相似三角形常用模型應(yīng)用

1、相似三角形模型及應(yīng)用相似證明中的基本模型A字形圖A字型，結(jié)論：ADAEDE，圖反A字型，結(jié)論：AEADDEABACBCACABBC圖雙A字型，結(jié)論：DFBG，圖內(nèi)含正方形A字形，結(jié)論AHaaEFGCAH（a為正方形邊長(zhǎng)）BCAAAAFEIFDEEDEDBCBCBGCBDHGC圖圖圖圖字型圖8字型，結(jié)論：AOBOAB字型，結(jié)論：AOBOABODCO，圖反8CODO、四點(diǎn)共圓CDCD圖雙8字型，結(jié)論：AEDF111BECF，圖A8字型，結(jié)論：CDEFAB圖，結(jié)論：EFEG、SAEDSBECSABESCDEABABAEBABDAOOFEFGECDCDCFDCDBC圖圖圖圖圖一線三等角型結(jié)論：出現(xiàn)兩個(gè)

2、相似三角形AAAAED60ADHFEEEECBCDBCDBBFCCBD圖圖圖圖角分線定理與射影定理圖內(nèi)角分線型，結(jié)論：ABBD，圖外角分線型，結(jié)論：ABBDACDCACCD圖斜射影定理型，結(jié)論：AB2BDBC，圖射影定理型，結(jié)論：2ADAB，2、CD22BDBA1、ACADBD，3、BCAEACABDCBCDBDCADB梅涅勞斯型常用輔助線AAAADDDGDEGEEEBCFBCFBCFBGCCF中考滿分必做題考點(diǎn)一相似三角形【例1】如圖，D、E是ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且ADACAEAB，求證：ADEB.AEDBC【例2】如圖，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面積是BDE面

3、積的4倍，AC6，DE的長(zhǎng).AEBDC【例3】如圖，ABC中，ABC60，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得APBBPCCPA，PA8，PC6，則PB_APBC【例4】如圖，已知三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求EBFEBGAHGFBCDE考點(diǎn)二：相似三角形與邊的比率?考點(diǎn)說明：可運(yùn)用相似三角形模型，常用A字形與8字形【例5】在ABC中，BDCE，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于P，求證：ADBPAECP.ADEBCP【例6】如圖，在ABC的邊AB上取一點(diǎn)D，在AC取一點(diǎn)E，使ADAE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線相交于P，求證：BPBDCPCEADEBCP【例7】如圖，M、N為ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足BMMN

4、NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E和F.求證：EF3DE.ADEBMNCF考點(diǎn)三：相似三角形與內(nèi)接矩形考點(diǎn)說明：內(nèi)接矩形問題是相似三角形中比較典型的問題，觀察了相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比【例1】一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案。甲設(shè)計(jì)的方案如圖所示，乙設(shè)計(jì)的方案如圖所示，你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好，請(qǐng)說明原由（加工耗費(fèi)忽略不計(jì)）CCGDEDFBFABEA【例8】ABC中，正方形EFGH的兩個(gè)極點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)極點(diǎn)G、H分別在AC、AB上

5、，BC15,BC邊上的高AD10,求SWEFGH.AAHGEFMBEDFCBDC【例9】如圖，已知ABC中，AC5，AB11，BC45，四邊形DEGF為正方形，其中D，E在邊AC，BC上，F(xiàn)，G在AB上，求正方形的邊長(zhǎng)CDEAFGB【例10】如圖，已知ABC中，四邊形DEGF為正方形，D，E在線段AC，BC上，F(xiàn)，G在AB上，若是SADFSCDE1，SBEG3，求ABC的面積CDEAFGB【例11】如圖，在ABC中，AB5，BC3，AC4，動(dòng)點(diǎn)E（與點(diǎn)A，C不重合）在AC邊上，EFAB交BC于F點(diǎn)（1）當(dāng)ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)（2）當(dāng)ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的

6、周長(zhǎng)相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)（3）試問在AB上可否存在點(diǎn)P，使得EFP為等腰直角三角形若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明原由；若存在，央求出EF的長(zhǎng)CEFAB考點(diǎn)四：與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例12】如圖，已知平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線按次與AC、AD及CD的延長(zhǎng)線訂交于點(diǎn)E、F、G，若BE5，EF2，則FG的長(zhǎng)是_GAFDEBC【例13】如圖，已知DEAB，OA2OCOE，求證：ADBC.CDEOAB【例14】如圖，YABCD的對(duì)角線訂交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F，若ABa，ADc，BEb,求BF的值DCOFABE【例15】如圖：矩形ABCD的面積是36，在AB，AD邊上

7、分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE3EB，DF2AF，且DE與CF的交點(diǎn)為點(diǎn)O，求FOD的面積。BCBEEOAFDAK【例16】如圖，已知在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EFEC交AB于F，連接FC（ABAE）.（1）AEF與ECF可否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明原由.（2）設(shè)ABk可否存在這樣的k值，使得AEFBCF，若存在，證明你的結(jié)論并求出k值；BC若不存在，說明原由.AEDFBC考點(diǎn)五與梯形有關(guān)的相似問題【例17】如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為p2，q2，則梯形的面積是（）DCq2O2pABA2p2q2Bpq2Cp2q2pqDP2q2p2q2

8、p2q2【例18】如圖，梯形ABCD中，ADBC，兩條對(duì)角線AC、BD訂交于O，若SAOD:SCOB1:9，那么SBOC:SDOC_DAOCB【例19】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC9，AB6,CD4，若EFBC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長(zhǎng)相等，求EF的長(zhǎng)ADEFBC【例20】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中點(diǎn)，分別連接AC、BD、MD、MC，AC與MD交于點(diǎn)E，DB與MC交于F.1）求證：EF/CD2）若ABa,CDb，求EF的長(zhǎng).AMBEFDC【例21】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADa，BCb，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF交BE于

9、P，CE交DF于Q，求PQ的長(zhǎng)AEDPQOBFC【例22】如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC，A90，ABa,ADb,BC2b（ab）,DEDC,DE交AB于點(diǎn)E，連接EC.（1）判斷DCE與ADE，DCE與BCE可否分別必然相似，若相似，請(qǐng)加以證明.（2）若是不用然相似，請(qǐng)指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似.DAECB考點(diǎn)六：相似三角形與實(shí)責(zé)問題考點(diǎn)說明：常有的題型如測(cè)量樹高、樓高，也許路燈下影子長(zhǎng)度等問題【例23】小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)辰他自己的影長(zhǎng)和樓房的影長(zhǎng)分別是0.5米和15米。已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為_米【例24】如圖

10、，王華同學(xué)夜晚由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，他連續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）A米米米米BCDEF考點(diǎn)七：位似考點(diǎn)說明:位似能夠觀察作圖題，也能夠填空題的形式展現(xiàn)，但是難度相對(duì)較簡(jiǎn)單【例25】如圖，ABC與ABC的位似中心為點(diǎn)O，若AB2，AB5，則ABC與ABC的面積比是_，AC與AC的比是_AABBOCC【例26】作一個(gè)多邊形的位似圖形，若相似比已知，以下說法中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）A.位似中心能夠是多邊形的一個(gè)極點(diǎn)B.位似中心能夠任意采用C.所作出位似圖形的大小與位似中心的地址沒關(guān)D.所作出位似圖形的

11、大小與位似中心的地址有關(guān)【例27】如圖是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的88正方形網(wǎng)格，O為一個(gè)定點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫出一個(gè)直角三角形，要求滿足滿足以下條件：三個(gè)極點(diǎn)都是小正方形的極點(diǎn)，O是一條直角邊的中點(diǎn)，斜邊長(zhǎng)5，且以O(shè)為位似中心，相似比為3的位似圖形也在正方形網(wǎng)格內(nèi)，這樣的三角形能畫出幾個(gè)OOOOO考點(diǎn)八：“旋轉(zhuǎn)相似三角形”模型考點(diǎn)說明：此模型結(jié)合了相似與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，在很多的幾何綜合問題中都能看到它的影子，因此也是特別重要的相似基本模型【例28】如圖，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE（1）寫出圖中兩對(duì)相似三角形（不得增加輔助線）A（2）請(qǐng)分別說明兩對(duì)三角形相似的原由EDBC【例2

12、9】我們給出以下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，則稱這個(gè)四邊形為等平方和四邊形（1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特別四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：_（2）如圖（1），在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，垂足為OAD求證：AD2BC2AB2DC2，即四邊形ABCD是等平方和四邊形O證明：BC若是將圖（1）中的AOD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度（090）后獲取圖（2），那么四邊形ABCD可否成為等平方和四邊形若能，請(qǐng)你證明；若不能夠，請(qǐng)說明原由D證明：AOBC【例30】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形AB

13、CD外作正方形CEFG，連接BG，DE我們研究以下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的地址關(guān)系：（1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的地址關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，獲取如圖2、如圖3狀況請(qǐng)你經(jīng)過觀察、測(cè)量等方法判斷中獲取的結(jié)論可否依舊成立,并采用圖2證明你的判斷DDDAAAGFEHOGFBBFBCECGC圖1圖2圖3E（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且ABa，BCb，CEka，CGkb（ab，k0），第（1）題中獲取的結(jié)論哪些成立，哪些不成立若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明原由ADADADFEGGFHOBEBFBCCCG圖4圖5E圖6（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE，且a3，b2，k1，求BE2DG2的值2考點(diǎn)九：“雙垂直”模型考點(diǎn)說明:射影定理圖形，誠(chéng)然在考綱中并沒有要求射影定理，但是還是建議學(xué)生熟練掌握，為順利結(jié)題供應(yīng)方法和思路，以及它的變形【例31】如圖，直角ABC中，ABAC，ADBC證明：AB2BDBC，AC2CDBC，AD2BDCDABDC【例32】如圖