好好看看幾何模型

1、創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日全等三角形相關模型總結之馬矢奏春創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日一、角平分線模型（一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點G作GJ射線ACA、例題1、如圖，在4ABC中，/C=90 ,AD 平分/ CAB,BC=6cm,BD=4c酈么點D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，/1 = /2,/3=/4,求證： AP平分/ BAC.3、如圖，在四邊形 ABCD中,BC AB,AD= CD,BD平分/ ABC求證：/A+ /C= 180 .（二）角平分線+垂線，等腰三角形必出現(xiàn)A、例題輔助線：延長ED交射線OB于F輔助線：過點E作EF/射線OB例1、如圖，在4ABC中，

2、/ABC= 3/C,AD是/ BAC的平分線,BE,AD于F .求證：BE （AC AB）.例2、如圖，在 ABC中，/BAC的角平分線 AD交BC于點D,且AB=AQ,作CMLAD交AD的延長線于 M.求證：AM 1（AB AC）.（三）效線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形而昭線都是在射線ON上取點B,使OB= OA,從而使創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日AOAC2A o BC .A、例題1、如圖，在 ABC中，/BAC=60 , /C=40 ,AP 平分/ BAC交 BC于 P,BQ 平分 / ABC交 AC于 Q,求證：AB+ BP= B0 AQ .2、如圖，

3、在 ABC中,AD是/ BAC的外角平分線，P是AD上異于點 A 的任意一點，試比力PB+ PC與AB+ AC的年夜小，并說明理由.3、在zABC中,ABAC,AD是/ BAC的平分線,P是線段 AD上任意一 點（不與A重合）.求證：AB- AO PB- PC .4、如圖，zABC中,AB=AC,/A= 100 , ZB的平分線交 AC于D,求 證：AD+ BD= BC .5、如圖，zABC中,BC = AC,/C= 90 , ZA的平分線交 BC于D,求 證：AC+ CD= AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角極點，在斜邊上任取一點的旋轉全等：把持過程：（1）將4ABD逆時針旋

4、轉 90 ,得ACMABD從而推出 ADM 為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點 C作MCLBC,使CM= BD,連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉全等：把持過程：連結AD.（1）使 BF= AE （或 AF= C6，導出ABDI3 AADE.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日（2）使 / ED斗 /BAG= 180，導出BDF AADE.1、如圖，在等腰直角 ABC中，/BAG= 90 ,點 M N在斜邊BC上 滑動，且/MANk45 ,試探究 BM、MN CN之間的數(shù)量關系.2、兩個全等的含有 30 ,60角的直角三角板 ADE和A

5、BC按如圖 所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD,取BD的中點M,連 接 ME MC.試判斷 EMC的形狀，并證明你的結論.3、已知，如圖所示，RtzABC中,AB = AC,/BAC= 90 ,0 為BC中點， 若M N分別在線段AG AB上移動，且在移動中堅持 ANh CM.（1）試判斷 OMN的形狀，并證明你的結論.（2）當M N分別在線段AG AB上移動時，四邊形AMON勺面積如 何變動？4、在正方形 ABCB ,BE = 3,EF = 5,DF = 4,求 / BA日 /DCF 為幾多 度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；

6、（2）利用平移、對稱和弦圖也可以構造等腰直角三角形（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：1、如圖，在等腰直角 ABC中,AC=BC,/ACB= 90 ,P 為三角形 ABC 內(nèi)部一點，滿足 PB= PC,AP= AC,求證：/ BCP= 15 .三、三垂直模型（弦圖模型）創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日A、例題已知：如圖所示，在4ABC中,AB = AC,/BAC= 90 ,D 為AC中點,AFLBD于點E,交BC于F,連接DF .求證：/ ADB= /CDF.太P變式1、已知：如圖所示，在AC解B： AC,AM= CN,AFLBM 于 E,交 BCT,連接

7、NF . 一證：/AMB= /CNF (2) BM= AF+ FN .變式2、在變式1的基礎上，其他條件不變，只是將BMW FN分別延長交于點P,四、手拉手模型1、zABE和4ACF均為等邊三角形結論：(1) AABfAAEC ./BOa /BAE= 60 .OA平分Z EOF .(四點共1拓展：ABCffi 4CDE均為等邊三角形結論：(1) AD= BE; /ACB= /AOBPCQ為等邊三角形；PQZAE;AP= BQgc圓證)J)創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日求證：(1) PM= PN (2) PB= PF+ AF .創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日CO平分/AOE (四點共圓證)OA=

8、 0打OCOE= OO OD .(7) , (8)需構造等邊三角形證明)例、如圖，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM BM CM以 AB為一邊向外作等邊三角形 ABE將BM繞點B逆時針旋轉60獲 得BN,連接EN.(1)求證： AM印AENB(2)若AM+BM+CM值最小，則稱點M為4ABC的費爾馬點.若點M 為4ABC的費爾馬點，試求此時/ AMB /BMC /CMA勺度數(shù)；(3)小翔受以上啟發(fā)，獲得一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖，分別以 ABC的AR AC為一邊向外作等邊 ABE 和等邊4ACF連接CE BF,設交點為M,則點M即為 ABC的 費爾馬點.試說明這種作法的依

9、據(jù).2、zABD和4ACE均為等腰直角三角形結論：(1) BE= CD (2) BE!CD .3、四邊形ABE可口四邊形 ACH國為正方形.結論：(1) BD= CF; (2) BDL CF .變式1、四邊形 ABEF和四邊形 ACHD勻為正方形,ASLBC交FD于T,求證：(1) T 為 FD中點；(2)?ABC S-ADF .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD勻為正方形,T為FD中點,TA創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日交BC于S,求證：AS BC .4、如圖，以 ABC的邊AB AC為邊構造正多邊形時，總有:36012 180五、半角模型條件： 1，且+

10、=180 ,兩邊相2思路：1、旋轉 輔助線：延長 CD至U E,使ED=BM AE或延長CB至U F,使FB=DN,連AF 將4ADN繞點A順時針旋轉90得AABF,注意：旋轉需證 F、B、M三點共線結論：(1)MN= BM DN (2)c%mn=2AB; (3) AM AN分別平分/ BMN /MND .2、翻折（對稱）輔助線：作AP, MN交MNT點P將E要證明M P、N三點共線例1、在正方形ABCM ,若M N分別在 4ADN ABM分別沿 AZ AM!折，但一BC CD上移動，且滿足 MN= BM DN,創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日求證：(1) / MAN 45 ;Ckmn=2AB;AM AN分另U平分/ BMN和/DNM.變式：在正方形 ABCB，已知/MAK 45 ,若 M N分別在邊 CBDC的延長線上移動，AHL MN垂足為H,(1)試探究線段 MIN BM DN之間的數(shù)量關系；(2)求證：AB= AH例2、在四邊形 ABCM，/B+ /D= 180