值

11、多項式乙+1(X)o這意味著從任何1】十1個插值節(jié)點構(gòu)造11次拉格朗日插值多項式厶”3),可以先選用合適的兩個節(jié)點構(gòu)造線性插值多項式，再利用線性插值多項式構(gòu)造2次插值多項式，利用2次插值多項式乂可以構(gòu)造3次插值多項式，直到構(gòu)造出n次插值多項式。當(dāng)不關(guān)心最終插值多項式的表達(dá)式，而只需要利用插值方法計算未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)值時，這種思路方法特別有效，可以保證選用盡量少的節(jié)點，計算出滿足給定精度要求的函數(shù)值。2.3.2艾特肯（Aitken）算法對未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)/（x）,假設(shè)已知如下信息：/（兀）=曲=0,1,，幾問題是利用以上信息計算/（兀）在任何一點元處的函數(shù)值/CO,且誤差不超過上限第一

12、步：禾IJ用節(jié)點X。眄構(gòu)造線性插值多項式N。）,利用節(jié)點兀忑構(gòu)造另一個線性插值多項式Ny（x）。計算叫爐）和N%）o利用實用誤差估計式估計N.Q）的誤差Nol(x)-Noy(x)心點)=亠.若R.Q)算法終止，且/（牙）嘰（元）+凡爐）.否則記%,“）=%（疋）+心點），轉(zhuǎn)第二步。第二步：利用節(jié)點兀,兀構(gòu)造線性插值多項式,并計算N.E與%2（無）的計算方式相同，利用（元）和NoQ可計算NoZ）o利用Nw（x）和血丄3（疋）可計算N%。)+X2_A3如果心2-27 算法終止，且否則轉(zhuǎn)第三步。第三步：利用節(jié)點心兀構(gòu)造線性插值多項式N%）,并計算N.43）。與%（無）的計算方式相同,利用（巧和N04（x）可計算NQl4（x）。與123（x）的計算方式相同，利用NQ12（X）和（元）可計算N0l24（x）o最后利用“0心和N。心（疋）可計算Mir一（元）=%心（可+。丄二八丿嚴(yán)八丿如果0,1,2,3I人丿七0，兀一耳算法終止，且/附邛回否則將上述步驟重復(fù)下去。課堂演示例231,說明Aitken法的計算過程。課堂小結(jié)布置作業(yè)參考文獻(xiàn)BurdenRL.FanesJD.NumericalAnaniysis(FourthEdition)Pnndle,Boston.WederandSchmidt,1989StoerJ.,BulnschR.,Intro