隨機變量及其概率分布

1、 第二章隨機變量及其概率分布考試內(nèi)容隨機變量隨機變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率密度常見隨機變量的概率分布隨機變量函數(shù)的概率分布考試要求理解隨機變量及其概率分市的概念.理解分布函數(shù)F(x)=PXx(-cX十8)的概念及性質(zhì)，并會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率。理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項分布、超兒何分彳j、泊松(Poisson)分布及其應(yīng)用.了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布N(u,即)、指數(shù)分布及其應(yīng)用.會求隨機變量函數(shù)的分布.一、主要內(nèi)

2、容講解1、分布函數(shù)設(shè)X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x)=P(Xx)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(aX5b)=F(b)_F)可以得到X落入?yún)^(qū)間(,切的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-8,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：10F(x)1,svxv+oo；2F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即XKX2時，有F(x0y).解：Xx表示事件“所投點落在半徑為x的圓內(nèi)”，(兒何概率)0,x0;故尸(x)=P(Xx)=,0 xr.從而P(Xy)=l-P(X0,/9=1.與分布函數(shù)的關(guān)系：尸二工門.；xx例2.2：4黑球，2白球，每次取一個，不放回，直到取到黑為止，令X(3

3、)為“取白球的數(shù)”,求X的分布律和分布函數(shù).解：畑012P424214665654例2.3：給出隨機變量X的取值及其對應(yīng)的概率如下:X.1,2,人R1,.,.3,3“，3點，判斷它是否為隨機變量X的分布律。(不是)例2.4：設(shè)離散隨機變量X的分布列為X-L0J.27iiii99T8842133求X的分布函數(shù)，并求P(X-),P(1X-),P(1X-)o例2.5擲兩顆骰子，觀察其點數(shù)，則G二(x,y):x,)=l,2,6。記X為點數(shù)之和，Y為6點的個數(shù)，Z為最大點數(shù)，求X、Y、Z的分布。注：可利用古典方法求其概率。問題：如何由分布函數(shù)求分布列？0,x-1;例2.6：設(shè)X尸斗八乙1求X的分布列.0

4、.0 x1.注意：離散型隨機變量分布函數(shù)的特征一一右連續(xù)階梯狀(左閉右開)3、連續(xù)型隨機變量的分布設(shè)尸(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)/(%),對任意實數(shù)有則稱X為連續(xù)型隨機變量。/(切稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有性質(zhì):2f(x)dx=1與分布函數(shù)的關(guān)系：F(x)=|f(x)dx-X注：在F(x)的可導(dǎo)點處有Flx)=f(x).與尸(Q對應(yīng)的密度函數(shù)f(x)不唯一.P(aXk)=jf則k的取值范圍是1,3解：利用分布函數(shù),0,x0-x.0 xl3lx33x，3xk)=P(Xk)=nP(Xlk分布函數(shù)？)當lvxv3時，F(xiàn)(x)=/(x)dx=J；+f=

5、|;當3K6時，F(xiàn)(x)=+J；.另解：利用密度函數(shù)的圖形與概率的關(guān)系較容易解決。/1/301364、離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系P(X=X)aP(xXx+dx)afx)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(X=xk)=pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。例28(難)：設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1,即|X|W1,且P(X=_1)=1,P(X=1)=1,在事件-1X1出現(xiàn)的條件下，X在(-1,1)內(nèi)的84任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比。試求X的分布函數(shù)F(x)及P(X0)(即X取負值的概率)。解：取(-1,1)的任意子區(qū)間(-l,x,-lxb則有而P(

6、-1X1)=1-P(Xl)=l-|-i=|.所以P(-1Xx)=-(x+l),-lxl.80,x-l;從而F(A-)=P(X-1)+P(-lXx)=-+-k(x+l),-lxl;88又P(X=x)=P(Xx)-P(X扌=1一討(1+1)一=k=*或者,P(X=x)=P(Xx)=P(-lXx)+P(X=-1)=X仝+丄,(-1x1)幾何概率288roX-1X-+X0,R=0丄2，k則稱隨機變量X服從參數(shù)為幾的泊松分布，記為X龍(刃或者P(2)o泊松分布為二項分布的極限分布(np二入，n-*)例2.9：某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨立地射擊5000次,試求射中的次數(shù)不少于兩次的

7、概率，用泊松分布來近似計算。(Xb(5000,0.001)近似P(5),5000P(XN2)=工k=2=1P(X=0)-P(X=1)=16廠)例2.10：設(shè)某時間段內(nèi)通過一路口的汽車流量服從泊松分布，己知該時段內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.05,則這段時間內(nèi)至少有兩輛汽車通過的概率約為多少？解：P(X=k)=,P(X2)=l-P(X=0)-P(X=1)p（x=0）=0.05=/l=3=P（X2）=0.8超幾何分布從一個有限總體（N個產(chǎn)品，其中M個是不合格的）中進行不放回抽樣（任取n個），取到的不合格產(chǎn)品的個數(shù)X的分布稱為超兒何分布，其分布列為：p（x=k）=m廣初，R=0,l,1-,其中r=nnn

8、M,no【注】當nN時，可近似看作是有放回抽樣，可以用二項分布近似。隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超兒何分布，記為H（n,N,M）。（背景1概率模型：M個白球，N-M個黑球。從中取出n個球，有k個白球的概率。例2.11（1）：袋中裝有&個白球及0個黑球，從袋中任取a+b個球，試求其中廠a廠b含d個白球，b個黑球的概率（oa,b0）。（亠存）例2.11（2）：從袋中先后取a+b個球（不放回），試求其中含。個白球，b個abab黑球的概率（八仔Pa+pCa+b注意：先后不放回與任取是一樣的。幾何分布在Bernoulli試驗中，記p為事件4在一次試驗中出現(xiàn)的概率，X為首次出現(xiàn)A時的試驗次數(shù)，則X的可

9、能取值為1,2,，稱X的分布為兒何分布，記為XG認p）,其分布列為：P（X=k）=Q_p）Zp,k=l,2,例2.12：袋中裝有個白球及0個黑球，從袋中先后取a+b個球（放回），試求直到第a+b次時才取到白球的概率（am+nXm)=P(Xn).均勻分布設(shè)隨機變量X的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)/（X）在a,b上為常數(shù)丄b-ci、一!一、axbx即p(x)=b-a0.其他.則稱隨機變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU（a,b）o尸0,xa;x-ci.axbxxx2bf9X落在區(qū)間（幾兀）內(nèi)的概率為P（“vX0=P(X2-40)=-.指數(shù)分布o,其他.其中幾0,則稱隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分

10、布。-exx0F(x)=久0為參數(shù).0,x5)=p(x5+r|xr)例215：設(shè)非負隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ax1e,x0,則TOC o 1-5 h zA=oJx*22分析：2dx=8Aj()3e21/()=8A|tle(dt=8Ax3!=48Aoo22o正態(tài)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為一8VXV+S,其中、b0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為、b的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為XW(“,k)。/(x)具有如下性質(zhì)：1(X)的圖形是關(guān)于x=p對稱的；2當兀=時，/(/)=為最大值；若XNiT,則x的分布函數(shù)為一COX+OD參數(shù)=、b=l時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為XN(0

11、)，其密度函數(shù)記為-sVXv+s.分布函數(shù)為(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-X)=1-0(X)且(0)=丄。2標準化公式及其應(yīng)用:(正態(tài)分布的概率計算一定要化為標準正態(tài)分布)如果X、Ng),則口、N(0,l)。TPgX|匕二兀一b例2.16：設(shè)X求p(|x|v3b)。(20(3)-1)例2.17：XN(2,o:)且P(2X4)=03，則P(X0)=?(0.2)分析：方法一：利用標準化公式TOC o 1-5 h z222P(2vXv4)=P(0vU(一)=0.8(7CC222P(X0)=P(U-)=1(一)=027(7(7方法二:P(0X2)=P(2X4)例2.18：若有

12、彼此獨立工作的同類設(shè)備90臺，每臺發(fā)生故障的概率為O.Olo現(xiàn)配備三個修理工人，每人分塊包修30臺，求設(shè)備發(fā)生故障而無人修理的概率。若三人共同負責維修90臺，這時設(shè)備發(fā)生故障而無人修理的概率是多少？解：(1)記&一第i個人的設(shè)備發(fā)生故障而無人修理，i=l,2,3.X,一一第i個人的設(shè)備發(fā)生故障的臺數(shù)。p(4+九+&)=i-p(AAA)=i-P(A)p(A)p(A)=0.1067.其中，P(4)=P(X,4)=0.0135,X3(90,0.01).例2.19：設(shè)隨機變量X服從a,b(a0)的均勻分布，且P(0X4)4=丄，求：2(1)X的概率密度(2)P(1X4)=t#=丄=2,b=6.b-a4

13、b-a2例2.20：X,Y獨立，均服從Ul,3,4二XWa,二YWo,已知P(AUB)二？，9求。二？解：卩(4)=戸(3)=口,且人3獨立.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=|=-.例2.21：設(shè)顧客到某銀行窗口等待服務(wù)的時間X(單位：分)服從指數(shù)發(fā)布，其密度函數(shù)為1-伽=寸100,x10)p=P(X10)=f(x)=e2例2.22：X3N(1,72),則P(1X2)=?1_1X_1Q_1解:P(1X2)=P(1X38)=P()=0(1)-0(0)=0(1)-0.5注：若要計算P(1X2/2X-l)+P(lX/2)=P(-/8X3-l)+P(lX5/8)6、分位數(shù)定義：設(shè)X

14、的分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為p(x)對V/?g(0,1),稱:滿足F(x；)=p(x)dx=p的xp為此分布的p分位數(shù)(或下側(cè)p分位數(shù))；滿足1尸(嘉)=廠p(x)dx=的為此分布的上側(cè)p分位數(shù)。如下圖所示:Jxp注：嘉=心；卩=心”Xpxp(下側(cè))分位數(shù)上側(cè)分位數(shù)設(shè)X2(0,1),X的p分位數(shù)記為知，則卩=T(u),即是分布函數(shù)的反函數(shù),如：”095=196.且易知：當p0;當刃伐時，知=u=X=“+mi.G(7(04)：設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),對給定的a(Ovavl),數(shù)-滿足PXua=at若P|x|x=a,則x等于(C)(A)ua.(B)11a.(C).(D)uY_a.

15、1注意：這里是上側(cè)分位數(shù)。解題要點：求分布函數(shù)或分布列即是計算概率；求分布函數(shù)的時候首先要確定隨機變量的可能取值范圍;理解各種分布的背景和主要特征；注意隨機變量和隨機事件的轉(zhuǎn)化（等價性）。7、函數(shù)分布離散型：己知X的分布列為XXl,X2,Xn,P(X=Xi)兒Ph,P叫Y=g（X）的分布列（X=g（）互不相等）如下:g(h),若有某些g（Q相等，則應(yīng)將對應(yīng)的門相加作為g（Q的概率。例2.23：己知隨機變量X的分布列為n71兀X22rp、pg.pq=，pq、其中p+q=lo求y=sillX的分布列。解：Y-101PPpqI4i-ql-q4連續(xù)型：先利用X的概率密度人(x)寫出Y的分布函數(shù)，耳(y

16、)=P(Y刃=P(g(X)，),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出人(刃。即：心匚WFx(入XP(xs)”心(關(guān)鍵)P(Ypy(y)例2.24：己知隨機變量X/二，求y=2X+3的密度函數(shù)/r(v)-x(1+jc)(-,)(注意Y的可能取值范圍)2y_3fy-3Y2!_I2丿一2x例2.25、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為Px(x)=p?，*5,0,其他.求Y=sniX的密度函數(shù),()解：Y=sinX的可能取值在區(qū)間(0,1)內(nèi)，所以當yliHy0時，卩心)=0；當0yl時，使Yy的x的取值在兩個互不相交的區(qū)間，如下圖1(刃=0,兀=0,aicsiny,A2(y)=x2,龍=龍一aicsmy,龍于是y

17、=xw(y)Uxw(y)=0XaicsmyU兀一aicsuiyX,所以有巴(y)=P(Xy)=r%(x)dx+.px(x)dx=dx+j7竺dx，JO-arcsrnyJO兀J-arcsmy對戒導(dǎo)y)_2a孚m2(-管5巴刃_二_,0“丘Jl_：/7tJl_)&兀J1_F即得Y的概率密度函數(shù)為2IOvyvl;Py(.y)=0,故當ypr(y)=0；當y0時，F(xiàn)y(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(“Xo；o,yo；=o,yo.對y求導(dǎo)、o,yo.【注】：y=x2的分布即是自由度為1的F分布，丫r(i).例2.27：設(shè)隨機變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)尸(x),求Y=F(X)的分布函數(shù)尸(刃(或證明：

18、設(shè)X的分布函數(shù)尸(Q是連續(xù)函數(shù)，證明隨機變量Y=F(X)在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布。)解：Y=F(X)的取值范圍為0,1,當0vyv1時，有耳(刃=P(Yy)=P(F(X)y)=P(X/=|,Y=mm(X,2)的可能取值范圍是0,2.當0vyv2時，F(xiàn)Y(y)=P(Yy)=P(mm(X,2)y)=P(Xy)=l-ev.問：丫服從指數(shù)分布嗎？(否，指數(shù)分布的可能取值范圍是0,)解題要點：求函數(shù)分布的基本方法分布函數(shù)法。二、歷年試題分析：(93,8分)設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)(廣)服從參數(shù)為At的泊松分布。求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小

19、時的情形下，再無故障運行8小時的概率0解：=、k=0丄2,0,t0;(1)T的分布函數(shù)為尸(f)=0.10;P(Tt),t0.其中，P(Tt)=P(W(f)=0)=注：關(guān)鍵在于理解P(Tt)=P(N(t)=0)(2)Q=P(T16TS)=P(T16)P(T8)或者直接利用指數(shù)分布的五記憶性:e=P(T16|T8)=P(T8)=產(chǎn)1（02年）1設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（Ob0）,且二次方程TOC o 1-5 h zy2+4y+X=0無實根的概率為+，則“=o解：P（A=16-4X4）=0.5P（X4）=P=1一（J（）=0.5n“=4.a2.設(shè)X和X,是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為人伉）利;CO，分布函數(shù)分別為仟W和代（x）,則（D）（A）乞?。?厶（小必為某一隨機變量的概率密度；（B）必為某一隨機變量的概率密度；（